Výnosová plocha - Yield surface

Výtěžek povrch je pěti-trojrozměrný povrch v šesti trojrozměrném prostoru napětí . Mez kluzu je obvykle konvexní a stav napětí uvnitř plochy výtěžku je elastický. Když napěťový stav leží na povrchu, materiál údajně dosáhl meze kluzu a materiál se stal plastickým . Další deformace materiálu způsobí, že napěťový stav zůstane na kluzné ploše, přestože se tvar a velikost povrchu mohou měnit s vývojem plastické deformace. Důvodem je, že napěťové stavy, které leží mimo povrch výtěžku, jsou v rychlosti závislé na plasticitě nepřípustné , i když v některých modelech viskoplasticity nikoli .

Plocha výnosu je obvykle vyjádřena (a vizualizována) v trojrozměrném hlavním napěťovém prostoru ( ), dvourozměrném nebo prostorovém prostoru překlenutém invarianty napětí ( ) nebo ve verzi trojrozměrného Haigh-Westergaardova napětí prostor . Rovnici výnosové plochy (tj. Výnosové funkce) tedy můžeme zapsat do tvarů: ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}}$

• ${\ Displaystyle f (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}) = 0 \,}$kde jsou hlavní napětí.${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$
• ${\ displaystyle f (I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) = 0 \,}$kde je první hlavní invariant Cauchyova napětí a jsou druhou a třetí hlavní invarianty deviatorické části Cauchyova napětí.${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$
• ${\ Displaystyle f (p, q, r) = 0 \,}$kde jsou škálované verze a a je funkcí .${\ displaystyle p, q}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$
• ${\ Displaystyle f (\ xi, \ rho, \ theta) = 0 \,}$kde jsou zmenšené verze a , a je úhel napětí nebo Lode úhel${\ Displaystyle \ xi, \ rho}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$${\ displaystyle \ theta}$

Invarianty používané k popisu výnosových povrchů

První hlavní invariant ( ) Cauchyova napětí ( ) a druhá a třetí hlavní invarianty ( ) deviatorické části ( ) Cauchyova napětí jsou definovány jako: ${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {s}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I_ {1} & = {\ text {Tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = \ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3} \\ J_ {2} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ boldsymbol {s}}: {\ boldsymbol {s}} = {\ tfrac {1} {6}} \ left [ (\ sigma _ {1}-\ sigma _ {2})^{2}+(\ sigma _ {2}-\ sigma _ {3})^{2}+(\ sigma _ {3}-\ sigma _ {1})^{2} \ right] \\ J_ {3} & = \ det ({\ boldsymbol {s}}) = {\ tfrac {1} {3}} ({\ boldsymbol {s}} \ cdot {\ boldsymbol {s}}): {\ boldsymbol {s}} = s_ {1} s_ {2} s_ {3} \ end {zarovnaný}}}$

kde ( ) jsou hlavní hodnoty , ( ) jsou hlavní hodnoty , a ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {s}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {s}} = {\ boldsymbol {\ sigma}}-{\ tfrac {I_ {1}} {3}} \, {\ boldsymbol {I}}}$

kde je matice identity. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {I}}}$

Související soubor veličin ( ) se obvykle používá k popisu povrchových ploch pro soudržné třecí materiály, jako jsou horniny, půdy a keramika. Ty jsou definovány jako ${\ Displaystyle p, q, r \,}$

${\ Displaystyle p = {\ tfrac {1} {3}} ~ I_ {1} ~: ~~ q = {\ sqrt {3 ~ J_ {2}}} = \ sigma _ {\ mathrm {eq}} ~ ; ~~ r = 3 \ left ({\ tfrac {1} {2}} \, J_ {3} \ right)^{1/3}}$

kde je ekvivalentní napětí . Možnost záporných hodnot a výsledných imaginárních však činí použití těchto veličin v praxi problematickým. ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}}}$${\ displaystyle J_ {3}}$${\ displaystyle r}$

Další související široce používanou invarianty jsou ( ), které popisují válcový souřadnicový systém ( souřadnice Haigh – Westergaard ). Jsou definovány jako: ${\ Displaystyle \ xi, \ rho, \ theta \,}$

${\ Displaystyle \ xi = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ I_ {1} = {\ sqrt {3}} ~ p ~; ~~ \ rho = {\ sqrt {2J_ {2} }} = {\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} ~ q ~; ~~ \ cos (3 \ theta) = \ left ({\ tfrac {r} {q}} \ right)^{3 } = {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} ~ {\ cfrac {J_ {3}} {J_ {2}^{3/2}}}}$

