Analiza matricei de transfer de raze - Ray transfer matrix analysis

Analiza matricei de transfer de raze (cunoscută și sub numele de analiză matricială ABCD ) este o formă matematică pentru efectuarea calculelor de trasare a razelor în probleme suficient de simple, care pot fi rezolvate având în vedere doar razele paraxiale. Fiecare element optic (suprafață, interfață, oglindă sau cursă a fasciculului) este descris de o matrice de transfer de raze 2 × 2 care operează pe un vector care descrie o rază de lumină de intrare pentru a calcula raza de ieșire. Înmulțirea matricilor succesive produce astfel o matrice de transfer de raze concise care descrie întregul sistem optic. Aceeași matematică este folosită și în fizica acceleratorului pentru a urmări particulele prin instalațiile magnetice ale unui accelerator de particule , a se vedea optica electronică .

Această tehnică, așa cum este descrisă mai jos, este derivată utilizând aproximarea paraxială , care necesită ca toate direcțiile razelor (direcțiile normale către fronturile de undă) să fie la unghiuri mici θ față de axa optică a sistemului, astfel încât aproximarea să rămână valabilă. Un mic impl implică în plus că întinderea transversală a fasciculelor de raze ( x și y ) este mică în comparație cu lungimea sistemului optic (deci „paraxial”). Deoarece un sistem de imagini decent în care acest lucru nu este cazul pentru toate razele trebuie să focalizeze în mod corect razele paraxiale, această metodă matricială va descrie în mod corespunzător pozițiile planurilor focale și măririle, totuși aberațiile trebuie încă evaluate cu ajutorul tehnicilor complete de trasare a razelor . ${\ displaystyle \ sin \ theta \ approx \ theta}$

Definiția matricei de transfer de raze

În analiza matricială de transfer de raze (ABCD), un element optic (aici, o lentilă groasă) oferă o transformare între la planul de intrare și când raza ajunge la planul de ieșire.${\ displaystyle (x_ {1}, \ theta _ {1})}$${\ displaystyle (x_ {2}, \ theta _ {2})}$

Tehnica de urmărire a razelor se bazează pe două planuri de referință, numite planuri de intrare și ieșire , fiecare perpendicular pe axa optică a sistemului. În orice punct de-a lungul trenului optic este definită o axă optică corespunzătoare unei raze centrale; acea rază centrală este propagată pentru a defini axa optică în continuare în trenul optic care nu trebuie să fie în aceeași direcție fizică (cum ar fi atunci când este îndoită de o prismă sau de o oglindă). Direcțiile transversale x și y (mai jos considerăm doar direcția x ) sunt apoi definite ca fiind ortogonale cu axele optice aplicabile. O rază de lumină intră într-o componentă care își traversează planul de intrare la o distanță x ₁ de axa optică, călătorind într-o direcție care face un unghi θ ₁ cu axa optică. După propagarea către planul de ieșire, raza se găsește la o distanță x ₂ de axa optică și la un unghi θ ₂ față de aceasta. n ₁ și n ₂ sunt indicii de refracție a mediului în planul de intrare și respectiv de ieșire.

Matricea ABCD care reprezintă o componentă sau un sistem raportează raza de ieșire la intrare conform

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {2} \\\ theta _ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1} \ end {bmatrix}},}$

unde valorile celor 4 elemente matrice sunt astfel date de

${\ displaystyle A = \ left. {\ frac {x_ {2}} {x_ {1}}} \ right | _ {\ theta _ {1} = 0} \ qquad B = \ left. {\ frac {x_ {2}} {\ theta _ {1}}} \ right | _ {x_ {1} = 0},}$

și

${\ displaystyle C = \ left. {\ frac {\ theta _ {2}} {x_ {1}}} \ right | _ {\ theta _ {1} = 0} \ qquad D = \ left. {\ frac {\ theta _ {2}} {\ theta _ {1}}} \ right | _ {x_ {1} = 0}.}$

