Puntprocesnotatie - Point process notation

In waarschijnlijkheid en statistiek , puntproces notatie omvat het gebied van wiskundige notatie gebruikt symbolisch weergeven willekeurige objecten bekend als puntprocessen , die worden gebruikt op verwante gebieden zoals stochastische geometrie , ruimtelijke statistiek en continuüm percolatietheorie en vaak dienen als mathematische modellen willekeurige verschijnselen, vertegenwoordigd als punten, in tijd, ruimte of beide.

De notatie varieert als gevolg van de geschiedenis van bepaalde wiskundige velden en de verschillende interpretaties van puntprocessen, en ontleent de notatie aan wiskundige studiegebieden zoals maattheorie en verzamelingenleer .

Interpretatie van puntprocessen

De notatie, en de terminologie van puntprocessen hangt af van de omgeving en interpretatie wiskundige objecten die onder bepaalde veronderstellingen kan worden geïnterpreteerd als willekeurige reeksen punten, willekeurige reeksen van punten of willekeurige telmaat .

Willekeurige opeenvolgingen van punten

In sommige wiskundige raamwerken kan een bepaald puntproces worden beschouwd als een reeks punten met elk punt willekeurig gepositioneerd in de d- dimensionale Euclidische ruimte R ^d , evenals enkele andere meer abstracte wiskundige ruimtes . In het algemeen hangt het al dan niet gelijkwaardig zijn van een willekeurige reeks aan de andere interpretaties van een puntproces af van de onderliggende wiskundige ruimte, maar dit geldt voor de instelling van de eindig-dimensionale Euclidische ruimte R ^d .

Willekeurige reeks punten

Een puntenproces wordt eenvoudig genoemd als geen twee (of meer punten) qua locatie samenvallen met kans één . Aangezien puntprocessen vaak eenvoudig zijn en de volgorde van de punten er niet toe doet, kan een verzameling willekeurige punten worden beschouwd als een willekeurige reeks punten. De theorie van willekeurige verzamelingen werd onafhankelijk ontwikkeld door David Kendall en Georges Matheron . In termen van te worden beschouwd als een willekeurige reeks, is een reeks willekeurige punten een willekeurige gesloten reeks als de reeks geen accumulatiepunten heeft met waarschijnlijkheid één

Een puntproces wordt bijvoorbeeld vaak aangeduid met een enkele letter, en als het puntproces wordt beschouwd als een willekeurige reeks, dan is de bijbehorende notatie: ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle x \ in {N},}

wordt gebruikt om aan te geven dat een willekeurig punt een element is van (of behoort tot) het puntproces . De theorie van willekeurige verzamelingen kan worden toegepast op puntprocessen dankzij deze interpretatie, die naast de interpretatie van willekeurige sequenties heeft geresulteerd in een puntproces dat wordt geschreven als: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots \} = \ {x \} _ {i},}

wat de interpretatie ervan benadrukt als een willekeurige reeks of een willekeurige gesloten reeks punten. Bovendien soms een hoofdletter geeft het puntproces, terwijl een kleine letter geeft een punt van het proces, zodat bijvoorbeeld het punt (en ) aangesloten of is een punt van het puntproces of met vaste notatie . ${\ displaystyle \ textstyle x}$ ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle X}$ ${\ displaystyle \ textstyle x \ in X}$

Willekeurige maatregelen

Om het aantal punten in een Borel-verzameling aan te duiden , wordt het soms geschreven ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ Phi (B) = \ # (B \ cap {N}),}

waar is een willekeurige variabele en is een telmaat , die het aantal punten in een set geeft. In deze wiskundige uitdrukking wordt het puntproces aangeduid met: ${\ displaystyle \ Phi (B)}$ ${\ displaystyle \ #}$

${\ displaystyle {N}}$ .

