Suprafață de randament - Yield surface

Suprafetele pe care invarianților , , sunt constante. Plotat în spațiul principal de stres.${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$${\ displaystyle J_ {3}}$

O suprafață de randament este o suprafață cu cinci dimensiuni în spațiul cu șase dimensiuni de solicitări . Suprafața de curgere este de obicei convexă, iar starea de tensiune din interiorul suprafeței de curgere este elastică. Când starea de tensiune se află la suprafață, se spune că materialul a atins punctul său de producție și se spune că materialul a devenit plastic . O deformare suplimentară a materialului face ca starea de solicitare să rămână pe suprafața de producție, chiar dacă forma și dimensiunea suprafeței se pot schimba pe măsură ce deformarea plastică evoluează. Acest lucru se datorează faptului că stările de stres care se află în afara suprafeței de randament nu sunt permise în plasticitatea independentă de viteză , deși nu în unele modele de viscoplasticitate .

Suprafața de randament este de obicei exprimată în termeni (și vizualizați în) un spațiu de tensiune principal tridimensional ( ), un spațiu bidimensional sau tridimensional întins de invarianți de stres ( ) sau o versiune a stresului tridimensional Haigh-Westergaard spațiu . Astfel putem scrie ecuația suprafeței de randament (adică a funcției de randament) în formele: ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}}$

• ${\ displaystyle f (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}) = 0 \,}$unde sunt principalele tensiuni.${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$
• ${\ displaystyle f (I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) = 0 \,}$unde este primul invariant principal al stresului Cauchy și sunt al doilea și al treilea invarianți principali ai părții deviatice a stresului Cauchy.${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$
• ${\ displaystyle f (p, q, r) = 0 \,}$unde sunt versiunile scalate ale și și este o funcție a .${\ displaystyle p, q}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$
• ${\ displaystyle f (\ xi, \ rho, \ theta) = 0 \,}$unde sunt versiunile scalate ale și , și este unghiul de solicitare sau unghiul Lode${\ displaystyle \ xi, \ rho}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$${\ displaystyle \ theta}$

Invarianți folosiți pentru a descrie suprafețele de randament

Suprafetele pe care invarianților , , sunt constante. Plotat în spațiul principal de stres.${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ theta}$

Primul invariant principal ( ) al stresului Cauchy ( ), și al doilea și al treilea invariant principal ( ) al părții deviatorice ( ) al stresului Cauchy sunt definite ca: ${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {s}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} & = {\ text {Tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = \ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} + \ sigma _ {3} \\ J_ {2} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ boldsymbol {s}}: {\ boldsymbol {s}} = {\ tfrac {1} {6}} \ left [ (\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2} \ right] \\ J_ {3} & = \ det ({\ boldsymbol {s}}) = {\ tfrac {1} {3}} ({\ boldsymbol {s}} \ cdot {\ boldsymbol {s}}): {\ boldsymbol {s}} = s_ {1} s_ {2} s_ {3} \ end {align}}}$

unde ( ) sunt valorile principale ale , ( ) sunt valorile principale ale și ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {s}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {s}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ tfrac {I_ {1}} {3}} \, {\ boldsymbol {I}}}$

unde este matricea identității. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {I}}}$

Un set înrudit de cantități, ( ), sunt de obicei utilizate pentru a descrie suprafețele de producție pentru materiale de frecare coezive, cum ar fi roci, soluri și ceramică. Acestea sunt definite ca ${\ displaystyle p, q, r \,}$

${\ displaystyle p = {\ tfrac {1} {3}} ~ I_ {1} ~: ~~ q = {\ sqrt {3 ~ J_ {2}}} = \ sigma _ {\ mathrm {eq}} ~ ; ~~ r = 3 \ left ({\ tfrac {1} {2}} \, J_ {3} \ right) ^ {1/3}}$

unde este stresul echivalent . Cu toate acestea, posibilitatea unor valori negative ale imaginii rezultate face ca utilizarea acestor mărimi să fie problematică în practică. ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}}}$${\ displaystyle J_ {3}}$${\ displaystyle r}$

Un alt set înrudit de invarianți pe scară largă este ( ) care descrie un sistem cilindric de coordonate ( coordonatele Haigh – Westergaard ). Acestea sunt definite ca: ${\ displaystyle \ xi, \ rho, \ theta \,}$

${\ displaystyle \ xi = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ I_ {1} = {\ sqrt {3}} ~ p ~; ~~ \ rho = {\ sqrt {2J_ {2} }} = {\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} ~ q ~; ~~ \ cos (3 \ theta) = \ left ({\ tfrac {r} {q}} \ right) ^ {3 } = {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} ~ {\ cfrac {J_ {3}} {J_ {2} ^ {3/2}}}}$