Rovina je také nazýván Rendulic letadlo . Úhel se nazývá úhel napětí, hodnota se někdy nazývá parametr Lode a vztah mezi a byl poprvé dán Novozhilov VV v roce 1951, viz také ${\ Displaystyle \ xi -\ rho \,}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ cos (3 \ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$

Hlavní napětí a souřadnice Haigh – Westergaard spolu souvisejí

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \ end {bmatrix}} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3} }} {\ begin {bmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {bmatrix}}+{\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta \\\ cos \ left (\ theta -{\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right) \\\ cos \ left (\ theta +{\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right) \ end {bmatrix}} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {bmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {bmatrix}}+{\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta \\-\ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {6}}-\ theta \ right) \\-\ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {6}}+\ theta \ right) \ end {bmatrix}} \ ,.}$

V literatuře lze také nalézt jinou definici Lodeho úhlu:

${\ Displaystyle \ sin (3 \ theta) = ~ {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} ~ {\ cfrac {J_ {3}} {J_ {2}^{3/2} }}}$

v takovém případě objednaná hlavní napětí (kde ) souvisejí s ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} \ geq \ sigma _ {2} \ geq \ sigma _ {3}}$

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \ end {bmatrix}} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3} }} {\ begin {bmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {bmatrix}}+{\ tfrac {\ rho} {\ sqrt {2}}} ~ {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta -{\ tfrac {\ sin \ theta} {\ sqrt {3}}} \ \ {\ tfrac {2 \ sin \ theta} {\ sqrt {3}}} \\ -{\ tfrac {\ sin \ theta } {\ sqrt {3}}}-\ cos \ theta \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Příklady výnosových povrchů

Ve strojírenství je známo několik různých výnosových povrchů a ty nejoblíbenější jsou uvedeny níže.

Tresca výnosový povrch

Kritérium výnosu Tresca je považováno za dílo Henriho Trescy . Je také známá jako teorie maximálního smykového napětí (MSST) a kritérium Tresca – Guest (TG). Pokud jde o hlavní napětí, kritérium Tresca je vyjádřeno jako

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ max (| \ sigma _ {1}-\ sigma _ {2} |, | \ sigma _ {2}-\ sigma _ {3} |, | \ sigma _ {3}-\ sigma _ {1} |) = S_ {sy} = {\ tfrac {1} {2}} S_ {y}} \!}$

Kde je mez kluzu ve smyku a mez kluzu v tahu? ${\ displaystyle S_ {sy}}$${\ displaystyle S_ {y}}$

Obrázek 1 ukazuje povrch výtěžku Tresca – Guest v trojrozměrném prostoru hlavních napětí. Je to hranol šesti stran a má nekonečnou délku. To znamená, že materiál zůstává elastický, když jsou všechna tři hlavní napětí zhruba ekvivalentní ( hydrostatický tlak ), bez ohledu na to, jak moc je stlačen nebo natažen. Když se však jedno z hlavních napětí zmenší (nebo zvětší) než ostatní, materiál podléhá střihu. V takových situacích, pokud smykové napětí dosáhne meze kluzu, pak materiál vstupuje do plastické oblasti. Obrázek 2 ukazuje povrch výtěžku Tresca – Guest v dvourozměrném napěťovém prostoru, je to příčný řez hranolem podél roviny. ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

von Mises získá povrch

Kritérium výtěžnosti von Mises je vyjádřeno v hlavních napětí jako

${\ Displaystyle {(\ sigma _ {1}-\ sigma _ {2})^{2}+(\ sigma _ {2}-\ sigma _ {3})^{2}+(\ sigma _ {3 }-\ sigma _ {1})^{2} = 2 {S_ {y}}^{2}} \!}$

kde je mez kluzu v jednoosém napětí. ${\ displaystyle S_ {y}}$

Obrázek 3 ukazuje von Misesův výnosový povrch v trojrozměrném prostoru hlavních napětí. Jedná se o kruhový válec nekonečné délky s osou skloněnou ve stejných úhlech ke třem hlavním napětím. Obrázek 4 ukazuje von Misesovu povrchovou plochu v dvourozměrném prostoru ve srovnání s kritériem Tresca – Guest. Průřez von Misesovým válcem v rovině vytváří eliptický tvar kluzné plochy. ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Kritérium Burzyński-Yagn

