Die óptica

El análisis de matrices de transferencia de rayos es un método informático en óptica paraxial , en el que se muestra la variación del haz de luz por componentes ópticos con ayuda de matrices . Estas se denominan matrices de transferencia (de haz) o, después de sus cuatro entradas, matrices ABCD .

Lo esencial

Uno mira la propagación de la luz a lo largo del eje óptico , aquí definido como el eje-. El estado de un rayo de luz en un punto (es decir, en un punto determinado ) se puede describir mediante dos valores: su distancia del eje óptico y el ángulo que forma con él. Por tanto, el rayo se puede representar como un vector formado por estos dos componentes: ${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle {\ vec {r}} = {\ begin {pmatrix} r \\\ alpha \ end {pmatrix}}}$

Dado que representa la inclinación del haz, el ángulo indica el cambio en con . En el contexto de la aproximación paraxial , es decir, después del cruce del límite con el cual y la aproximación a cero, se aplica lo siguiente . ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ sin \ alpha = \ tan \ alpha = \ alpha}$

Si se considera y no como infinitesimales , sino cantidades finitas (en el sentido de la óptica gaussiana ), se debe entender la segunda componente vectorial como la tangente del ángulo entre el rayo y el eje, es decir, como el gradiente del rayo, de modo que existe una relación lineal entre y el cambio en con . ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle z}$

Si un rayo recorre un camino en la dirección y posiblemente también pasa a través de elementos de imagen (lentes, espejos), el cambio en el vector del rayo se puede describir con una matriz de transformación, que se basa en la diferencia entre las coordenadas y las propiedades elementos pasados. La matriz de transformación se multiplica de la izquierda al vector del rayo, y el vector resultante describe las propiedades del rayo después de haber atravesado el camino: ${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} {\ begin {pmatrix} r_ {1} \\\ alpha _ {1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r_ {2} \\\ alpha _ {2} \ end {pmatrix}}}$

La convención habitual es que la dirección del haz (es decir, el eje positivo ) va de izquierda a derecha. r se cuenta como positivo por encima del eje y negativo por debajo de él. es positivo cuando el rayo apunta hacia arriba y negativo cuando apunta hacia abajo. ${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle \ alpha}$

Transferir matrices de elementos importantes

Traducción

Si un haz de luz se propaga sin obstáculos sobre la distancia a lo largo del eje óptico sin pasar a través de los elementos de imagen, esto se describe con la siguiente matriz de la trayectoria óptica, que solo depende de la distancia y no del medio que atraviesa: ${\ Displaystyle d = z_ {2} -z_ {1}}$

${\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}; \ quad {\ begin {pmatrix} r_ {2} \\\ alpha _ {2} \ end {pmatrix }} = T {\ begin {pmatrix} r_ {1} \\\ alpha _ {1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r_ {1} + d \ alpha _ {1} \\\ alpha _ {1} \ end {pmatrix}}}$

Un rayo que se extiende simplemente no cambia su inclinación con respecto al eje, sino solo su distancia a él de acuerdo con su inclinación.

Refracción en superficie

Si un haz de luz se refracta en una superficie curva o plana, solo cambia la dirección del haz y no la coordenada. La matriz de transferencia se lee de acuerdo con la ley de refracción. ${\ Displaystyle z}$

${\ displaystyle R = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\\ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} - 1 \ right) \ cdot \ rho & {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ end {bmatrix}}}$.

Dónde y son los índices de refracción de los medios ópticos antes y después de la interfaz. es la curvatura de la superficie en su vértice (centro de la superficie). es positivo si el centro de curvatura se encuentra detrás de la superficie ( superficie convexa , vista en la dirección positiva ). En una superficie esférica con radio es , y en el caso de una superficie plana. ${\ Displaystyle n_ {1}}$${\ Displaystyle n_ {2}}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle \ rho = 1 / r}$${\ Displaystyle \ rho = 0}$

Lente delgada

Multiplicando dos matrices de refracción de superficie y utilizando la fórmula de pulido de lentes , se obtiene la matriz de transferencia para el paso a través de una lente delgada