Avionul este , de asemenea , numit planul Rendulić . Unghiul se numește unghiul de solicitare, valoarea este uneori numită parametrul Lode și relația dintre și a fost dată pentru prima dată de Novozhilov VV în 1951, vezi și ${\ displaystyle \ xi - \ rho \,}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ cos (3 \ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$

Principalele tensiuni și coordonatele Haigh-Westergaard sunt legate de

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \ end {bmatrix}} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3} }} {\ begin {bmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {bmatrix}} + {\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta \\\ cos \ left (\ theta - {\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right) \\\ cos \ left (\ theta + {\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right) \ end {bmatrix}} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {bmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {bmatrix}} + {\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta \\ - \ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {6}} - \ theta \ right) \\ - \ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {6}} + \ theta \ right) \ end {bmatrix}} \ ,.}$

O definiție diferită a unghiului Lode poate fi găsită și în literatură:

${\ displaystyle \ sin (3 \ theta) = ~ {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} ~ {\ cfrac {J_ {3}} {J_ {2} ^ {3/2} }}}$

caz în care tensiunile principale ordonate (unde ) sunt legate de ${\ displaystyle \ sigma _ {1} \ geq \ sigma _ {2} \ geq \ sigma _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \ end {bmatrix}} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3} }} {\ begin {bmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {bmatrix}} + {\ tfrac {\ rho} {\ sqrt {2}}} ~ {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta - {\ tfrac {\ sin \ theta} {\ sqrt {3}}} \\ {\ tfrac {2 \ sin \ theta} {\ sqrt {3}}} \\ - {\ tfrac {\ sin \ theta } {\ sqrt {3}}} - \ cos \ theta \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Exemple de suprafețe de randament

Există mai multe suprafețe de randament diferite cunoscute în inginerie, iar cele mai populare sunt enumerate mai jos.

Suprafața de producție Tresca

Criteriul de randament Tresca este considerat a fi opera lui Henri Tresca . Este, de asemenea, cunoscut sub numele de teoria tensiunii maxime de forfecare (MSST) și criteriul Tresca – Guest (TG). În ceea ce privește principalele accentuări, criteriul Tresca este exprimat ca

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ max (| \ sigma _ {1} - \ sigma _ {2} |, | \ sigma _ {2} - \ sigma _ {3} |, | \ sigma _ {3} - \ sigma _ {1} |) = S_ {sy} = {\ tfrac {1} {2}} S_ {y}} \!}$

Unde este rezistența la forfecare în forfecare și este rezistența la forfecare . ${\ displaystyle S_ {sy}}$${\ displaystyle S_ {y}}$

Figura 1 prezintă suprafața de randament Tresca – Guest în spațiul tridimensional al tensiunilor principale. Este o prismă de șase laturi și având o lungime infinită. Aceasta înseamnă că materialul rămâne elastic atunci când toate cele trei solicitări principale sunt aproximativ echivalente (o presiune hidrostatică ), indiferent cât de mult este comprimat sau întins. Cu toate acestea, atunci când una dintre tensiunile principale devine mai mică (sau mai mare) decât celelalte, materialul este supus la forfecare. În astfel de situații, dacă tensiunea de forfecare atinge limita de randament, atunci materialul intră în domeniul plastic. Figura 2 prezintă suprafața de producție Tresca – Guest în spațiul de solicitare bidimensională, este o secțiune transversală a prismei de-a lungul planului. ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Figura 1: Vedere a suprafeței de producție Tresca – Guest în spațiul 3D al tensiunilor principale

Figura 2: Suprafața de randament Tresca – Guest în spațiul 2D ( )${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

von Mises cedează suprafața

Criteriul randamentului von Mises este exprimat în principalele tensiuni ca

${\ displaystyle {(\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + (\ sigma _ {3 } - \ sigma _ {1}) ^ {2} = 2 {S_ {y}} ^ {2}} \!}$

unde este puterea de curgere în tensiunea uniaxială. ${\ displaystyle S_ {y}}$

Figura 3 prezintă suprafața randamentului von Mises în spațiul tridimensional al tensiunilor principale. Este un cilindru circular de lungime infinită cu axa sa înclinată în unghiuri egale cu cele trei solicitări principale. Figura 4 prezintă suprafața randamentului von Mises în spațiul bidimensional în comparație cu criteriul Tresca – Guest. O secțiune transversală a cilindrului von Mises pe planul lui produce forma eliptică a suprafeței de randament. ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Figura 3: Vedere a suprafeței de producție Huber – Mises – Hencky în spațiul 3D cu solicitări principale

Figura 4: Compararea criteriilor Tresca – Guest și Huber – Mises – Hencky în spațiul 2D ( )${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Criteriul Burzyński-Yagn