Toto kritérium

${\ Displaystyle 3I_ {2} '= {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} {\ frac { \ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {2} I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}}}$

představuje obecnou rovnici rotační plochy druhého řádu kolem hydrostatické osy. Některé speciální případy jsou:

• válec (Maxwell (1865), Huber (1904), von Mises (1913), Hencky (1924)),${\ displaystyle \ gamma _ {1} = \ gamma _ {2} = 0}$
• kužel (Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953)),${\ Displaystyle \ gamma _ {1} = \ gamma _ {2} \ in] 0,1 [}$
• paraboloid (Burzyński (1928), Balandin (1937), Torre (1947)),${\ Displaystyle \ gamma _ {1} \ in] 0,1 [, \ gamma _ {2} = 0}$
• elipsoid se středem symetrické roviny , (Beltrami (1885)),${\ displaystyle I_ {1} = 0}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} =-\ gamma _ {2} \ in] 0,1 [}$
• elipsoid se středem symetrické roviny s (Schleicher (1926)),${\ Displaystyle I_ {1} = {\ frac {1} {2}} \, {\ bigg (} {\ frac {1} {\ gamma _ {1}}}+{\ frac {1} {\ gamma _ {2}}} {\ bigg)}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {1} \ in] 0,1 [, \ gamma _ {2} <0}$
• hyperboloid dvou listů (Burzynski (1928), Yagn (1931)),${\ Displaystyle \ gamma _ {1} \ in] 0,1 [, \ gamma _ {2} \ in] 0, \ gamma _ {1} [}$
• hyperboloid z jedné stránky na střed z roviny symetrie , , (Kuhn (1980))${\ displaystyle I_ {1} = 0}$${\ Displaystyle \ gamma _ {1} =-\ gamma _ {2} = a \, i}$${\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$
• hyperboloid jednoho listu , (Filonenko-Boroditsch (1960), Gol'denblat-Kopnov (1968), Filin (1975)).${\ Displaystyle \ gamma _ {1,2} = b \ pm a \, i}$${\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$

Vztahy kompresní napětí a torzní napětí lze vypočítat

${\ Displaystyle {\ frac {\ sigma _ {-}} {\ sigma _ {+}}} = {\ frac {1} {1- \ gamma _ {1}-\ gamma _ {2}}}, \ qquad {\ bigg (} {\ sqrt {3}} \, {\ frac {\ tau _ {*}} {\ sigma _ {+}}} {\ bigg)}^{2} = {\ frac {1 } {(1- \ gamma _ {1}) (1- \ gamma _ {2})}}}$

Poissonovy poměry v tahu a tlaku se získají pomocí

${\ Displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} = {\ frac {-1+2 (\ gamma _ {1}+\ gamma _ {2})-3 \ gamma _ {1} \ gamma _ {2}} {-2+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2}}}}$

${\ Displaystyle \ nu _ {-}^{\ mathrm {in}} =-{\ frac {-1+ \ gamma _ {1}^{2}+\ gamma _ {2}^{2}-\ gamma _ {1} \, \ gamma _ {2}} {(-2+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2}) \, (-1+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2 })}}}$

U tvárných materiálů omezení

${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} \ in {\ bigg [} \, 0,48, \, {\ frac {1} {2}} \, {\ bigg]}}$

je důležité. Aplikace rotačně symetrických kritérií pro křehké porušení s

${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} \ in] -1, ~ \ nu _ {+}^{\ mathrm {el}} \,]}}$

nebyl dostatečně studován.

Kritérium Burzyński-Yagn je vhodné pro akademické účely. Pro praktické aplikace by měl být do rovnice zaveden třetí invariant deviátoru v liché a sudé mocnině, např .:

${\ Displaystyle 3I_ {2} '{\ frac {1+c_ {3} \ cos 3 \ theta+c_ {6} \ cos ^{2} 3 \ theta} {1+c_ {3}+c_ {6} }} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {2} I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}}}$

Huberovo kritérium

Huberovo kritérium se skládá z elipsoidu Beltrami a zmenšeného von Misesova válce v hlavním napěťovém prostoru, viz také

${\ Displaystyle 3 \, I_ {2} '= \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} \, {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}+\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1+ \ gamma _ {1}}}, & I_ {1}> 0 \\ [1em] \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}} {1- \ gamma _ {1}}} \, { \ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}} {1+ \ gamma _ {1}}}, & I_ {1} \ leq 0 \ end {array}} \ right.}$

s . Přechod mezi plochami v průřezu je plynule diferencovatelný. Kritérium představuje „klasický pohled“ na neelastické materiální chování: ${\ Displaystyle \ gamma _ {1} \ v [0,1 [}$${\ displaystyle I_ {1} = 0}$