Aceasta raportează vectorii de raze la planurile de intrare și ieșire de către matricea de transfer de raze (RTM) M , care reprezintă componenta optică sau sistemul prezent între cele două planuri de referință. Un argument termodinamic bazat pe radiația corpului negru poate fi folosit pentru a arăta că determinantul unui RTM este raportul indicilor de refracție:

${\ displaystyle \ det (\ mathbf {M}) = AD-BC = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}}.}$

Ca rezultat, dacă planurile de intrare și ieșire sunt situate în același mediu sau în două medii diferite care se întâmplă să aibă indici identici de refracție, atunci determinantul lui M este pur și simplu egal cu 1.

Poate fi utilizată o convenție diferită pentru vectorii de raze. În loc să se utilizeze θ ≈sin θ , al doilea element al vectorului de raze este n sin θ , care este proporțional nu cu unghiul de raze în sine, ci cu componenta transversală a vectorului de undă . Aceasta modifică matricile ABCD date în tabelul de mai jos în care este implicată refracția la o interfață.

Utilizarea matricilor de transfer în acest mod este paralelă cu matricile 2 × 2 care descriu rețele electronice cu două porturi , în special diverse așa-numitele matrice ABCD care pot fi înmulțite în mod similar pentru a rezolva sistemele în cascadă.

Cateva exemple

• De exemplu, dacă există spațiu liber între cele două planuri, matricea de transfer de raze este dată de:
  $${\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}},}$$

  
  unde d este distanța de separare (măsurată de-a lungul axei optice) între cele două planuri de referință. Ecuația de transfer de raze devine astfel:
  $${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {2} \\\ theta _ {2} \ end {bmatrix}} = \ mathbf {S} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1 } \ end {bmatrix}},}$$

  
  și aceasta raportează parametrii celor două raze ca:
  $${\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {2} & = & x_ {1} + d \ theta _ {1} \\\ theta _ {2} & = & \ theta _ {1} \ end {matrix}} }$$

  
• Un alt exemplu simplu este cel al unei lentile subțiri . RTM-ul său este dat de:
  $${\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {bmatrix}},}$$

  
  unde f este distanța focală a obiectivului. Pentru a descrie combinații de componente optice, matricile de transfer de raze pot fi multiplicate împreună pentru a obține un RTM global pentru sistemul optic compus. Pentru exemplul spațiului liber de lungime d urmat de un obiectiv de distanță focală f :
  $${\ displaystyle \ mathbf {L} \ mathbf {S} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 - {\ frac {d} {f}} \ end {bmatrix}}.}$$

  

Rețineți că, din moment ce înmulțirea matricilor este necomutativă , acesta nu este același RTM ca și pentru un obiectiv urmat de spațiu liber:

${\ displaystyle \ mathbf {SL} = {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {bmatrix }} = {\ begin {bmatrix} 1 - {\ frac {d} {f}} & d \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Astfel, matricile trebuie ordonate în mod corespunzător, ultima matrice premultiplicând a doua ultima, și așa mai departe, până când prima matrice este premultiplicată de a doua. Alte matrice pot fi construite pentru a reprezenta interfețe cu medii cu indici de refracție diferiți , reflectarea din oglinzi etc.

