Обозначение точечного процесса - Point process notation

Вероятность
Контур Каталог статей Вероятностные Глоссарий Обозначение Журналы Категория
v т е

В вероятности и статистике , точечный процесс обозначение включает в себя ряд математических обозначений , используемых символический представляют собой случайные объекты , известные как точечные процессы , которые используются в смежных областях , такие как стохастическая геометрия , пространственная статистика и теория континуума перколяции и часто служат в качестве математических моделей случайного явления, представленные в виде точек во времени, пространстве или в обоих случаях.

Обозначения изменяются из - за истории некоторых математических полеми и различных интерпретаций точечных процессов и заимствуют обозначения из математических областей исследования , такие как теория меры и теории множеств .

Интерпретация точечных процессов

Обозначения, а также терминология точечных процессов зависят от их настройки и интерпретации как математических объектов, которые при определенных допущениях могут быть интерпретированы как случайные последовательности точек, случайные наборы точек или случайные счетные меры .

Случайные последовательности точек

В некоторых математических рамках данный точечный процесс можно рассматривать как последовательность точек, каждая из которых случайным образом расположена в d -мерном евклидовом пространстве R ^d, а также в некоторых других более абстрактных математических пространствах . В целом, эквивалентна ли случайная последовательность другим интерпретациям точечного процесса, зависит от лежащего в основе математического пространства, но это верно для настройки конечномерного евклидова пространства R ^d .

Случайный набор точек

Точечный процесс называется простым, если никакие две (или более точки) не совпадают по положению с вероятностью один . Учитывая, что часто точечные процессы просты и порядок точек не имеет значения, набор случайных точек можно рассматривать как случайный набор точек. Теория случайных множеств была независимо разработана Дэвидом Кендаллом и Жоржем Матероном . С точки зрения того, что считается случайным набором, последовательность случайных точек является случайным замкнутым множеством, если последовательность не имеет точек накопления с вероятностью единица.

Точечный процесс часто обозначается одной буквой, например , и если точечный процесс рассматривается как случайный набор, то соответствующие обозначения: ${\ displaystyle {N}}$

${\ displaystyle x \ in {N},}$

используется для обозначения того, что случайная точка является элементом (или принадлежит ) точечному процессу . Теория случайных множеств может быть применена к точечным процессам благодаря этой интерпретации, которая наряду с интерпретацией случайной последовательности привела к тому, что точечный процесс записывается как: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {N}}$

${\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots \} = \ {x \} _ {i},}$

что подчеркивает его интерпретацию как случайную последовательность или случайный замкнутый набор точек. Кроме того, иногда заглавная буква обозначает точечный процесс, в то время как в нижнем регистре обозначает точку из процесса, так что , например, точка (или ) принадлежит или является точкой точечного процесса , или с множеством обозначений . ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle X}$${\ displaystyle \ textstyle x \ in X}$

Случайные меры

Для обозначения количества точек, находящихся в некотором борелевском множестве , иногда пишут ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ Phi (B) = \ # (B \ cap {N}),}$

где - случайная величина, а - счетная мера , которая дает количество точек в некотором наборе. В этом математическом выражении точечный процесс обозначается: ${\ Displaystyle \ Phi (B)}$${\ displaystyle \ #}$

${\ displaystyle {N}}$ .

С другой стороны, символ:

${\ displaystyle \ Phi}$

представляет количество точек в . В контексте случайных мер можно написать: ${\ displaystyle {N}}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ Phi (B) = п}$

чтобы обозначить, что существует множество, которое содержит точки . Другими словами, точечный процесс можно рассматривать как случайную меру, которая присваивает множествам некоторую неотрицательную целочисленную меру . Эта интерпретация послужила причиной того, что точечный процесс считается просто еще одним названием случайной счетной меры, а методы теории случайной меры предлагают другой способ изучения точечных процессов, что также побуждает использовать различные обозначения, используемые в теории интеграции и меры. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {N}}$

Двойное обозначение

Различные интерпретации точечных процессов как случайных множеств и счетных мер фиксируются с помощью часто используемых обозначений, в которых:

• ${\ displaystyle {N}}$ обозначает набор случайных точек.
• ${\ displaystyle {N} (B)}$ обозначает случайную величину, которая дает количество точек в (следовательно, это случайная мера подсчета). ${\ displaystyle {N}}$${\ displaystyle B}$

Снова обозначая счетную меру буквой , это двойное обозначение означает: ${\ displaystyle \ #}$

${\ displaystyle {N} (B) = \ # (B \ cap {N}).}$

Суммы

Если - некоторая измеримая функция на R ^d , то сумму по всем точкам в можно записать несколькими способами, например: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {N}}$

${\ Displaystyle е (х_ {1}) + е (х_ {2}) + \ cdots}$

который имеет вид случайной последовательности или с обозначением как:

${\ Displaystyle \ сумма _ {х \ в {N}} е (х)}$

или, что то же самое, с обозначением интеграции как:

${\ displaystyle \ int _ {\ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx)}$

где акцент делается на интерпретации случайной меры подсчета. Можно использовать альтернативное обозначение интегрирования, чтобы записать этот интеграл как: ${\ displaystyle {N}}$

${\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} f \, d {N}}$

Двойная интерпретация точечных процессов иллюстрируется записью количества точек в наборе как: ${\ displaystyle {N}}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle {N} (B) = \ sum _ {x \ in {N}} 1_ {B} (x)}$

где индикаторная функция, если точка существует в, и ноль в противном случае, что в этой настройке также известно как мера Дирака . В этом выражении интерпретация случайной меры находится в левой части, в то время как используется нотация случайного набора - в правой части. ${\ Displaystyle 1_ {B} (х) = 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle B}$

Ожидания

Среднее или ожидаемое значение из суммы функций над точечным процессом записываются в виде:

${\ displaystyle E \ left [\ sum _ {x \ in {N}} f (x) \ right] \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ int _ {\ textbf {N}} \ sum _ { x \ in {N}} f (x) P (d {N}),}$

где (в смысле случайной меры) - подходящая вероятностная мера, определенная на пространстве считающих мер . Ожидаемое значение можно записать как: ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ textbf {N}}}$${\ displaystyle {N} (B)}$

${\ Displaystyle E [{N} (B)] = E \ left (\ sum _ {x \ in {N}} 1_ {B} (x) \ right) \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ int _ {\ textbf {N}} \ sum _ {x \ in {N}} 1_ {B} (x) P (d {N}).}$

который также известен как первый момент измерения из . Математическое ожидание такой случайной суммы, известное как процесс дробового шума в теории точечных процессов, может быть вычислено с помощью теоремы Кэмпбелла . ${\ displaystyle {N}}$

Использование в других областях

Точечные процессы используются в других математических и статистических дисциплинах, поэтому обозначения могут использоваться в таких областях, как стохастическая геометрия , пространственная статистика или теория перколяции континуума , а также в областях, в которых используются методы и теория из этих областей.

Смотрите также

• Математические буквенно-цифровые символы
• Математические обозначения
• Обозначение в вероятности
• Таблица математических символов

Ноты

Рекомендации