• chování na tlak citlivého materiálu s a${\ displaystyle I_ {1}> 0}$${\ Displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} \ in \ left] -1, \, 1/2 \ right]}$
• chování tlaku necitlivý materiál s ${\ displaystyle I_ {1} <0}$${\ Displaystyle \ nu _ {-}^{\ mathrm {in}} = 1/2}$

Huberovo kritérium lze použít jako výnosovou plochu s empirickým omezením Poissonova poměru při napětí , což vede k . ${\ Displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} \ in [0,48,1/2]}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ in [0,0.1155]}$

Upravené Huberovo kritérium, viz také

${\ Displaystyle 3 \, I_ {2} '= \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} \, {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {2} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}}, & I_ {1}>-d \, \ sigma _ {\ mathrm {+}} \\ [1em] \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}^{ 2}} {(1- \ gamma _ {1}-\ gamma _ {2})^{2}}}, & I_ {1} \ leq -d \, \ sigma _ {\ mathrm {+}} \ end {array}} \ right.}$

skládá se z elipsoidu Schleicher s omezením Poissonova poměru při stlačení

${\ Displaystyle \ nu _ {-}^{\ mathrm {in}} =-{\ frac {-1+ \ gamma _ {1}^{2}+\ gamma _ {2}^{2}-\ gamma _ {1} \, \ gamma _ {2}} {(-2+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2}) \, (-1+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2 })}} = {\ frac {1} {2}}}$

a válec s přechodem v průřezu . Druhé nastavení parametrů a následuje se vztahem komprese / napětí ${\ displaystyle C^{1}}$${\ Displaystyle I_ {1} =-d \, \ sigma _ {\ mathrm {+}}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {1} \ v [0,1 [}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} <0}$

${\ Displaystyle d = {\ frac {\ sigma _ {-}} {\ sigma _ {+}}} = {\ frac {1} {1- \ gamma _ {1}-\ gamma _ {2}}} \ geq 1}$

Upravené Huberovo kritérium lze lépe přizpůsobit měřeným datům jako Huberovo kritérium. Pro nastavení následuje a . ${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} = 0,48}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 0,0880}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} =-0,0747}$

Huberovo kritérium a upravené Huberovo kritérium by mělo být upřednostněno před von Misesovým kritériem, protože v této oblasti se získají bezpečnější výsledky . Pro praktické aplikace by měla být v těchto kritériích zohledněna třetí invarianta deviátoru . ${\ displaystyle I_ {1}> \ sigma _ {\ mathrm {+}}}$${\ displaystyle I_ {3} '}$

Povrch výnosů Mohr – Coulomb

Kritérium Mohr-Coulombova výtěžek (selhání) je podobný kritéria Tresca, s dalšími předpisy pro materiály s různou pevnost v tahu a pevností v tlaku výtěžku. Tento model se často používá k modelování betonu , zeminy nebo zrnitých materiálů . Kritérium výnosu Mohr – Coulomb může být vyjádřeno jako:

${\ Displaystyle {\ frac {m+1} {2}} \ max {\ Big (} | \ sigma _ {1}-\ sigma _ {2} |+K (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}) ~, ~~ | \ sigma _ {1}-\ sigma _ {3} |+K (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {3}) ~, ~~ | \ sigma _ {2 }-\ sigma _ {3} |+K (\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3}) {\ Big)} = S_ {yc}}$

kde

${\ displaystyle m = {\ frac {S_ {yc}} {S_ {yt}}}; K = {\ frac {m-1} {m+1}}}$

a parametry a jsou meze kluzu (porušení) materiálu při jednoosém stlačení a tahu. Vzorec se redukuje na kritérium Tresca, pokud . ${\ displaystyle S_ {yc}}$${\ displaystyle S_ {yt}}$${\ displaystyle S_ {yc} = S_ {yt}}$

Obrázek 5 ukazuje Mohr – Coulombovu výnosovou plochu v trojrozměrném prostoru hlavních napětí. Je to kuželovitý hranol a určuje úhel sklonu kuželové plochy. Obrázek 6 ukazuje Mohr – Coulombovu výnosovou plochu v dvourozměrném napěťovém prostoru. Na obrázku 6 a je používán pro a , v uvedeném pořadí, ve vzorci. Je to průřez tímto kuželovitým hranolem v rovině . Na obrázku 6 jsou ve vzorci Rr a Rc použity pro Syc a Syt. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle R_ {r}}$${\ displaystyle R_ {c}}$${\ displaystyle S_ {yt}}$${\ displaystyle S_ {yc}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Drucker – Prager výnosová plocha