Tabelul matricilor de transfer de raze

pentru componente optice simple

Element	Matrice	Observații
Propagarea în spațiul liber sau într-un mediu cu indice de refracție constant	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$	d = distanță
Refracție la o interfață plană	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ end {pmatrix}}}$	n 1 = indicele de refracție inițial n 2 = indicele de refracție final.
Refracție la o interfață curbată	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {n_ {1} -n_ {2}} {R \ cdot n_ {2}}} și {\ frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ end {pmatrix}}}$	R = raza de curbură, R > 0 pentru convex (centrul curburii după interfață) n 1 = indicele de refracție inițial n 2 = indicele de refracție final.
Reflecție de la o oglindă plată	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$	Valabil pentru oglinzile plate orientate la orice unghi față de fasciculul de intrare. Atât raza, cât și axa optică sunt reflectate în mod egal, deci nu există nicio schimbare netă în panta sau poziție.
Reflecție de la o oglindă curbată	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {2} {R_ {e}}} & 1 \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle R_ {e} = R \ cos \ theta}$ raza efectivă de curbură în plan tangențial (direcție orizontală) ${\ displaystyle R_ {e} = R / \ cos \ theta}$raza efectivă de curbură în plan sagital (direcție verticală) R = raza de curbură, R> 0 pentru concav, valabilă în aproximarea paraxială este unghiul de incidență al oglinzii în plan orizontal. ${\ displaystyle \ theta}$
Lentile subțiri	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 \ end {pmatrix}}}$	f = distanța focală a obiectivului unde f > 0 pentru lentilele convexe / pozitive (convergente). Valabil numai dacă distanța focală este mult mai mare decât grosimea obiectivului.
Obiectiv gros	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {n_ {2} -n_ {1}} {R_ {2} n_ {1}}} și {\ frac {n_ {2}} {n_ { 1}}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {n_ {1} -n_ {2}} { R_ {1} n_ {2}}} și {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ end {pmatrix}}}$	n 1 = indicele de refracție în afara obiectivului. n 2 = indicele de refracție al lentilei în sine (în interiorul lentilei). R 1 = Raza de curbură a primei suprafețe. R 2 = Raza de curbură a celei de-a doua suprafețe. t = grosimea centrului lentilei.
Prismă unică	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} k & {\ frac {d} {nk}} \\ 0 & {\ frac {1} {k}} \ end {pmatrix}}}$	${\ displaystyle k = (\ cos \ psi / \ cos \ phi)}$este factorul de expansiune a fasciculului , unde este unghiul de incidență, este unghiul de refracție, d = lungimea căii prismei, n = indicele de refracție al materialului prismei. Această matrice se aplică pentru ieșirea fasciculului ortogonal. ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$
Extensie multiplă a fasciculului de prisme folosind r prisme	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} M&B \\ 0 & {\ frac {1} {M}} \ end {pmatrix}}}$	M este mărirea totală a fasciculului dată de , unde k este definit în intrarea anterioară și B este distanța totală de propagare optică a expansorului cu prisme multiple. ${\ displaystyle M = k_ {1} k_ {2} k_ {3} \ cdots k_ {r}}$

Stabilitatea rezonatorului

Analiza RTM este deosebit de utilă la modelarea comportamentului luminii în rezonatoarele optice , cum ar fi cele utilizate în lasere. Cel mai simplu, un rezonator optic este format din două oglinzi identice cu reflectivitate 100% și rază de curbură R , separate de o anumită distanță d . În scopul trasării razelor, acest lucru este echivalent cu o serie de lentile subțiri identice cu distanță focală f = R / 2, fiecare separată de următoarea prin lungimea d . Această construcție este cunoscută ca un canal echivalent obiectiv sau ghid de undă echivalent obiectiv . RTM-ul fiecărei secțiuni a ghidului de undă este, ca mai sus,

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {L} \ mathbf {S} = {\ begin {pmatrix} 1 & d \\ {\ frac {-1} {f}} & 1 - {\ frac {d} {f }} \ end {pmatrix}}}$.

Analiza RTM poate fi utilizată acum pentru a determina stabilitatea ghidului de undă (și echivalent, rezonatorul). Adică, se poate determina în ce condiții lumina care se deplasează în josul ghidului de undă va fi reorientată periodic și va rămâne în ghidul de undă. Pentru a face acest lucru, putem găsi toate „raze proprii” ale sistemului: vectorul de raze de intrare la fiecare dintre secțiunile menționate ale ghidului de undă ori un factor real sau complex λ este egal cu cel de ieșire. Asta da:

${\ displaystyle \ mathbf {M} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x_ {2} \\\ theta _ {2 } \ end {bmatrix}} = \ lambda {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1} \ end {bmatrix}}.}$

care este o ecuație a valorii proprii :

${\ displaystyle \ left [\ mathbf {M} - \ lambda \ mathbf {I} \ right] {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ {1} \ end {bmatrix}} = 0,}$

unde I este matricea de identitate 2 × 2 .

