Мультимножество

В математике мультимножество (также называемое сумкой или сумкой ) отличается от множества тем, что каждому его члену соответствует кратность ( натуральное число ), указывающая, сколько раз элемент является членом множества. Например, в мультимножестве { a , a , b , b , b , c } кратности членов a , b и cравны 2, 3 и 1 соответственно. Во избежание путаницы следует писать: <a,a,b,b,b,c> ]

Ричард Дедекинд уже использовал термин мультимножество в статье, опубликованной в 1888 году . ]

Формальное определение

В теории множеств мультимножество определяется как пара ( A , m ), где A — множество, а m  : A → N — функция от A до N (натуральные числа). A известен как базовый набор элементов . Для каждого a из A кратность a равна числу m ( a ) .

Обычно функцию m записывают как набор упорядоченных пар {( a , m ( a )) : a ∈ A }. Это, без сомнения, определение (с использованием теории множеств ) функции m . Например:

• Мультимножество, записанное как { a , b , b }, определяется как {( a , 1), ( b , 2)},
• Тем временем следующий { a , a , b } определяется как {( a , 2), ( b , 1)}, и
• Наконец, мультимножество { a , b } определяется как {( a , 1), ( b , 1)}.

Если множество A конечно , размер или длина мультимножества ( A , m ) является суммой всех кратностей для каждого элемента A :

${\ Displaystyle \ сумма а \ в А} м (а).}$

Подмножеством ( B , n ) мультимножества ( A , m ) называется подмножество B ⊆ A и отображение n  : B → N такое, что n ( a ) ≤ m ( a ).

Примеры

Одним из простейших примеров является мультимножество простых множителей числа n . Базовый набор элементов в данном случае — это набор простых делителей числа n . Например, для числа 120 мы получаем факторизацию: , что приводит к мультимножеству {2, 2, 2, 3, 5}. ${\ Displaystyle 120 = 2 ^ {3} 3 ^ {1} 5 ^ {1}}$

Другой знакомый пример — мультимножество решений алгебраического уравнения. Например , квадратное уравнение имеет два решения; хотя в некоторых случаях оба могут быть одним и тем же номером. Таким образом, мультимножество решений квадратного уравнения может быть {3, 5}, но также и {4, 4}. В последнем решение 4 имеет кратность 2.

Смотрите также

• комбинации с повторением