Kritérium Drucker-Prager výtěžek je podobný kritéria von Mises výtěžek, s předpisy o zacházení s materiály s odlišnou pevnost v tahu a pevnost v tlaku výnosu. Toto kritérium se nejčastěji používá pro beton, kde normální i smykové napětí může určit porušení. Kritérium výnosu Drucker – Prager lze vyjádřit jako

${\ Displaystyle {\ bigg (} {\ frac {m-1} {2}} {\ bigg)} (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3})+{\ bigg (} {\ frac {m+1} {2}} {\ bigg)} {\ sqrt {\ frac {(\ sigma _ {1}-\ sigma _ {2})^{2}+(\ sigma _ {2}-\ sigma _ {3})^{2}+(\ sigma _ {3}-\ sigma _ {1})^{2}} {2}}} = S_ {yc}}$

kde

${\ displaystyle m = {\ frac {S_ {yc}} {S_ {yt}}}}$

a , jsou jednoosé výnos napětí v tahu a tlaku, resp. Vzorec se redukuje na von Misesovu rovnici, pokud . ${\ displaystyle S_ {yc}}$${\ displaystyle S_ {yt}}$${\ displaystyle S_ {yc} = S_ {yt}}$

Obrázek 7 ukazuje povrch výtěžku Drucker – Prager v trojrozměrném prostoru hlavních napětí. Je to obyčejný kužel . Obrázek 8 ukazuje výnosovou plochu Drucker – Prager v dvourozměrném prostoru. Eliptická elastická doména je průřez kužele v rovině ; lze jej zvolit tak, aby protínal výnosovou plochu Mohr – Coulomb v různém počtu vrcholů. Jednou z možností je protnout povrch výtěžku Mohr – Coulomb ve třech vrcholech na obou stranách čáry, ale obvykle je konvenčně vybrán jako v kompresním režimu. Další možností je protnout plochu výtěžku Mohr – Coulomb ve čtyřech vrcholech na obou osách (jednoosé uložení) nebo ve dvou vrcholech na diagonále (dvouosé uložení). Kritérium výtěžnosti Drucker-Prager je také běžně vyjádřeno z hlediska soudržnosti materiálu a úhlu tření . ${\ Displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} =-\ sigma _ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {2}}$

Povrch Bresler – Pister

Kritérium výtěžnosti Bresler – Pister je rozšířením kritéria výtěžnosti Drucker Prager, které používá tři parametry a má další podmínky pro materiály, které se získávají při hydrostatické kompresi. Pokud jde o hlavní napětí, toto kritérium výtěžku lze vyjádřit jako

${\ Displaystyle S_ {yc} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ left [(\ sigma _ {1}-\ sigma _ {2})^{2}+(\ sigma _ { 2}-\ sigma _ {3})^{2}+(\ sigma _ {3}-\ sigma _ {1})^{2} \ right]^{1/2} -c_ {0} -c_ {1} ~ (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3})-c_ {2} ~ (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3})^{2}}$

kde jsou materiální konstanty. Dodatečný parametr dává výtěžkové ploše elipsoidní průřez při pohledu ze směru kolmého na její osu. Pokud je meze kluzu v jednoosém stlačení, je mez kluzu v jednoosém napětí a je mez kluzu v dvouosém stlačení, parametry lze vyjádřit jako ${\ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {c}}$${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$${\ displaystyle \ sigma _ {b}}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} c_ {1} = & \ left ({\ cfrac {\ sigma _ {t}-\ sigma _ {c}} {(\ sigma _ {t}+\ sigma _ {c })}} \ right) \ left ({\ cfrac {4 \ sigma _ {b}^{2}-\ sigma _ {b} (\ sigma _ {c}+\ sigma _ {t})+\ sigma _ {c} \ sigma _ {t}} {4 \ sigma _ {b}^{2} +2 \ sigma _ {b} (\ sigma _ {t}-\ sigma _ {c})-\ sigma _ {c} \ sigma _ {t}}} \ right) \\ c_ {2} = & \ left ({\ cfrac {1} {(\ sigma _ {t}+\ sigma _ {c})}}} \ vpravo) \ left ({\ cfrac {\ sigma _ {b} (3 \ sigma _ {t}-\ sigma _ {c})-2 \ sigma _ {c} \ sigma _ {t}} {4 \ sigma _ {b}^{2} +2 \ sigma _ {b} (\ sigma _ {t}-\ sigma _ {c})-\ sigma _ {c} \ sigma _ {t}}} \ right) \ \ c_ {0} = & c_ {1} \ sigma _ {c} -c_ {2} \ sigma _ {c}^{2} \ end {zarovnáno}}}$