Continuăm să calculăm valorile proprii ale matricei de transfer:

${\ displaystyle \ det \ left [\ mathbf {M} - \ lambda \ mathbf {I} \ right] = 0,}$

conducând la ecuația caracteristică

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} - \ operatorname {tr} (\ mathbf {M}) \ lambda + \ det (\ mathbf {M}) = 0,}$

Unde

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {M}) = A + D = 2 - {\ frac {d} {f}}}$

este urmele RTM și

${\ displaystyle \ operatorname {det} (\ mathbf {M}) = AD-BC = 1}$

este determinantul RTM. După o înlocuire comună avem:

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} -2g \ lambda + 1 = 0,}$

Unde

${\ displaystyle g {\ overset {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ frac {\ operatorname {tr} (\ mathbf {M})} {2}} = 1 - {\ frac { d} {2f}}}$

este parametrul de stabilitate . Valorile proprii sunt soluțiile ecuației caracteristice. Din formula pătratică găsim

${\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} = g \ pm {\ sqrt {g ^ {2} -1}}.}$

Acum, ia în considerare o rază după ce N trece prin sistem:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {N} \\\ theta _ {N} \ end {bmatrix}} = \ lambda ^ {N} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ theta _ { 1} \ end {bmatrix}}.}$

Dacă ghidul de undă este stabil, nicio rază nu trebuie să se îndepărteze în mod arbitrar de axa principală, adică λ ^N nu trebuie să crească fără limită. Să presupunem . Atunci ambele valori proprii sunt reale. Deoarece , unul dintre ele trebuie să fie mai mare de 1 (în valoare absolută), ceea ce implică faptul că raza care corespunde acestui vector propriu nu ar converge. Prin urmare, într-un ghid de undă stabil, ≤ 1 și valorile proprii pot fi reprezentate prin numere complexe: ${\ displaystyle g ^ {2}> 1}$${\ displaystyle \ lambda _ {+} \ lambda _ {-} = 1}$${\ displaystyle g ^ {2}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} = g \ pm i {\ sqrt {1-g ^ {2}}} = \ cos (\ phi) \ pm i \ sin (\ phi) = e ^ {\ pm i \ phi},}$

cu substituția g = cos ( ϕ ).

Pentru lăsa și să fie vectorii proprii în ceea ce privește valorile proprii și , respectiv, care se întind pe tot spațiul vectorului , deoarece acestea sunt ortogonale, acesta din urmă din cauza . Prin urmare, vectorul de intrare poate fi scris ca ${\ displaystyle g ^ {2} <1}$${\ displaystyle r _ {+}}$${\ displaystyle r _ {-}}$${\ displaystyle \ lambda _ {+}}$${\ displaystyle \ lambda _ {-}}$${\ displaystyle \ lambda _ {+} \ neq \ lambda _ {-}}$

${\ displaystyle c _ {+} r _ {+} + c _ {-} r _ {-},}$

pentru unele constante și . ${\ displaystyle c _ {+}}$${\ displaystyle c _ {-}}$

După N sectoare de ghid de undă, ieșirea se citește

${\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {N} (c _ {+} r _ {+} + c _ {-} r _ {-}) = \ lambda _ {+} ^ {N} c _ {+} r _ {+} + \ lambda _ {-} ^ {N} c _ {-} r _ {-} = e ^ {iN \ phi} c _ {+} r _ {+} + e ^ {- iN \ phi} c _ {-} r_ { -},}$

care reprezintă o funcție periodică.

