Funcție binară - Binary function

În matematică , o funcție binară (numită și funcție bivariantă sau funcție a două variabile ) este o funcție care ia două intrări.

Precis spus, o funcție este binară dacă există seturi astfel încât ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$

{\ displaystyle \, f \ colon X \ times Y \ rightarrow Z}

unde este produsul cartezian al și ${\ displaystyle X \ times Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y.}$

Definiții alternative

Setat teoretic , o funcție binară poate fi reprezentată ca un subset al produsului cartezian , unde aparține subsetului dacă și numai dacă . În schimb, un subset definește o funcție binară dacă și numai dacă pentru oricare și , există un astfel de unic care aparține . este apoi definit ca acesta . ${\ displaystyle X \ times Y \ times Z}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle f (x, y) = z}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle x \ în X}$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ displaystyle z \ în Z}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ ${\ displaystyle z}$

Alternativ, o funcție binară poate fi interpretată ca o simplă funcție de la . Chiar și atunci când ne gândim la acest mod, totuși, în general se scrie în loc de . (Adică, aceeași pereche de paranteze este utilizată pentru a indica atât funcția de aplicare, cât și formarea unei perechi ordonate .) ${\ displaystyle X \ times Y}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ ${\ displaystyle f ((x, y))}$

Exemple

Împărțirea numerelor întregi poate fi gândită ca o funcție. Dacă este mulțimea numerelor întregi , este mulțimea numerelor naturale (cu excepția zero) și este mulțimea numerelor raționale , atunci diviziunea este o funcție binară . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {N} ^ {+} \ to \ mathbb {Q}}$

Un alt exemplu este cel al produselor interioare, sau mai general funcții ale formei , unde $x$ , $y$ sunt vectori cu valoare reală de dimensiune adecvată și $M$ este o matrice. Dacă $M$ este o matrice definitivă pozitivă , aceasta produce un produs interior . ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {\ mathrm {T}} My}$

Funcțiile a două variabile reale

Funcțiile al căror domeniu este un subset de sunt adesea numite și funcții ale două variabile, chiar dacă domeniul lor nu formează un dreptunghi și, astfel, produsul cartezian al două seturi. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Restricții la funcțiile obișnuite

La rândul său, se pot deriva și funcții obișnuite ale unei variabile dintr-o funcție binară. Având în vedere orice element , există o funcție sau , de la , dată de . În mod similar, având în vedere orice element , există o funcție sau , de la , dată de . În informatică, această identificare între o funcție de la și o funcție de la la , unde este ansamblul tuturor funcțiilor de la la , se numește currying . ${\ displaystyle x \ în X}$ ${\ displaystyle f ^ {x}}$ ${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle f ^ {x} (y) = f (x, y)}$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ displaystyle f_ {y}}$ ${\ displaystyle f (\ cdot, y)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$ ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z}$

Generalizări

Diferitele concepte legate de funcții pot fi, de asemenea, generalizate la funcții binare. De exemplu, exemplul de diviziune de mai sus este surjectiv (sau pe ) deoarece fiecare număr rațional poate fi exprimat ca un coeficient al unui număr întreg și al unui număr natural. Acest exemplu este injectiv în fiecare intrare separat, deoarece funcțiile f ^x și f _y sunt întotdeauna injective. Cu toate acestea, nu este injectiv în ambele variabile simultan, deoarece (de exemplu) f (2,4) = f (1,2).

Se pot lua în considerare și funcții binare parțiale , care pot fi definite numai pentru anumite valori ale intrărilor. De exemplu, exemplul de divizare de mai sus poate fi interpretat și ca o funcție binară parțială de la Z și N la Q , unde N este mulțimea tuturor numerelor naturale, inclusiv zero. Dar această funcție este nedefinită atunci când a doua intrare este zero.

O operație binară este o funcție binară în care mulțimile X , Y și Z sunt toate egale; operațiile binare sunt adesea folosite pentru a defini structurile algebrice .

În algebră liniară , o transformare biliniară este o funcție binară în care mulțimile X , Y și Z sunt toate spații vectoriale și funcțiile derivate f ^x și f _y sunt toate transformări liniare . O transformare biliniară, ca orice funcție binară, poate fi interpretată ca o funcție de la X × Y la Z , dar această funcție în general nu va fi liniară. Cu toate acestea, transformarea biliniară poate fi interpretată ca o singură transformare liniară din produsul tensor la Z . ${\ displaystyle X \ otimes Y}$

Generalizări la funcțiile ternare și la alte funcții

Conceptul de generalizează funcții binare ternar (sau 3-ary ) funcția , cuaternara (sau 4-ary ) funcție , sau , mai general , la funcția n ary pentru orice număr natural n . O funcție 0-ary la Z este pur și simplu dat de un element Z . Se poate defini și o funcție A-ary în care A este orice set ; există o intrare pentru fiecare element A .

Teoria categoriilor

În teoria categoriilor , funcțiile n -ary se generalizează la morfisme n -ary într-o multicategorie . Interpretarea unui morfism n -ary ca morfisme obișnuite al căror domeniu este un fel de produs al domeniilor morfismului n -ary original va funcționa într-o categorie monoidală . Construcția morfismelor derivate ale unei variabile va funcționa într-o categorie monoidică închisă . Categoria seturilor este monoidal închisă, dar la fel este și categoria spațiilor vectoriale, oferind noțiunea de transformare biliniară de mai sus.

Languages

In other projects