Анализ матрицы переноса лучей - Ray transfer matrix analysis

Анализ матрицы переноса лучей (также известный как матричный анализ ABCD ) представляет собой математическую форму для выполнения вычислений трассировки лучей в достаточно простых задачах, которые могут быть решены с учетом только параксиальных лучей. Каждый оптический элемент (поверхность, интерфейс, зеркало или путь луча) описывается матрицей передачи лучей 2 × 2, которая работает с вектором, описывающим входящий световой луч, для вычисления выходящего луча. Таким образом, умножение последовательных матриц дает краткую матрицу переноса лучей, описывающую всю оптическую систему. Та же самая математика также используется в физике ускорителей для отслеживания частиц через магнитные установки ускорителя частиц , см. Электронную оптику .

Этот метод, как описано ниже, получен с использованием параксиального приближения , которое требует, чтобы все направления лучей (направления, нормальные к волновым фронтам) находились под малыми углами θ относительно оптической оси системы, так что приближение остается в силе. Малый θ дополнительно означает, что поперечная протяженность пучков лучей ( x и y ) мала по сравнению с длиной оптической системы (таким образом, «параксиальной»). Поскольку приличная система визуализации, в которой это не относится ко всем лучам, все же должна правильно фокусировать параксиальные лучи, этот матричный метод будет правильно описывать положения фокальных плоскостей и увеличения, однако аберрации все равно необходимо оценивать с использованием полной техники трассировки лучей . ${\ Displaystyle \ грех \ тета \ приблизительно \ тета}$

Определение матрицы переноса луча

В матричном анализе с переносом лучей (ABCD) оптический элемент (здесь толстая линза) обеспечивает преобразование между входной плоскостью и моментом, когда луч достигает выходной плоскости.${\ displaystyle (x_ {1}, \ theta _ {1})}$${\ displaystyle (x_ {2}, \ theta _ {2})}$

Метод трассировки лучей основан на двух опорных плоскостях, называемых входной и выходной плоскостями, каждая из которых перпендикулярна оптической оси системы. В любой точке оптического поезда определяется оптическая ось, соответствующая центральному лучу; этот центральный луч распространяется, чтобы определить оптическую ось дальше в оптической цепочке, которая не обязательно должна быть в том же физическом направлении (например, при изгибе призмой или зеркалом). Поперечные направления x и y (ниже мы рассматриваем только направление x ) затем определяются как ортогональные к приложенным оптическим осям. Световой луч входит в компонент, пересекающий его входную плоскость на расстоянии x ₁ от оптической оси, перемещаясь в направлении, которое составляет угол θ ₁ с оптической осью. После распространения на выходную плоскость этот луч находится на расстоянии x ₂ от оптической оси и под углом θ _{2 по} отношению к ней. n ₁ и n ₂ - показатели преломления среды во входной и выходной плоскости соответственно.

Матрица ABCD, представляющая компонент или систему, связывает выходной луч со входом в соответствии с

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {2} \\\ theta _ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1} \ end {bmatrix}},}$

где значения четырех матричных элементов, таким образом, задаются формулой

${\ displaystyle A = \ left. {\ frac {x_ {2}} {x_ {1}}} \ right | _ {\ theta _ {1} = 0} \ qquad B = \ left. {\ frac {x_ {2}} {\ theta _ {1}}} \ right | _ {x_ {1} = 0},}$

а также

${\ displaystyle C = \ left. {\ frac {\ theta _ {2}} {x_ {1}}} \ right | _ {\ theta _ {1} = 0} \ qquad D = \ left. {\ frac {\ theta _ {2}} {\ theta _ {1}}} \ right | _ {x_ {1} = 0}.}$

Это связывает векторы лучей на входной и выходной плоскостях с помощью матрицы передачи лучей (RTM) M , которая представляет оптический компонент или систему, присутствующую между двумя опорными плоскостями. Термодинамика аргумент , основанный на чернотельном излучении может использоваться , чтобы показать , что определитель из RTM является соотношением показателей преломления:

${\ displaystyle \ det (\ mathbf {M}) = AD-BC = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}}.}$

В результате, если входная и выходная плоскости расположены в одной и той же среде или в двух разных средах, которые имеют одинаковые показатели преломления, то определитель M просто равен 1.

Для векторов лучей можно использовать другое соглашение. Вместо использования θ ≈ sin θ , вторым элементом лучевого вектора является n sin θ , который пропорционален не углу луча как таковому, а поперечной составляющей волнового вектора . Это изменяет матрицы ABCD, приведенные в таблице ниже, где присутствует рефракция на границе раздела.