Acest criteriu

${\ displaystyle 3I_ {2} '= {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {1} I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} {\ frac { \ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {2} I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}}}$

reprezintă ecuația generală a unei suprafețe de revoluție de ordinul doi în jurul axei hidrostatice. Unele cazuri speciale sunt:

• cilindru (Maxwell (1865), Huber (1904), von Mises (1913), Hencky (1924)),${\ displaystyle \ gamma _ {1} = \ gamma _ {2} = 0}$
• con (Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953)),${\ displaystyle \ gamma _ {1} = \ gamma _ {2} \ in] 0,1 [}$
• paraboloid (Burzyński (1928), Balandin (1937), Torre (1947)),${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ in] 0,1 [, \ gamma _ {2} = 0}$
• elipsoid centrat de planul de simetrie , (Beltrami (1885)),${\ displaystyle I_ {1} = 0}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} = - \ gamma _ {2} \ in] 0,1 [}$
• elipsoid centrat de planul de simetrie cu (Schleicher (1926)),${\ displaystyle I_ {1} = {\ frac {1} {2}} \, {\ bigg (} {\ frac {1} {\ gamma _ {1}}} + {\ frac {1} {\ gamma _ {2}}} {\ bigg)}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ in] 0,1 [, \ gamma _ {2} <0}$
• hiperboloid de două foi (Burzynski (1928), Yagn (1931)),${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ in] 0,1 [, \ gamma _ {2} \ in] 0, \ gamma _ {1} [}$
• hiperboloid de o foaie centrată de plan de simetrie , , (Kuhn (1980))${\ displaystyle I_ {1} = 0}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} = - \ gamma _ {2} = a \, i}$${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$
• hiperboloidul unei foi , (Filonenko-Boroditsch (1960), Gol'denblat-Kopnov (1968), Filin (1975)).${\ displaystyle \ gamma _ {1,2} = b \ pm a \, i}$${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$

Relațiile compresie-tensiune și torsiune-tensiune pot fi calculate la

${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {-}} {\ sigma _ {+}}} = {\ frac {1} {1- \ gamma _ {1} - \ gamma _ {2}}}, \ qquad {\ bigg (} {\ sqrt {3}} \, {\ frac {\ tau _ {*}} {\ sigma _ {+}}} {\ bigg)} ^ {2} = {\ frac {1 } {(1- \ gamma _ {1}) (1- \ gamma _ {2})}}}$

Raporturile lui Poisson la tensiune și compresie se obțin folosind

${\ displaystyle \ nu _ {+} ^ {\ mathrm {in}} = {\ frac {-1 + 2 (\ gamma _ {1} + \ gamma _ {2}) - 3 \ gamma _ {1} \ gamma _ {2}} {- 2+ \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2}}}}$

${\ displaystyle \ nu _ {-} ^ {\ mathrm {in}} = - {\ frac {-1+ \ gamma _ {1} ^ {2} + \ gamma _ {2} ^ {2} - \ gamma _ {1} \, \ gamma _ {2}} {(- 2+ \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2}) \, (- 1+ \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2 })}}}$

Pentru materialele ductile restricția

${\ displaystyle \ nu _ {+} ^ {\ mathrm {in}} \ in {\ bigg [} \, 0.48, \, {\ frac {1} {2}} \, {\ bigg]}}$

este important. Aplicarea unor criterii simetric de rotație pentru eșec fragil cu

${\ displaystyle \ nu _ {+} ^ {\ mathrm {in}} \ in] -1, ~ \ nu _ {+} ^ {\ mathrm {el}} \,]}$

nu a fost studiat suficient.

Criteriul Burzyński-Yagn este potrivit pentru scopuri academice. Pentru aplicații practice, al treilea invariant al deviatorului în puterea impar și pare ar trebui introdus în ecuație, de exemplu:

${\ displaystyle 3I_ {2} '{\ frac {1 + c_ {3} \ cos 3 \ theta + c_ {6} \ cos ^ {2} 3 \ theta} {1 + c_ {3} + c_ {6} }} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {1} I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {2} I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}}}$

Criteriul Huber

Criteriul Huber constă din elipsoidul Beltrami și un cilindru von Mises scalat în spațiul principal de tensiune, vezi și

${\ displaystyle 3 \, I_ {2} '= \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} \, {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} + \ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1+ \ gamma _ {1}}}, & I_ {1}> 0 \\ [1em] \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}} {1- \ gamma _ {1}}} \, { \ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}} {1+ \ gamma _ {1}}} și I_ {1} \ leq 0 \ end {array}} \ right.}$

cu . Tranziția între suprafețele din secțiunea transversală este continuu diferențiată. Criteriul reprezintă „viziunea clasică” cu privire la comportamentul material inelastic: ${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ în [0,1 [}$${\ displaystyle I_ {1} = 0}$