Aan de andere kant, het symbool:

${\ displaystyle \ Phi}$

vertegenwoordigt het aantal punten van in . In de context van willekeurige metingen kan men schrijven: ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ Phi (B) = n}$

om aan te geven dat er een set is die punten bevat van . Met andere woorden, een puntenproces kan worden beschouwd als een willekeurige maat die een niet-negatieve maat met gehele waarde aan sets toewijst . Deze interpretatie heeft ertoe geleid dat een puntproces wordt beschouwd als slechts een andere naam voor een willekeurige telmaat en dat de technieken van de willekeurige-meettheorie een andere manier bieden om puntprocessen te bestuderen, wat ook het gebruik van de verschillende notaties induceert die worden gebruikt in integratie- en maattheorie. ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {N}}$

Dubbele notatie

De verschillende interpretaties van puntprocessen als willekeurige verzamelingen en telmaatstaven worden vastgelegd met de vaak gebruikte notatie waarin:

${\ displaystyle {N}}$ geeft een reeks willekeurige punten aan.
${\ displaystyle {N} (B)}$ geeft een willekeurige variabele aan die het aantal punten van in geeft (daarom is het een willekeurige telmaat). ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

Om de telmaat opnieuw aan te duiden, houdt deze dubbele notatie in: ${\ displaystyle \ #}$

{\ displaystyle {N} (B) = \ # (B \ cap {N}).}

Sommen

Als er een meetbare functie is op R ^d , dan kan de som van alle punten in op een aantal manieren worden geschreven, zoals: ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + \ cdots}

die het uiterlijk van een willekeurige reeks heeft, of met de ingestelde notatie als:

{\ displaystyle \ som _ {x \ in {N}} f (x)}

of, equivalent, met integratienotatie als:

{\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx)}

waarbij de nadruk ligt op de interpretatie van een willekeurige telmaat. Een alternatieve integratienotatie kan worden gebruikt om deze integraal te schrijven als: ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} f \, d {N}}

De dubbele interpretatie van puntprocessen wordt geïllustreerd bij het schrijven van het aantal punten in een set als: ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle {N} (B) = \ som _ {x \ in {N}} 1_ {B} (x)}

waar de indicatorfunctie als het punt is bestaat in en nul anders, wat in deze instelling ook bekend staat als een Dirac-maat . In deze uitdrukking bevindt de interpretatie van willekeurige maten zich aan de linkerkant, terwijl de willekeurige set-notatie aan de rechterkant wordt gebruikt. ${\ displaystyle 1_ {B} (x) = 1}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle B}$

Verwachtingen

De gemiddelde of verwachte waarde van een som van functies over een puntproces wordt geschreven als:

{\ Displaystyle E \ left [\ sum _ {x \ in {N}} f (x) \ right] \ qquad {\ text {of}} \ qquad \ int _ {\ textbf {N}} \ sum _ { x \ in {N}} f (x) P (d {N}),}

waarbij (in de zin van willekeurige maat) een geschikte kansmaat is gedefinieerd op de ruimte van telmaatregelen . De verwachte waarde van kan worden geschreven als: ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ textbf {N}}}$ ${\ displaystyle {N} (B)}$

{\ displaystyle E [{N} (B)] = E \ left (\ sum _ {x \ in {N}} 1_ {B} (x) \ right) \ qquad {\ text {or}} \ qquad \ int _ {\ textbf {N}} \ som _ {x \ in {N}} 1_ {B} (x) P (d {N}).}

die ook bekend staat als de eerste momentmeting van . De verwachting van een dergelijke willekeurige som, bekend als een schotruisproces in de theorie van puntprocessen, kan worden berekend met de stelling van Campbell . ${\ displaystyle {N}}$

Gebruikt in andere velden

Puntprocessen worden gebruikt in andere wiskundige en statistische disciplines, vandaar dat de notatie kan worden gebruikt in gebieden zoals stochastische meetkunde , ruimtelijke statistiek of continuümpercolatietheorie , en gebieden die de methoden en theorie uit deze velden gebruiken.