Povrch výnosu Willam – Warnke

Kritérium Willam-Warnke výtěžek je tří-parametr vyhlazená verze kritéria Mohr-Coulombova kluzu , která má podobnosti ve formě k Drucker-Prager a Bresler-Pister kritérií výtěžku.

Kritérium výtěžku má funkční formu

${\ Displaystyle f (I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) = 0 ~.}$

Běžněji se však vyjadřuje v souřadnicích Haigh – Westergaard jako

${\ Displaystyle f (\ xi, \ rho, \ theta) = 0 ~.}$

Průřez povrchu při pohledu podél jeho osy je vyhlazený trojúhelník (na rozdíl od Mohra – Coulomba). Povrch výtěžku Willam – Warnke je konvexní a má jedinečné a dobře definované první a druhé derivace v každém bodě svého povrchu. Proto je model Willam – Warnke výpočetně robustní a byl použit pro různé materiály ze soudržného tření.

Podgórski a Rosendahl trigonometrické výnosové povrchy

Normalizováno s ohledem na jednoosé tahové napětí , Podgórského kritérium jako funkce úhlu napětí čte ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = \ sigma _ {+}}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = {\ sqrt {3 \, I_ {2} '}} \, {\ frac {\ Omega _ {3} (\ theta, \ beta _ {3} , \ chi _ {3})} {\ Omega _ {3} (0, \ beta _ {3}, \ chi _ {3})}}},}$

s tvarovou funkcí trigonální symetrie v rovině ${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {3} (\ theta, \ beta _ {3}, \ chi _ {3}) = \ cos \ left [\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ left (\ pi \ beta _ {3}-\ arccos [\, \ sin (\ chi _ {3} \, {\ frac {\ pi} {2}}) \, \! \ cos 3 \, \ theta \,] \ vpravo) \ vpravo], \ qquad \ beta _ {3} \ v [0, \, 1], \ quad \ chi _ {3} \ v [-1, \, 1].}$

Obsahuje kritéria von Mises (kruhu v -plane, , ), Tresca (pravidelného šestiúhelníku, , ), Mariotte (pravidelný trojúhelník, , ), Ivlev (pravidelný trojúhelník, , ) i kubické kritérium Sayir (dále jen Ottosen s) a isotoxické (rovnostranné) šestiúhelníky Capursoova kritéria s . Von Mises - Tresca přechod následuje s , . Izogonální (rovnostranné) šestiúhelníky Haythornthwaiteho kritéria obsahujícího Schmidt-Ishlinského kritérium (pravidelný šestiúhelník) nelze popsat pomocí Podgórského ctiterionu. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = [0, \, 1]}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = 1/2}$${\ Displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = \ {1,0 \}}$${\ Displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = 1/2}$${\ Displaystyle \ chi _ {3} = [0,1]}$

Kritérium Rosendahl zní

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = {\ sqrt {3 \, I_ {2} '}} \, {\ frac {\ Omega _ {6} (\ theta, \ beta _ {6} , \ chi _ {6})} {\ Omega _ {6} (0, \ beta _ {6}, \ chi _ {6})}}},}$

s tvarovou funkcí hexagonální symetrie v rovině ${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {6} (\ theta, \ beta _ {6}, \ chi _ {6}) = \ cos \ left [\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ left (\ pi \ beta _ {6}-\ arccos [\, \ sin (\ chi _ {6} \, {\ frac {\ pi} {2}}) \, \! \ cos 6 \, \ theta \,] \ vpravo) \ vpravo], \ qquad \ beta _ {6} \ v [0, \, 1], \ quad \ chi _ {6} \ v [-1, \, 1].}$

Obsahuje kritéria von Mises (kruh , ), Tresca (pravidelný šestiúhelník, , ), Schmidt-Ishlinsky (pravidelný šestiúhelník, , ), Sokolovsky (pravidelná dodecagon, , ), a také bicubic kritériem s nebo rovným dílem a isotoxické dodecagony kritéria jednotného výtěžku Yu s . Izogonální dodecagony multiplikativního ansatzova kritéria hexagonální symetrie obsahující Ishlinsky-Ivlevovo kritérium (pravidelný dodecagon) nelze Rosendahlovým kritériem popsat. ${\ displaystyle \ beta _ {6} = [0, \, 1]}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = \ {1,0 \}}$${\ Displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = 1/2}$${\ Displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = 1}$${\ Displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$