• comportament material sensibil la presiune pentru cu și${\ displaystyle I_ {1}> 0}$${\ displaystyle \ nu _ {+} ^ {\ mathrm {in}} \ in \ left] -1, \, 1/2 \ right]}$
• comportament material insensibil la presiune pentru cu ${\ displaystyle I_ {1} <0}$${\ displaystyle \ nu _ {-} ^ {\ mathrm {in}} = 1/2}$

Criteriul Huber poate fi utilizat ca o suprafață de randament cu o restricție empirică pentru raportul Poisson la tensiune , care duce la . ${\ displaystyle \ nu _ {+} ^ {\ mathrm {in}} \ in [0.48,1 / 2]}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ in [0,0.1155]}$

Criteriul Huber cu și modificat criteriul Huber cu și în planul Burzyński: stabilirea în conformitate cu ipoteza normală a stresului ( ). Criteriul von Mises ( ) este prezentat pentru comparație.${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 1 / {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} = (1 + {\ sqrt {5}}) / 6}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} = (1 - {\ sqrt {5}}) / 6}$${\ displaystyle \ nu _ {+} ^ {\ mathrm {in}} = 0}$${\ displaystyle \ nu _ {-} ^ {\ mathrm {in}} = \ nu _ {+} ^ {\ mathrm {in}} = 1/2}$

Criteriul Huber modificat, vezi și

${\ displaystyle 3 \, I_ {2} '= \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} \, {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {2} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}}, & I_ {1}> - d \, \ sigma _ {\ mathrm {+}} \\ [1em] \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} ^ { 2}} {(1- \ gamma _ {1} - \ gamma _ {2}) ^ {2}}}, & I_ {1} \ leq -d \, \ sigma _ {\ mathrm {+}} \ end {array}} \ right.}$

constă din elipsoidul Schleicher cu restricția raportului Poisson la compresiune

${\ displaystyle \ nu _ {-} ^ {\ mathrm {in}} = - {\ frac {-1+ \ gamma _ {1} ^ {2} + \ gamma _ {2} ^ {2} - \ gamma _ {1} \, \ gamma _ {2}} {(- 2+ \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2}) \, (- 1+ \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2 })}} = {\ frac {1} {2}}}$

și un cilindru cu -transiția în secțiune transversală . A doua setare pentru parametri și urmează cu relația de compresie / tensiune ${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle I_ {1} = - d \, \ sigma _ {\ mathrm {+}}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ în [0,1 [}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} <0}$

${\ displaystyle d = {\ frac {\ sigma _ {-}} {\ sigma _ {+}}} = {\ frac {1} {1- \ gamma _ {1} - \ gamma _ {2}}} \ geq 1}$

Criteriul Huber modificat poate fi mai bine adaptat la datele măsurate ca criteriu Huber. Pentru setare urmează și . ${\ displaystyle \ nu _ {+} ^ {\ mathrm {in}} = 0,48}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 0,0880}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} = - 0.0747}$

Criteriul Huber și criteriul Huber modificat ar trebui preferate criteriului von Mises, deoarece se obțin rezultate mai sigure în regiune . Pentru aplicații practice, al treilea invariant al deviatorului trebuie luat în considerare în aceste criterii. ${\ displaystyle I_ {1}> \ sigma _ {\ mathrm {+}}}$${\ displaystyle I_ {3} '}$

Suprafața de producție Mohr – Coulomb

Criteriul randamentului Mohr – Coulomb (eșec) este similar cu criteriul Tresca, cu prevederi suplimentare pentru materiale cu rezistențe diferite la întindere și la compresiune. Acest model este adesea folosit pentru modelarea betonului , a solului sau a materialelor granulare . Criteriul randamentului Mohr-Coulomb poate fi exprimat ca:

${\ displaystyle {\ frac {m + 1} {2}} \ max {\ Big (} | \ sigma _ {1} - \ sigma _ {2} | + K (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2}) ~, ~~ | \ sigma _ {1} - \ sigma _ {3} | + K (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {3}) ~, ~~ | \ sigma _ {2 } - \ sigma _ {3} | + K (\ sigma _ {2} + \ sigma _ {3}) {\ Big)} = S_ {yc}}$

Unde

${\ displaystyle m = {\ frac {S_ {yc}} {S_ {yt}}}; K = {\ frac {m-1} {m + 1}}}$

și parametrii și sunt tensiunile de cedare (eșec) ale materialului în compresie uniaxială și, respectiv, tensiune. Formula se reduce la criteriul Tresca dacă . ${\ displaystyle S_ {yc}}$${\ displaystyle S_ {yt}}$${\ displaystyle S_ {yc} = S_ {yt}}$