Zie ook

Opmerkingen

Referenties

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke en L. Ruschendorf. Stochastische geometrie en zijn toepassingen , tweede editie, sectie 4.1, Wiley Chichester, 1995.
^ ^a ^b Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Een inleiding tot de theorie van puntprocessen . Waarschijnlijkheid en zijn toepassingen. doi : 10.1007 / b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4 .
^ ^a ^b ^c ^d M. Haenggi. Stochastische geometrie voor draadloze netwerken . Hoofdstuk 2. Cambridge University Press, 2012.
^ Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2008). Een inleiding tot de theorie van puntprocessen . Waarschijnlijkheid en zijn toepassingen. doi : 10.1007 / 978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8 .
^ Baddeley, A .; Barany, I .; Schneider, R .; Weil, W. (2007). "Ruimtelijke puntprocessen en hun toepassingen". Stochastische geometrie . Lecture Notes in Mathematics. 1892 . p. 1. doi : 10.1007 / 978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7 .
^ Schneider, R .; Weil, W. (2008). Stochastische en integrale meetkunde . Waarschijnlijkheid en zijn toepassingen. doi : 10.1007 / 978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4 .
^ ^a ^b J. FC Kingman . Poissonprocessen , deel 3. Oxford university press, 1992.
^ ^a ^b ^c Moller, J .; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Statistische inferentie en simulatie voor ruimtelijke puntprocessen . C & H / CRC-monografieën over statistieken en toegepaste waarschijnlijkheid. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi : 10.1201 / 9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7 .
^ Molchanov, Ilya (2005). Theorie van willekeurige sets . Waarschijnlijkheid en zijn toepassingen. doi : 10.1007 / 1-84628-150-4 . ISBN 978-1-85233-892-3 .
^ Grandell, januari (1977). "Puntprocessen en willekeurige maatregelen". Vooruitgang in toegepaste waarschijnlijkheid . 9 (3): 502-526. doi : 10,2307 / 1426111 . JSTOR 1426111 .
^ ^a ^b Baccelli, FO (2009). "Stochastische geometrie en draadloze netwerken: deel I-theorie" (pdf) . Fundamenten en trends in netwerken . 3 (3-4): 249-449. doi : 10.1561 / 1300000006 .

[stoyan1995stochastic-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^o D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke en L. Ruschendorf. Stochastische geometrie en zijn toepassingen , tweede editie, sectie 4.1, Wiley Chichester, 1995.

[daleyPPI2003-2] Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Een inleiding tot de theorie van puntprocessen . Waarschijnlijkheid en zijn toepassingen. doi : 10.1007 / b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4 .

[haenggi2012stochastic-3] M. Haenggi. Stochastische geometrie voor draadloze netwerken . Hoofdstuk 2. Cambridge University Press, 2012.

[daleyPPII2008-4] Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2008). Een inleiding tot de theorie van puntprocessen . Waarschijnlijkheid en zijn toepassingen. doi : 10.1007 / 978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8 .

[baddeley2007spatial-5] Baddeley, A .; Barany, I .; Schneider, R .; Weil, W. (2007). "Ruimtelijke puntprocessen en hun toepassingen". Stochastische geometrie . Lecture Notes in Mathematics. 1892 . p. 1. doi : 10.1007 / 978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7 .

[schneider2008stochastic-6] Schneider, R .; Weil, W. (2008). Stochastische en integrale meetkunde . Waarschijnlijkheid en zijn toepassingen. doi : 10.1007 / 978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4 .

[kingman1992poisson-7] J. FC Kingman . Poissonprocessen , deel 3. Oxford university press, 1992.

[moller2003statistical-8] Moller, J .; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Statistische inferentie en simulatie voor ruimtelijke puntprocessen . C & H / CRC-monografieën over statistieken en toegepaste waarschijnlijkheid. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi : 10.1201 / 9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7 .

[molvcanov2005theory-9] Molchanov, Ilya (2005). Theorie van willekeurige sets . Waarschijnlijkheid en zijn toepassingen. doi : 10.1007 / 1-84628-150-4 . ISBN 978-1-85233-892-3 .

[grandell1977point-10] Grandell, januari (1977). "Puntprocessen en willekeurige maatregelen". Vooruitgang in toegepaste waarschijnlijkheid . 9 (3): 502-526. doi : 10,2307 / 1426111 . JSTOR 1426111 .

[BB1-12] Baccelli, FO (2009). "Stochastische geometrie en draadloze netwerken: deel I-theorie" (pdf) . Fundamenten en trends in netwerken . 3 (3-4): 249-449. doi : 10.1561 / 1300000006 .

Languages

In other projects