Использование передаточных матриц таким образом аналогично матрицам 2 × 2, описывающим электронные двухпортовые сети , в частности, различным так называемым матрицам ABCD, которые можно аналогичным образом умножать для решения для каскадных систем.

Некоторые примеры

• Например, если между двумя плоскостями есть свободное пространство, матрица переноса луча определяется следующим образом:
  $${\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}},}$$

  
  где d - расстояние (измеренное по оптической оси) между двумя опорными плоскостями. Таким образом, уравнение переноса луча принимает следующий вид:
  $${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {2} \\\ theta _ {2} \ end {bmatrix}} = \ mathbf {S} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1 } \ end {bmatrix}},}$$

  
  и это связывает параметры двух лучей как:
  $${\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {2} & = & x_ {1} + d \ theta _ {1} \\\ theta _ {2} & = & \ theta _ {1} \ end {matrix}} }$$

  
• Другой простой пример - тонкая линза . Его RTM предоставляется:
  $${\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {bmatrix}},}$$

  
  где f - фокусное расстояние линзы. Чтобы описать комбинации оптических компонентов, матрицы переноса лучей могут быть перемножены, чтобы получить полную RTM для составной оптической системы. Для примера свободного пространства длиной d, за которым следует линза с фокусным расстоянием f :
  $${\ displaystyle \ mathbf {L} \ mathbf {S} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 - {\ frac {d} {f}} \ end {bmatrix}}.}$$

  

Обратите внимание, что, поскольку умножение матриц некоммутативно , это не то же самое RTM, что и для линзы, за которой следует свободное пространство:

${\ displaystyle \ mathbf {SL} = {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {bmatrix }} = {\ begin {bmatrix} 1 - {\ frac {d} {f}} & d \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Таким образом, матрицы должны быть упорядочены соответствующим образом, причем последняя матрица умножается на вторую, и так далее до тех пор, пока первая матрица не будет предварительно умножена на вторую. Другие матрицы могут быть построены для представления границ раздела сред с разными показателями преломления , отражения от зеркал и т. Д.

Таблица матриц переноса лучей

для простых оптических компонентов

Элемент	Матрица	Замечания
Распространение в свободном пространстве или в среде с постоянным показателем преломления.	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$	d = расстояние
Преломление на плоской поверхности раздела	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ end {pmatrix}}}$	n 1 = начальный показатель преломления n 2 = окончательный показатель преломления.
Преломление на изогнутой поверхности раздела	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {n_ {1} -n_ {2}} {R \ cdot n_ {2}}} & {\ frac {n_ {1}} {n_ {2} }}} \ end {pmatrix}}}$	R = радиус кривизны, R > 0 для выпуклого (центр кривизны после границы раздела) n 1 = начальный показатель преломления n 2 = конечный показатель преломления.
Отражение от плоского зеркала	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$	Действительно для плоских зеркал, ориентированных под любым углом к ​​падающему лучу. И луч, и оптическая ось отражаются одинаково, поэтому нет чистого изменения наклона или положения.
Отражение от изогнутого зеркала	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {2} {R_ {e}}} & 1 \ end {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle R_ {е} = R \ соз \ тета}$ эффективный радиус кривизны в тангенциальной плоскости (горизонтальное направление) ${\ Displaystyle R_ {е} = R / \ соз \ тета}$эффективный радиус кривизны в сагиттальной плоскости (вертикальное направление) R = радиус кривизны, R> 0 для вогнутого, действительным в параксиальном приближении является угол падения зеркала в горизонтальной плоскости. ${\ displaystyle \ theta}$
Тонкая линза	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {pmatrix}}}$	f = фокусное расстояние линзы, где f > 0 для выпуклой / положительной (собирающей) линзы. Действительно только в том случае, если фокусное расстояние намного больше толщины объектива.
Толстая линза	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {n_ {2} -n_ {1}} {R_ {2} n_ {1}}} & {\ frac {n_ {2}} {n_ { 1}}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {n_ {1} -n_ {2}} { R_ {1} n_ {2}}} & {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ end {pmatrix}}}$	n 1 = показатель преломления вне линзы. n 2 = показатель преломления самой линзы (внутри линзы). R 1 = Радиус кривизны Первой поверхности. R 2 = Радиус кривизны Второй поверхности. t = центральная толщина линзы.
Одиночная призма	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} k & {\ frac {d} {nk}} \\ 0 & {\ frac {1} {k}} \ end {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle К = (\ соз \ пси / \ соз \ фи)}$- коэффициент расширения луча , где - угол падения, - угол преломления, d - длина пути призмы, n - показатель преломления материала призмы. Эта матрица применяется для ортогонального выхода луча. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$
Расширитель пучка с несколькими призмами с использованием r призм	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} M&B \\ 0 & {\ frac {1} {M}} \ end {pmatrix}}}$	M - общее увеличение луча, определяемое выражением , где k определено в предыдущем вводе, а B - полное оптическое расстояние распространения расширителя с несколькими призмами. ${\ Displaystyle M = k_ {1} k_ {2} k_ {3} \ cdots k_ {r}}$