Matrici de transfer de raze pentru grinzi Gaussiene

Aceleași matrice pot fi folosite și pentru a calcula evoluția grinzilor Gaussiene . propagându-se prin componente optice descrise de aceleași matrice de transmisie. Dacă avem un fascicul gaussian de lungime de undă , raza de curbură R (pozitiv pentru divergenți, negativ pentru convergență), dimensiunea spotului fasciculului w și indicele de refracție n , este posibil să se definească un parametru complex al fasciculului q prin: ${\ displaystyle \ lambda _ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {R}} - {\ frac {i \ lambda _ {0}} {\ pi nw ^ {2}}}.$

( R , w și q sunt funcții de poziție.) Dacă axa fasciculului este în direcția z , cu talia și gama Rayleigh , aceasta poate fi scrisă echivalent ca ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle z_ {R}}$

${\ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}.}$

Acest fascicul poate fi propagat printr-un sistem optic cu o matrice de transfer de raze dată utilizând ecuația:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} q_ {2} \\ 1 \ end {bmatrix}} = k {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} q_ {1} \\ 1 \ end {bmatrix}},}$

unde k este o constantă de normalizare aleasă pentru a menține a doua componentă a vectorului razelor egală cu 1. Folosind înmulțirea matricei , această ecuație se extinde ca

${\ displaystyle q_ {2} = k (Aq_ {1} + B)}$

și

${\ displaystyle 1 = k (Cq_ {1} + D)}$

Împărțirea primei ecuații la a doua elimină constanta de normalizare:

${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}},}$

Este adesea convenabil să exprimăm această ultimă ecuație în formă reciprocă:

${\ displaystyle {\ frac {1} {q_ {2}}} = {\ frac {C + D / q_ {1}} {A + B / q_ {1}}}.}$

Exemplu: spațiu liber

Luați în considerare un fascicul care parcurge o distanță d prin spațiul liber, matricea de transfer de raze este

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Așadar

${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}} = {\ frac {q_ {1} + d} {1}} = q_ {1} + d}$

în concordanță cu expresia de mai sus pentru propagarea obișnuită a fasciculului Gauss, adică . Pe măsură ce fasciculul se propagă, atât raza cât și talia se schimbă. ${\ displaystyle q = (z-z_ {0}) + iz_ {R}}$

Exemplu: lentilă subțire

Luați în considerare un fascicul care călătorește printr-un obiectiv subțire cu distanță focală f . Matricea de transfer de raze este

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - 1 / f & 1 \ end {bmatrix}}}$.

Așadar

${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {Aq_ {1} + B} {Cq_ {1} + D}} = {\ frac {q_ {1}} {- {\ frac {q_ {1}} { f}} + 1}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {q_ {2}}} = {\ frac {- {\ frac {q_ {1}} {f}} + 1} {q_ {1}}} = {\ frac { 1} {q_ {1}}} - {\ frac {1} {f}}.}$

Doar partea reală a 1 / q este afectată: curbura frontului de undă 1 / R este redusă de puterea obiectivului 1 / f , în timp ce dimensiunea fasciculului lateral w rămâne neschimbată la ieșirea din lentila subțire.

Matrici de rang superior

Metode care utilizează matrici de transfer de dimensionalitate mai mare, adică 3 × 3, 4 × 4 și 6 × 6, sunt de asemenea utilizate în analiza optică. În special, matricile de propagare 4 × 4 sunt utilizate în proiectarea și analiza secvențelor de prismă pentru compresia pulsului în lasere de femtosecundă .

Vezi si

• Metoda transfer-matrice (optică)
• Transformare canonică liniară

Referințe

Lecturi suplimentare

• Bahaa EA Saleh și Malvin Carl Teich (1991). Fundamentele fotonicii . New York: John Wiley & Sons. Secțiunea 1.4, pp. 26 - 36.

linkuri externe

• Lentile groase (metode Matrix)
• Tutorial ABCD Matrices Oferă un exemplu pentru o matrice de sistem a unui întreg sistem.
• Calculator ABCD Un calculator interactiv pentru a ajuta la rezolvarea matricilor ABCD.
• Simple Optical Designer (Android App) O aplicație pentru explorarea sistemelor optice folosind metoda matricei ABCD.