Figura 5 prezintă suprafața de producție Mohr-Coulomb în spațiul tridimensional al tensiunilor principale. Este o prismă conică și determină unghiul de înclinare a suprafeței conice. Figura 6 prezintă suprafața de producție Mohr – Coulomb în spațiul de tensiune bidimensională. În Figura 6 și este utilizat pentru și , respectiv, în formulă. Este o secțiune transversală a acestei prisme conice pe planul . În Figura 6 Rr și Rc sunt utilizate pentru Syc și, respectiv, Syt în formulă. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle R_ {r}}$${\ displaystyle R_ {c}}$${\ displaystyle S_ {yt}}$${\ displaystyle S_ {yc}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Figura 5: Vedere a suprafeței de producție Mohr – Coulomb în spațiul 3D cu solicitări principale

Figura 6: Suprafața de producție Mohr-Coulomb în spațiul 2D ( )${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Suprafața de producție Drucker – Prager

Criteriul randamentului Drucker-Prager este similar cu criteriul randamentului von Mises, cu prevederi pentru manipularea materialelor cu rezistența la tracțiune și compresiune randament diferite. Acest criteriu este cel mai adesea utilizat pentru beton în care atât eforturile normale, cât și forfecare pot determina defectarea. Criteriul de randament Drucker-Prager poate fi exprimat ca

${\ displaystyle {\ bigg (} {\ frac {m-1} {2}} {\ bigg)} (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} + \ sigma _ {3}) + {\ bigg (} {\ frac {m + 1} {2}} {\ bigg)} {\ sqrt {\ frac {(\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + (\ sigma _ {2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2}} {2}}} = S_ {yc}}$

Unde

${\ displaystyle m = {\ frac {S_ {yc}} {S_ {yt}}}}$

și , sunt tensiunile uniaxiale ale randamentului în compresie și respectiv în tensiune. Formula se reduce la ecuația von Mises dacă . ${\ displaystyle S_ {yc}}$${\ displaystyle S_ {yt}}$${\ displaystyle S_ {yc} = S_ {yt}}$

Figura 7 prezintă suprafața de producție Drucker-Prager în spațiul tridimensional al tensiunilor principale. Este un con regulat . Figura 8 prezintă suprafața de producție Drucker-Prager într-un spațiu bidimensional. Domeniul elastic eliptic este o secțiune transversală a conului pe planul ; se poate alege să intersecteze suprafața de producție Mohr – Coulomb într-un număr diferit de vârfuri. O alegere este de a intersecta suprafața de producție Mohr-Coulomb la trei vârfuri de ambele părți ale liniei, dar de obicei selectate prin convenție pentru a fi cele din regimul de compresie. O altă alegere este de a intersecta suprafața de producție Mohr-Coulomb la patru vârfuri pe ambele axe (potrivire uniaxială) sau la două vârfuri pe diagonală (potrivire biaxială). Criteriul de randament Drucker-Prager este de asemenea exprimat în mod obișnuit în termeni de coeziune a materialului și unghi de frecare . ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} = - \ sigma _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {2}}$

Figura 7: Vedere a suprafeței de producție Drucker-Prager în spațiul 3D cu solicitări principale

Figura 8: Vedere a suprafeței de producție Drucker-Prager în spațiul 2D al tensiunilor principale

Suprafața de producție Bresler – Pister

Criteriul randamentului Bresler – Pister este o extensie a criteriului randamentului Drucker Prager care utilizează trei parametri și are termeni suplimentari pentru materialele care cedează sub compresie hidrostatică. În ceea ce privește principalele tensiuni, acest criteriu de randament poate fi exprimat ca

${\ displaystyle S_ {yc} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ left [(\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + (\ sigma _ { 2} - \ sigma _ {3}) ^ {2} + (\ sigma _ {3} - \ sigma _ {1}) ^ {2} \ right] ^ {1/2} -c_ {0} -c_ {1} ~ (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} + \ sigma _ {3}) - c_ {2} ~ (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} + \ sigma _ {3}) ^ {2}}$

unde sunt constante materiale. Parametrul suplimentar conferă suprafeței randamentului o secțiune transversală elipsoidală atunci când este privită dintr-o direcție perpendiculară pe axa sa. Dacă este tensiunea de curgere în compresia uniaxială, este tensiunea de curgere în tensiunea uniaxială și este tensiunea de curgere în compresia biaxială, parametrii pot fi exprimați ca ${\ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {c}}$${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$${\ displaystyle \ sigma _ {b}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {1} = & \ left ({\ cfrac {\ sigma _ {t} - \ sigma _ {c}} {(\ sigma _ {t} + \ sigma _ {c })}} \ right) \ left ({\ cfrac {4 \ sigma _ {b} ^ {2} - \ sigma _ {b} (\ sigma _ {c} + \ sigma _ {t}) + \ sigma _ {c} \ sigma _ {t}} {4 \ sigma _ {b} ^ {2} +2 \ sigma _ {b} (\ sigma _ {t} - \ sigma _ {c}) - \ sigma _ {c} \ sigma _ {t}}} \ right) \\ c_ {2} = & \ left ({\ cfrac {1} {(\ sigma _ {t} + \ sigma _ {c})}} \ dreapta) \ left ({\ cfrac {\ sigma _ {b} (3 \ sigma _ {t} - \ sigma _ {c}) - 2 \ sigma _ {c} \ sigma _ {t}} {4 \ sigma _ {b} ^ {2} +2 \ sigma _ {b} (\ sigma _ {t} - \ sigma _ {c}) - \ sigma _ {c} \ sigma _ {t}}} \ right) \ \ c_ {0} = & c_ {1} \ sigma _ {c} -c_ {2} \ sigma _ {c} ^ {2} \ end {align}}}$