Kritéria Podgórski a Rosendahl popisují jednotlivé povrchy v hlavním napěťovém prostoru bez dalších vnějších obrysů a průsečíků rovin. Všimněte si toho, že aby se předešlo numerickým problémům, může být funkce reálné části zavedena do tvarové funkce: a . Zobecnění ve formě je relevantní pro teoretická zkoumání. ${\ displaystyle Re}$${\ displaystyle Re (\ Omega _ {3})}$${\ displaystyle Re (\ Omega _ {6})}$${\ displaystyle \ Omega _ {3n}}$

Rozšíření kritérií citlivých na tlak lze dosáhnout lineární substitucí ${\ displaystyle I_ {1}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} \ rightarrow {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ { 1}}} \ qquad {\ mbox {with}} \ qquad \ gamma _ {1} \ v [0, \, 1 [,}$

což je dostačující pro mnoho aplikací, např. kovy, litinu, slitiny, beton, nevyztužené polymery atd.

Plocha výnosu Bigoni – Piccolroaz

Kritérium Bigoni-Piccolroaz výtěžek je sedm parametru plocha definovaná

${\ Displaystyle f (p, q, \ theta) = F (p)+{\ frac {q} {g (\ theta)}} = 0,}$

kde je funkce „meridián“ ${\ displaystyle F (p)}$

${\ Displaystyle F (p) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} -Mp_ {c} {\ sqrt {(\ phi-\ phi ^{m}) [2 (1- \ alpha) \ phi +\ alpha]}}, & \ phi \ v [0,1], \\ +\ infty, & \ phi \ notin [0,1], \ end {array}} \ right.}$

${\ displaystyle \ phi = {\ frac {p+c} {p_ {c}+c}},}$

popisující citlivost na tlak a je „deviatorickou“ funkcí ${\ displaystyle g (\ theta)}$

${\ Displaystyle g (\ theta) = {\ frac {1} {\ cos [\ beta {\ frac {\ pi} {6}}-{\ frac {1} {3}} \ cos ^{-1} (\ gamma \ cos 3 \ theta)]}}},}$

popisující Lode-závislost výnosu. Sedm nezáporných materiálových parametrů:

${\ displaystyle \ underbrace {M> 0, ~ p_ {c}> 0, ~ c \ geq 0, ~ 0 <\ alpha <2, ~ m> 1} _ {{\ \ mbox {defining}} ~ \ displaystyle { F (p)}}, ~~~ \ underbrace {0 \ leq \ beta \ leq 2, ~ 0 \ leq \ gamma <1} _ {{\ mbox {defining}} ~ \ displaystyle {g (\ theta)} },}$

definovat tvar poledníku a deviatorických sekcí.

Toto kritérium představuje hladký a konvexní povrch, který je uzavřen jak hydrostatickým tahem, tak tlakem a má kapkovitý tvar, zvláště vhodný k popisu třecích a zrnitých materiálů. Toto kritérium bylo také zobecněno na povrchy s rohy.

Cosine Ansatz (Altenbach-Bolchoun-Kolupaev)

Pro formulaci kritérií pevnosti úhel napětí

${\ Displaystyle \ cos 3 \ theta = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} {\ frac {I_ {3} '} {I_ {2}'^{\ frac {3} { 2}}}}}$

může být použito.

Následující kritérium chování izotropního materiálu

${\ Displaystyle (3I_ {2} ') ^{3} {\ frac {1+c_ {3} \ cos 3 \ theta+c_ {6} \ cos ^{2} 3 \ theta} {1+c_ {3 }+c_ {6}}} = \ displaystyle \ left ({\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {1 }}} \ right)^{6-lm} \, \ left ({\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {2} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}} \ right)^{l} \, \ sigma _ {\ mathrm {eq}}^{m}}$

obsahuje řadu dalších známých méně obecných kritérií za předpokladu, že jsou vybrány vhodné hodnoty parametrů.