${\ displaystyle L = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {1} {- f}} & 1 \ end {bmatrix}}}$,

donde es la distancia focal de la lente. es mayor que 0 si la lente tiene un efecto de enfoque (lente convergente) y menor que 0 para una lente de desenfoque (lente divergente). ${\ Displaystyle {\ mathit {f}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {f}}}$

Lente gruesa

Si se tiene en cuenta el grosor de la lente entre las superficies de la lente con los radios de curvatura y, se obtiene la matriz de transferencia para el paso a través de una lente gruesa.${\ Displaystyle {\ mathit {d}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {{R} _ {1}}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {{R} _ {2}}}}$

${\ Displaystyle D = \ left [{\ begin {matrix} 1 - {\ frac {d} {{R} _ {1}}} {\ frac {{{n} _ {L}} - n} {{ n} _ {L}}} & {\ frac {d \, n} {{n} _ {L}}} \\ ({\ frac {{{n} _ {L}} - n} {n} }) \ left ({\ frac {1} {{R} _ {2}}} - {\ frac {1} {{R} _ {1}}} - {\ frac {d} {{{R} _ {1}} {{R} _ {2}}}} {\ frac {{{n} _ {L}} - n} {{n} _ {L}}} \ right) & 1 + {\ frac {d} {{R} _ {2}}} {\ frac {{{n} _ {L}} - n} {{n} _ {L}}} \\\ end {matrix}} \ right ] = \ left [{\ begin {matrix} 1 & {{H} _ {2}} \\ 0 & 1 \\\ end {matrix}} \ right] \ left [{\ begin {matrix} 1 & 0 \\ {\ frac {1} {- f}} & 1 \\\ end {matrix}} \ right] \ left [{\ begin {matrix} 1 & {{H} _ {1}} \\ 0 & 1 \\\ end {matrix}} \ right]}$,

donde están el índice de refracción del material de la lente, el índice de refracción del medio circundante y los planos principales de la lente y la distancia focal medida desde los planos principales. ${\ Displaystyle {\ mathit {n}} _ {L}}$${\ Displaystyle {\ mathit {n}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {{H} _ {1}}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {{H} _ {2}}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {f}}}$

espejo

Para un espejo con la curvatura del ápice , la ley de la reflexión da la matriz ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle K = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - 2 \ rho & 1 \ end {bmatrix}}}$,

donde describe un espejo plano. es positivo para un espejo cóncavo y negativo para un espejo convexo. Para un espejo esférico, el radio es . Tenga en cuenta la convención de que el eje óptico coincide con la dirección general de propagación de la luz, es decir, invierte su dirección en el espejo. ${\ Displaystyle \ rho = 0}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle r = 1 / \ rho}$

Niveles principales

La distancia focal equivalente de una lente delgada y los planos principales del sistema óptico asociado se pueden determinar a partir de una matriz de transferencia.

${\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} A&B \\ C&D \\\ end {matrix}} \ right] \, = \ left [{\ begin {matrix} 1 & {{H} _ {2}} \ \ 0 & 1 \\\ end {matrix}} \ right] \ \, \ left [{\ begin {matrix} 1 & 0 \\ - {{f} ^ {- 1}} & 1 \\\ end {matriz}} \ derecha] \ \ izquierda [{\ begin {matriz} 1 & {{H} _ {1}} \\ 0 & 1 \\\ end {matriz}} \ derecha] = \ izquierda [{\ comenzar {matriz} 1 - {\ frac {{H} _ {2}} {f}} & {{H} _ {1}} + {{H} _ {2}} - {\ frac {{{H } _ {1}} {{H} _ {2}}} {f}} \\ - {\ frac {1} {f}} & 1 - {\ frac {{H} _ {1}} {f }} \\\ end {matrix}} \ right]}$

${\ Displaystyle f = - {\ frac {1} {C}}}$

${\ Displaystyle {{H} _ {1}} = {\ frac {D-1} {C}}}$

${\ Displaystyle {{H} _ {2}} = {\ frac {A-1} {C}}}$

Por tanto, es posible desconectar un sistema óptico con varias lentes con una sola distancia focal equivalente .