Figura 9: Vedere a suprafeței randamentului Bresler-Pister în spațiul 3D al tensiunilor principale

Figura 10: Suprafața de producție Bresler – Pister în spațiul 2D ( )${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Suprafața de producție Willam – Warnke

Criteriul randamentului Willam-Warnke este o versiune cu trei parametri netezit al criteriului randamentului Mohr-Coulomb care are similitudini în formă la Drucker-Prager și Bresler-Pister criteriilor de randament.

Criteriul de randament are forma funcțională

${\ displaystyle f (I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) = 0 ~.}$

Cu toate acestea, este mai frecvent exprimat în coordonatele Haigh – Westergaard ca

${\ displaystyle f (\ xi, \ rho, \ theta) = 0 ~.}$

Secțiunea transversală a suprafeței atunci când este privită de-a lungul axei sale este un triunghi netezit (spre deosebire de Mohr-Coulomb). Suprafața de producție Willam – Warnke este convexă și are derivate unice și bine definite pe fiecare punct al suprafeței sale. Prin urmare, modelul Willam-Warnke este robust din punct de vedere al calculului și a fost utilizat pentru o varietate de materiale de coeziune-frecare.

Figura 11: Vedere a suprafeței de producție Willam – Warnke în spațiul 3D cu solicitări principale

Figura 12: Suprafața de cedare Willam – Warnke în -plan${\ displaystyle \ pi}$

Suprafețele de producție trigonometrică Podgórski și Rosendahl

Normalizat în raport cu tensiunea uniaxială de tracțiune , criteriul Podgórski în funcție de unghiul de tensiune citește ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = \ sigma _ {+}}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = {\ sqrt {3 \, I_ {2} '}} \, {\ frac {\ Omega _ {3} (\ theta, \ beta _ {3} , \ chi _ {3})} {\ Omega _ {3} (0, \ beta _ {3}, \ chi _ {3})}},}$

cu funcția de formă a simetriei trigonale în -plan ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ Omega _ {3} (\ theta, \ beta _ {3}, \ chi _ {3}) = \ cos \ left [\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ left (\ pi \ beta _ {3} - \ arccos [\, \ sin (\ chi _ {3} \, {\ frac {\ pi} {2}}) \, \! \ cos 3 \, \ theta \,] \ dreapta) \ dreapta], \ qquad \ beta _ {3} \ in [0, \, 1], \ quad \ chi _ {3} \ in [-1, \, 1].}$

Acesta conține criteriile von Mises (cerc în -plane, , ), Tresca (hexagon regulat, , ), Mariotte (triunghi regulat, , ), Ivlev (triunghi regulat, , ) și , de asemenea , criteriul cub de Sayir (The Ottosen criteriu) cu și hexagonele izotoxale (echilaterale) ale criteriului Capurso cu . Von Mises - tranziția Tresca urmează cu , . Hexagonele izogonale (echiangulare) ale criteriului Haythornthwaite care conțin criteriul Schmidt-Ishlinsky (hexagonul regulat) nu pot fi descrise cu ctiterionul Podgórski. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = [0, \, 1]}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = 1/2}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = \ {1,0 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = 1/2}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = [0,1]}$

Criteriul Rosendahl citește

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = {\ sqrt {3 \, I_ {2} '}} \, {\ frac {\ Omega _ {6} (\ theta, \ beta _ {6} , \ chi _ {6})} {\ Omega _ {6} (0, \ beta _ {6}, \ chi _ {6})}},}$

cu funcția de formă a simetriei hexagonale în -plan ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ Omega _ {6} (\ theta, \ beta _ {6}, \ chi _ {6}) = \ cos \ left [\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ left (\ pi \ beta _ {6} - \ arccos [\, \ sin (\ chi _ {6} \, {\ frac {\ pi} {2}}) \, \! \ cos 6 \, \ theta \,] \ dreapta) \ dreapta], \ qquad \ beta _ {6} \ in [0, \, 1], \ quad \ chi _ {6} \ in [-1, \, 1].}$