Устойчивость резонатора

RTM-анализ особенно полезен при моделировании поведения света в оптических резонаторах , например, в лазерах. В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух одинаковых зеркал со 100% отражательной способностью и радиусом кривизны R , разделенных некоторым расстоянием d . Для целей трассировки лучей это эквивалентно серии идентичных тонких линз с фокусным расстоянием f = R / 2, каждая из которых отделена от следующей длиной d . Эта конструкция известна как линзы эквивалентного канала или линзы эквивалентного волновода . RTM каждой секции волновода, как указано выше,

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {L} \ mathbf {S} = {\ begin {pmatrix} 1 & d \\ {\ frac {-1} {f}} & 1 - {\ frac {d} {f }} \ end {pmatrix}}}$.

RTM-анализ теперь можно использовать для определения устойчивости волновода (и, что то же самое, резонатора). То есть можно определить, при каких условиях свет, проходящий по волноводу, будет периодически перефокусироваться и оставаться в волноводе. Для этого мы можем найти все «собственные лучи» системы: вектор входного луча в каждом из упомянутых участков волновода, умноженный на действительный или комплексный множитель λ , равен выходному. Это дает:

${\ displaystyle \ mathbf {M} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x_ {2} \\\ theta _ {2 } \ end {bmatrix}} = \ lambda {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1} \ end {bmatrix}}.}$

которое является уравнением на собственные значения :

${\ displaystyle \ left [\ mathbf {M} - \ lambda \ mathbf {I} \ right] {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1} \ end {bmatrix}} = 0,}$

где I - единичная матрица 2 × 2 .

Переходим к вычислению собственных значений передаточной матрицы:

${\ displaystyle \ det \ left [\ mathbf {M} - \ lambda \ mathbf {I} \ right] = 0,}$

приводящее к характеристическому уравнению

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} - \ operatorname {tr} (\ mathbf {M}) \ lambda + \ det (\ mathbf {M}) = 0,}$

куда

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {M}) = A + D = 2 - {\ frac {d} {f}}}$

это след RTM, а

${\ Displaystyle \ OperatorName {det} (\ mathbf {M}) = AD-BC = 1}$

является определяющим фактором RTM. После одной распространенной замены имеем:

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} -2g \ lambda + 1 = 0,}$

куда

${\ displaystyle g {\ overset {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ frac {\ operatorname {tr} (\ mathbf {M})} {2}} = 1 - {\ frac { d} {2f}}}$

- параметр устойчивости . Собственные значения являются решениями характеристического уравнения. Из формулы корней квадратного уравнения находим

${\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} = g \ pm {\ sqrt {g ^ {2} -1}}.}$

Теперь рассмотрим луч после того, как N пройдет через систему:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {N} \\\ theta _ {N} \ end {bmatrix}} = \ lambda ^ {N} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ { 1} \ end {bmatrix}}.}$

Если волновод устойчив, ни один луч не должен отклоняться произвольно далеко от главной оси, то есть λ ^N не должна расти без ограничений. Допустим . Тогда оба собственных значения действительны. Поскольку один из них должен быть больше 1 (по модулю), это означает, что луч, соответствующий этому собственному вектору, не будет сходиться. Следовательно, в устойчивом волноводе ≤ 1, и собственные значения могут быть представлены комплексными числами: ${\ displaystyle g ^ {2}> 1}$${\ displaystyle \ lambda _ {+} \ lambda _ {-} = 1}$${\ displaystyle g ^ {2}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} = g \ pm i {\ sqrt {1-g ^ {2}}} = \ cos (\ phi) \ pm i \ sin (\ phi) = e ^ {\ pm я \ phi},}$

с заменой g = cos ( ϕ ).