Combinación de elementos

Si un haz atraviesa varios elementos ópticos uno tras otro, las matrices de transferencia correspondientes se aplican sucesivamente al vector del haz, lo que equivale a multiplicarlas y luego aplicar la matriz producto al vector. Se aplican las reglas de la multiplicación de matrices : si el haz pasa a través de tres elementos en la secuencia , el producto se forma en la secuencia . ${\ Displaystyle T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}}$${\ Displaystyle T_ {3} \ cdot T_ {2} \ cdot T_ {1}}$

Las matrices de sistemas más complicados resultan como producto de las matrices de las partes del sistema elemental, por ejemplo, la de una lente gruesa de las de la superficie de una lente, una traslación a través del cristal de la lente y otra superficie, o la de un sistema de lente secuencia de la lente, la traducción, la lente ,. .. o superficie, traducción, área, ... .

Convención alternativa

A diferencia de la convención utilizada aquí, algunos autores definen el vector de rayos como , donde n es el índice de refracción del medio en la ubicación . La consecuencia de esto es que, por ejemplo, en la matriz para la traducción a través de un medio, esta n adicional debe corregirse; se lee en esta convención y, por lo tanto, depende explícitamente del medio. La ventaja de esta convención es que la matriz de refracción sobre una superficie plana se convierte en la matriz unitaria . ${\ Displaystyle {\ vec {r}} (z) = {\ begin {pmatrix} r (z) \\ n \ alpha (z) \ end {pmatrix}}}$${\ Displaystyle (r, z)}$${\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} 1 & {\ frac {d} {n}} \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Algunos autores también intercambian las dos entradas del vector de rayos para que se defina de la siguiente manera:

${\ Displaystyle {\ vec {r}} (z) = {\ begin {pmatrix} n \ alpha (z) \\ r (z) \ end {pmatrix}}}$.

Las matrices deben cambiarse en consecuencia (giradas 180 °).

Otros usos

Rayos gaussianos

La aplicación de la óptica matricial no se limita a la óptica geométrica, también se puede trasladar al concepto de rayos gaussianos a través de la transición de matrices a imágenes de Möbius . Para ello, las matrices ABCD y sus reglas de multiplicación se mantienen por completo, pero ya no las aplica por multiplicación a un vector de rayo, sino al parámetro de rayo de acuerdo con la siguiente regla: ${\ Displaystyle q}$

${\ Displaystyle q_ {1} (z) = {\ frac {Aq_ {0} + B} {Cq_ {0} + D}}}$.

El parámetro del haz se calcula utilizando el radio de curvatura del haz gaussiano, la longitud de onda y el radio del haz gaussiano (alternativa ). ${\ Displaystyle {1 \ over q} = {1 \ over R} - {i \ lambda \ over \ pi w ^ {2}}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle w}$${\ Displaystyle q (z) = z + iz_ {0}}$

polarización

Se utiliza un método análogo a la óptica de matriz geométrica para calcular el cambio de polarización al pasar por elementos ópticos. El estado de polarización se expresa mediante vectores de Jones y se manipula con matrices de Jones.

Uso técnico

Además de la aplicación matemática del método con z. B. Programas como MATLAB para calcular trayectorias de haces, adaptaciones de los mismos se utilizan para anticipar trayectorias de haces de sistemas de lentes en movimiento y para calcular imágenes esperadas por adelantado, como B. en el seguimiento de objetos en tiempo real o el ajuste de sistemas de lentes conectados para enfocar, como espejos astronómicos.

literatura

• D. Meschede: Óptica, luz y láser. BG Teubner, Stuttgart / Leipzig 2005, ISBN 3-519-13248-6 .
• F. Pedrotti, L. Pedrotti, Werner Bausch, Hartmut Schmidt: Óptica . Prentice Hall, Munich y otros 1996, ISBN 3-8272-9510-6 .

enlaces web

• Harm Fesefeldt: Fundamentos de la óptica de matriz paraxial. RWTH Aquisgrán.

Evidencia individual

1. ↑ E. Hecht: Óptica. 4ª edición. Oldenbourg, Múnich 2005, ISBN 3-486-27359-0 .
2. ↑ W. & U. Zinth: Óptica - rayos de luz - ondas - fotones. 2ª Edición. Oldenbourg, Múnich, 2009, ISBN 978-3-486-58801-9 .