Conține criteriile von Mises (cerc, , ), Tresca (hexagon regulat, , ), Schmidt-Ishlinsky (hexagon regulat, , ), Sokolovsky (dodecagonal regulate, , ), precum și criteriul bicubic cu sau egal cu , iar dodecagoane izotoxale ale criteriului de randament unificat al Yu cu . Dodecagonele izogonale ale criteriului multiplicativ ansatz al simetriei hexagonale conținând criteriul Ishlinsky-Ivlev (dodecagon regulat) nu pot fi descrise de criteriul Rosendahl. ${\ displaystyle \ beta _ {6} = [0, \, 1]}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = \ {1,0 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = 1/2}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = 1}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$

Criteriile Podgórski și Rosendahl descriu suprafețe unice în spațiul principal de solicitare, fără contururi exterioare și intersecții plane suplimentare. Rețineți că, pentru a evita problemele numerice, funcția de piesă reală poate fi introdusă funcției de formă: și . Generalizarea în formă este relevantă pentru investigațiile teoretice. ${\ displaystyle Re}$${\ displaystyle Re (\ Omega _ {3})}$${\ displaystyle Re (\ Omega _ {6})}$${\ displaystyle \ Omega _ {3n}}$

O extensie sensibilă la presiune a criteriilor poate fi obținută cu substituția liniară${\ displaystyle I_ {1}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} \ rightarrow {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ { 1}}} \ qquad {\ mbox {cu}} \ qquad \ gamma _ {1} \ în [0, \, 1 [,}$

ceea ce este suficient pentru multe aplicații, de exemplu metale, fontă, aliaje, beton, polimeri fără armături etc.

Secțiuni transversale de bază descrise de un cerc și poligoane regulate de simetrii trigonale sau hexagonale în -plan.${\ displaystyle \ pi}$

Suprafața de producție Bigoni – Piccolroaz

Criteriul randamentului Bigoni-Piccolroaz este o suprafață de șapte parametru definit de

${\ displaystyle f (p, q, \ theta) = F (p) + {\ frac {q} {g (\ theta)}} = 0,}$

unde este funcția „meridian” ${\ displaystyle F (p)}$

${\ displaystyle F (p) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} -Mp_ {c} {\ sqrt {(\ phi - \ phi ^ {m}) [2 (1- \ alpha) \ phi + \ alpha]}}, & \ phi \ în [0,1], \\ + \ infty, & \ phi \ notin [0,1], \ end {array}} \ right.}$

${\ displaystyle \ phi = {\ frac {p + c} {p_ {c} + c}},}$

descriind sensibilitatea la presiune și este funcția „deviatică” ${\ displaystyle g (\ theta)}$

${\ displaystyle g (\ theta) = {\ frac {1} {\ cos [\ beta {\ frac {\ pi} {6}} - {\ frac {1} {3}} \ cos ^ {- 1} (\ gamma \ cos 3 \ theta)]}},}$

descriind dependența de cedare a cedării. Cei șapte parametri materiali non-negativi:

${\ displaystyle \ underbrace {M> 0, ~ p_ {c}> 0, ~ c \ geq 0, ~ 0 <\ alpha <2, ~ m> 1} _ {{\ mbox {defining}} ~ \ displaystyle { F (p)}}, ~~~ \ underbrace {0 \ leq \ beta \ leq 2, ~ 0 \ leq \ gamma <1} _ {{\ mbox {defining}} ~ \ displaystyle {g (\ theta)} },}$

definiți forma secțiunilor meridiane și deviatice.

Acest criteriu reprezintă o suprafață netedă și convexă, care este închisă atât prin tensiune hidrostatică, cât și prin comprimare și are o formă asemănătoare picăturii, potrivită în special pentru a descrie materiale fricționale și granulare. Acest criteriu a fost generalizat și în cazul suprafețelor cu colțuri.

În spațiul 3D al principalelor tensiuni

În -plan${\ displaystyle \ pi}$

Suprafața de producție Bigoni-Piccolroaz

Cosine Ansatz (Altenbach-Bolchoun-Kolupaev)

Pentru formularea criteriilor de rezistență unghiul de solicitare

${\ displaystyle \ cos 3 \ theta = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} {\ frac {I_ {3} '} {I_ {2}' ^ {\ frac {3} { 2}}}}}$

poate fi utilizat.

Următorul criteriu al comportamentului material izotrop

${\ displaystyle (3I_ {2} ') ^ {3} {\ frac {1 + c_ {3} \ cos 3 \ theta + c_ {6} \ cos ^ {2} 3 \ theta} {1 + c_ {3 } + c_ {6}}} = \ displaystyle \ left ({\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {1 }}} \ right) ^ {6-lm} \, \ left ({\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}} - \ gamma _ {2} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}} \ right) ^ {l} \, \ sigma _ {\ mathrm {eq}} ^ {m}}$

conține o serie de alte criterii mai puțin cunoscute mai puțin generale, cu condiția să se aleagă valorile parametrilor corespunzători.