Parametry a popis geometrie povrchu v rovině. Podléhají omezením ${\ displaystyle c_ {3}}$${\ displaystyle c_ {6}}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle c_ {6} = {\ frac {1} {4}} (2+c_ {3}), \ qquad c_ {6} = {\ frac {1} {4}} (2-c_ {3 }), \ qquad c_ {6} \ geq {\ frac {5} {12}} \, c_ {3}^{2}-{\ frac {1} {3}},}$

které vyplývají z konvexní podmínky. Přesnější formulace třetích omezení je navržena v.

Parametry a popište polohu průsečíků výnosové plochy s hydrostatickou osou (prostorová diagonála v hlavním napěťovém prostoru). Tyto body průsečíků se nazývají hydrostatické uzly. V případě materiálů, které nepoškodí hydrostatický tlak (ocel, mosaz atd.), Dostanete . Jinak platí pro materiály, které selhávají při hydrostatickém tlaku (tvrdé pěny, keramika, slinuté materiály atd.) . ${\ Displaystyle \ gamma _ {1} \ v [0, \, 1 [}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {2} \ v [0, \, \ gamma _ {1} [}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} <0}$

Celočíselné síly a , popisují zakřivení poledníku. Poledník s je přímka a - parabola. ${\ Displaystyle l \ geq 0}$${\ Displaystyle m \ geq 0}$${\ Displaystyle l+m <6}$${\ Displaystyle l = m = 0}$${\ displaystyle l = 0}$

Barlatův výnosový povrch

U anizotropních materiálů se mechanické vlastnosti liší v závislosti na směru aplikovaného procesu (např. Válcování), a proto je použití funkce anizotropního výtěžku zásadní. Od roku 1989 Frederic Barlat vyvinul rodinu výnosových funkcí pro konstituční modelování plastické anizotropie. Mezi nimi byla kritéria výtěžnosti Yld2000-2D použita pro širokou škálu plechů (např. Slitiny hliníku a pokročilé vysokopevnostní oceli). Model Yld2000-2D je výtěžková funkce nekvadratického typu založená na dvou lineárních transformacích tenzoru napětí:

${\ Displaystyle \ Phi = \ Phi '(X')+\ Phi '' (X '') = 2 {{\ bar {\ sigma}}^{a}}}$ :

Lokality výtěžku Yld2000-2D pro list AA6022 T4.

kde je účinný stres. a a jsou transformované matice (lineární transformace C nebo L):${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}}}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X ''}$

${\ Displaystyle {\ begin {array} {l} X '= C'.s = L'. \ sigma \\ X '' = C ''. s = L ''. \ sigma \ end {array}}}$

kde s je tenzor deviatorického napětí.

pro hlavní hodnoty X 'a X ”může být model vyjádřen jako:

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ Phi '= {\ left | {{{X'} _ {1}}+{{X '} _ {2}}} \ right |^{a} } \\\ Phi '' = {\ left | {2 {{X ''} _ {2}}+{{X ''} _ {1}}} \ right |^{a}}+{\ left | {2 {{X ''} _ {1}}+{{X ''} _ {2}}} \ vpravo |^{a}} \ end {array}} \}$

a:

${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {*{20} {c}} {{L '} _ {11}} \\ {{L'} _ {12}} \\ {{L '} _ {21}} \\ {{L '} _ {22}} \\ {{L'} _ {66}} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {2/3} & 0 & 0 \\ {-1/3} & 0 & 0 \\ 0 & {-1/3} & 0 \\ 0 & {-2/3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} } \ right] \ left [{\ begin {array} {*{20} {c}} {\ alpha _ {1}} \\ {\ alpha _ {2}} \\ {\ alpha _ {7}} \ end {array}} \ right], \ left [{\ begin {array} {*{20} {c}} {{L ''} _ {11}} \\ {{L ''} _ {12 }} \\ {{L ''} _ {21}} \\ {{L ''} _ {22}} \\ {{L ''} _ {66}} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {*{20} {c}} {-2} & 2 & 8 & {-2} & 0 \\ 1 & {-4} & {-4} & 4 & 0 \\ 4 & {-4} & {-4} & 4 & 0 \\ {-2} & 8 & 2 & {-2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right] \ left [{\ begin {array} {*{20} {c}} {\ alpha _ {3}} \\ {\ alpha _ {4}} \\ {\ alpha _ {5}} \\ {\ alpha _ {6}} \\ {\ alpha _ {8}} \ end {array} }\že jo]}$

kde je pomocí sady experimentů identifikováno osm parametrů Barlatova modelu Yld2000-2D. ${\ displaystyle \ alpha _ {1} ... \ alpha _ {8}}$

Viz také

Reference