Действительно, пусть и будут собственными векторами относительно собственных значений и соответственно, которые охватывают все векторное пространство, потому что они ортогональны, последнее из-за . Следовательно, входной вектор может быть записан как ${\ displaystyle g ^ {2} <1}$${\ displaystyle r _ {+}}$${\ displaystyle r _ {-}}$${\ displaystyle \ lambda _ {+}}$${\ displaystyle \ lambda _ {-}}$${\ displaystyle \ lambda _ {+} \ neq \ lambda _ {-}}$

${\ displaystyle c _ {+} r _ {+} + c _ {-} r _ {-},}$

для некоторых констант и . ${\ displaystyle c _ {+}}$${\ displaystyle c _ {-}}$

После N секторов волновода на выходе будет

${\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {N} (c _ {+} r _ {+} + c _ {-} r _ {-}) = \ lambda _ {+} ^ {N} c _ {+} r _ {+} + \ lambda _ {-} ^ {N} c _ {-} r _ {-} = e ^ {iN \ phi} c _ {+} r _ {+} + e ^ {- iN \ phi} c _ {-} r_ { -},}$

который представляет собой периодическую функцию.

Матрицы переноса лучей для гауссовых пучков

Те же матрицы можно также использовать для расчета эволюции гауссовых пучков . распространяющиеся через оптические компоненты, описываемые теми же матрицами передачи. Если у нас есть гауссов пучок с длиной волны , радиусом кривизны R (положительный для расходящегося, отрицательный для сходящегося), размер пятна луча w и показатель преломления n , можно определить комплексный параметр пучка q следующим образом: ${\ displaystyle \ lambda _ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {R}} - {\ frac {i \ lambda _ {0}} {\ pi nw ^ {2}}}.}$

( R , w и q являются функциями положения.) Если ось луча направлена ​​в направлении z , с перетяжкой и диапазоном Рэлея , это можно эквивалентно записать как ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle z_ {R}}$

${\ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}.}$

Этот луч может распространяться через оптическую систему с заданной матрицей переноса лучей, используя уравнение:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} q_ {2} \\ 1 \ end {bmatrix}} = k {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} q_ {1} \\ 1 \ end {bmatrix}},}$

где k - нормировочная константа, выбранная для того, чтобы вторая компонента вектора луча оставалась равной 1. Используя матричное умножение , это уравнение расширяется как

${\ displaystyle q_ {2} = k (Aq_ {1} + B)}$

а также

${\ Displaystyle 1 = К (Cq_ {1} + D)}$

Деление первого уравнения на второе исключает нормировочную константу:

${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}},}$

Это последнее уравнение часто бывает удобно выразить в обратной форме:

${\ displaystyle {\ frac {1} {q_ {2}}} = {\ frac {C + D / q_ {1}} {A + B / q_ {1}}}.}$

Пример: свободное место

Рассмотрим луч, перемещающийся на расстояние d через свободное пространство, матрица переноса луча имеет вид

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

так что

${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}} = {\ frac {q_ {1} + d} {1}} = q_ {1} + d}$

в соответствии с выражением выше для обычного гауссова распространения пучка, то есть . По мере распространения луча изменяются как радиус, так и перетяжка. ${\ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}}$

Пример: тонкая линза

Рассмотрим луч, проходящий через тонкую линзу с фокусным расстоянием f . Матрица переноса луча

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - 1 / f & 1 \ end {bmatrix}}}$.

так что

${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}} = {\ frac {q_ {1}} {- {\ frac {q_ {1}} { f}} + 1}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {q_ {2}}} = {\ frac {- {\ frac {q_ {1}} {f}} + 1} {q_ {1}}} = {\ frac { 1} {q_ {1}}} - {\ frac {1} {f}}.}$

Изменяется только действительная часть 1 / q : кривизна волнового фронта 1 / R уменьшается за счет оптической силы линзы 1 / f , в то время как поперечный размер луча w остается неизменным при выходе из тонкой линзы.

Матрицы более высокого ранга

В оптическом анализе также используются методы с использованием передаточных матриц более высокой размерности, то есть 3 × 3, 4 × 4 и 6 × 6. В частности, матрицы распространения 4 × 4 используются при разработке и анализе последовательностей призм для сжатия импульсов в фемтосекундных лазерах .

Смотрите также

• Трансфер-матричный метод (оптика)
• Линейное каноническое преобразование

использованная литература

дальнейшее чтение

• Бахаа Е.А. Салех и Малвин Карл Тейч (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. Раздел 1.4, стр. 26 - 36.

внешние ссылки

• Толстые линзы (матричные методы)
• Учебное пособие по матрицам ABCD Предоставляет пример системной матрицы всей системы.
• Калькулятор ABCD Интерактивный калькулятор, помогающий решать матрицы ABCD.
• Simple Optical Designer (приложение для Android) Приложение для исследования оптических систем с использованием метода матрицы ABCD.