Parametrii și descrie geometria suprafeței în -plan. Ele sunt supuse constrângerilor ${\ displaystyle c_ {3}}$${\ displaystyle c_ {6}}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle c_ {6} = {\ frac {1} {4}} (2 + c_ {3}), \ qquad c_ {6} = {\ frac {1} {4}} (2-c_ {3 }), \ qquad c_ {6} \ geq {\ frac {5} {12}} \, c_ {3} ^ {2} - {\ frac {1} {3}},}$

care decurg din condiția de convexitate. O formulare mai precisă a celor trei constrângeri este propusă în.

Parametrii și descrie poziția punctelor de intersecție ale suprafeței de curgere cu axa hidrostatică (diagonală a spațiului în spațiul principal de solicitare). Aceste puncte de intersecție se numesc noduri hidrostatice. În cazul materialelor care nu cedează la presiune hidrostatică (oțel, alamă etc.) se obține . În caz contrar, pentru materialele care cedează la presiune hidrostatică (spume dure, ceramică, materiale sinterizate etc.), urmează . ${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ în [0, \, 1 [}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} \ în [0, \, \ gamma _ {1} [}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} <0}$

Puterile întregi și , descriu curbura meridianului. Meridianul cu este o linie dreaptă și cu - o parabolă. ${\ displaystyle l \ geq 0}$${\ displaystyle m \ geq 0}$${\ displaystyle l + m <6}$${\ displaystyle l = m = 0}$${\ displaystyle l = 0}$

Suprafața de randament a lui Barlat

Pentru materialele anizotrope, în funcție de direcția procesului aplicat (de exemplu, laminare), proprietățile mecanice variază și, prin urmare, utilizarea unei funcții de randament anizotrop este crucială. Din 1989, Frederic Barlat a dezvoltat o familie de funcții de randament pentru modelarea constitutivă a anizotropiei plastice. Dintre acestea, criteriile de randament Yld2000-2D au fost aplicate pentru o gamă largă de tablă (de exemplu, aliaje de aluminiu și oțeluri avansate de înaltă rezistență). Modelul Yld2000-2D este o funcție de randament de tip necadratic bazată pe două transformări liniare ale tensorului de solicitare:

${\ displaystyle \ Phi = \ Phi '(X') + \ Phi '' (X '') = 2 {{\ bar {\ sigma}} ^ {a}}}$ :

Locurile de randament Yld2000-2D pentru o foaie AA6022 T4.

unde este stresul efectiv. și și sunt matricile transformate (prin transformare liniară C sau L):${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}}}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X ''}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} X '= C'.s = L'. \ sigma \\ X '' = C ''. s = L ''. \ sigma \ end {array}}}$

unde s este tensorul deviatoric de tensiune.

pentru valorile principale ale lui X 'și X ”, modelul ar putea fi exprimat ca:

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ Phi '= {\ left | {{{X'} _ {1}} + {{X '} _ {2}}} \ right | ^ {a} } \\\ Phi '' = {\ left | {2 {{X ''} _ {2}} + {{X ''} _ {1}}} \ right | ^ {a}} + {\ left | {2 {{X ''} _ {1}} + {{X ''} _ {2}}} \ right | ^ {a}} \ end {array}} \}$

și:

${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {{L '} _ {11}} \\ {{L'} _ {12}} \\ {{L '} _ {21}} \\ {{L '} _ {22}} \\ {{L'} _ {66}} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {2/3} & 0 & 0 \\ {- 1/3} & 0 & 0 \\ 0 & {- 1/3} & 0 \\ 0 & {- 2/3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} } \ right] \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {\ alpha _ {1}} \\ {\ alpha _ {2}} \\ {\ alpha _ {7}} \ end {array}} \ right], \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {{L ''} _ {11}} \\ {{L ''} _ {12 }} \\ {{L ''} _ {21}} \\ {{L ''} _ {22}} \\ {{L ''} _ {66}} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {- 2} & 2 & 8 & {- 2} & 0 \\ 1 & {- 4} & {- 4} & 4 & 0 \\ 4 & {- 4} & {-4} & 4 & 0 \\ {- 2} & 8 & 2 & {- 2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right] \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {\ alpha _ {3}} \\ {\ alpha _ {4}} \\ {\ alpha _ {5}} \\ {\ alpha _ {6}} \\ {\ alpha _ {8}} \ end {array} }\dreapta]}$

unde sunt opt ​​parametri ai modelului Yld2000-2D al lui Barlat care trebuie identificați cu un set de experimente. ${\ displaystyle \ alpha _ {1} ... \ alpha _ {8}}$

Vezi si

Referințe