Multiset

En mathématiques, un multiset (également appelé bag ou bag ) diffère d'un ensemble en ce que chaque membre de celui-ci a une multiplicité associée (un nombre naturel ), indiquant combien de fois l'élément est membre de l'ensemble. Par exemple, dans le multiset { a , a , b , b , b , c }, les multiplicités des membres a , b et c sont 2, 3 et 1, respectivement. Pour éviter toute confusion, il faut écrire : <a,a,b,b,b,c> ]

Richard Dedekind utilisait déjà le terme multiset dans un article publié en 1888 . ]

Définition formelle

En théorie des ensembles , un multi -ensemble est défini comme le couple ( A , m ) où A est un ensemble et m  : A → N est une fonction de A à N (nombres naturels). A est connu comme l' ensemble sous-jacent d'éléments . Pour chaque a de A , la multiplicité de a est le nombre m ( a ).

Il est courant d'écrire la fonction m comme un ensemble de paires ordonnées {( a , m ( a )) : a ∈ A }. Ceci étant, sans aucun doute, la définition (par la théorie des ensembles ) de la fonction m . Par exemple:

• Le multiset écrit comme { a , b , b } est défini comme {( a , 1), ( b , 2)},
• Le prochain { a , a , b }, quant à lui, est défini comme {( a , 2), ( b , 1)}, et
• Enfin, le multiset { a , b } est défini comme {( a , 1), ( b , 1)}.

Si l'ensemble A est fini , la taille ou longueur du multiensemble ( A , m ) est la somme de toutes les multiplicités pour chaque élément de A :

$\sum​​a\in A}m(a).$

Un sous- ensemble ( B , n ) du multi-ensemble ( A , m ) est un sous- ensemble B ⊆ A et une application n  : B → N telle que n ( a ) ≤ m ( a ).

Exemples

L'un des exemples les plus simples est le multi-ensemble des facteurs premiers d'un nombre n . L'ensemble sous-jacent d'éléments, dans ce cas, est l'ensemble des diviseurs premiers de n . Par exemple, pour le nombre 120 on obtient la factorisation : , qui donne le multiset {2, 2, 2, 3, 5}. $120=2^{3}3^{1}5^{1}$

Un autre exemple familier est le multi-ensemble de solutions d'une équation algébrique. Une équation quadratique , par exemple, a deux solutions ; bien que dans certains cas, les deux puissent être le même nombre. Ainsi, le multiensemble de solutions d'une équation quadratique peut être { 3, 5 }, mais aussi { 4, 4 }. Dans ce dernier, la solution 4 a la multiplicité 2.

Voir aussi

• combinaisons avec répétition