Udbytteoverflade - Yield surface

Overflader, hvorpå invarianter , , er konstant. Plottet i hovedspændingsrum.${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$${\ displaystyle J_ {3}}$

En flydeflade er en femdimensionel overflade i det seksdimensionale spændingsrum . Flydefladen er normalt konveks, og spændingstilstanden inden i flydeoverfladen er elastisk. Når spændingstilstanden ligger på overfladen siges materialet at have nået sit flydepunkt, og materialet siges at være blevet til plast . Yderligere deformation af materialet bevirker, at spændingstilstanden forbliver på flydeoverfladen, selvom overfladens form og størrelse kan ændre sig, efterhånden som plastisk deformation udvikler sig. Dette skyldes, at spændingstilstande, der ligger uden for flydefladen, ikke er tilladte i hastighedsuafhængig plasticitet , dog ikke i nogle modeller af viskoplasticitet .

Udbyttefladen udtrykkes sædvanligvis i form af (og visualiseret i) et tredimensionelt hovedspændingsrum ( ), et to- eller tredimensionelt rum, der spænder over stressinvarianter ( ) eller en version af det tredimensionelle Haigh – Westergaard-stress plads . Således kan vi skrive ligningen af ​​udbyttefladen (det vil sige udbyttefunktionen) i formerne: ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}}$

• ${\ displaystyle f (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}) = 0 \,}$hvor er hovedbelastningerne.${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$
• ${\ displaystyle f (I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) = 0 \,}$hvor er den første hovedinvariant af Cauchy -stressen og er den anden og tredje hovedinvariant af den deviatoriske del af Cauchy -stresset.${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$
• ${\ displaystyle f (p, q, r) = 0 \,}$hvor er skalerede versioner af og og er en funktion af .${\ displaystyle p, q}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$
• ${\ displaystyle f (\ xi, \ rho, \ theta) = 0 \,}$hvor er skalerede versioner af og , og er spændingsvinklen eller Lodevinklen${\ displaystyle \ xi, \ rho}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle J_ {2}}$${\ displaystyle \ theta}$

Invarianter bruges til at beskrive udbytteflader

Overflader, hvorpå invarianter , , er konstant. Plottet i hovedspændingsrum.${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ theta}$

Den første hovedinvariant ( ) af Cauchy -stressen ( ), og den anden og tredje hovedinvariant ( ) af den deviatoriske del ( ) af Cauchy -stressen er defineret som: ${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {s}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} & = {\ text {Tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = \ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3} \\ J_ {2} & = {\ tfrac {1} {2}} {\ boldsymbol {s}}: {\ boldsymbol {s}} = {\ tfrac {1} {6}} \ venstre [ (\ sigma _ {1}-\ sigma _ {2})^{2}+(\ sigma _ {2}-\ sigma _ {3})^{2}+(\ sigma _ {3}-\ sigma _ {1})^{2} \ right] \\ J_ {3} & = \ det ({\ boldsymbol {s}}) = {\ tfrac {1} {3}} ({\ boldsymbol {s}} \ cdot {\ boldsymbol {s}}): {\ boldsymbol {s}} = s_ {1} s_ {2} s_ {3} \ end {align}}}$

hvor ( ) er hovedværdierne for , ( ) er hovedværdierne for og ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {s}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {s}} = {\ boldsymbol {\ sigma}}-{\ tfrac {I_ {1}} {3}} \, {\ boldsymbol {I}}}$

hvor er identitetsmatricen. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {I}}}$

Et beslægtet sæt mængder, ( ), bruges normalt til at beskrive udbytteflader til sammenhængende friktionsmaterialer såsom sten, jord og keramik. Disse er defineret som ${\ displaystyle p, q, r \,}$

${\ displaystyle p = {\ tfrac {1} {3}} ~ I_ {1} ~: ~~ q = {\ sqrt {3 ~ J_ {2}}} = \ sigma _ {\ mathrm {eq}} ~ ; ~~ r = 3 \ venstre ({\ tfrac {1} {2}} \, J_ {3} \ højre)^{1/3}}$

hvor er den tilsvarende stress . Imidlertid gør muligheden for negative værdier af og den resulterende imaginære anvendelse af disse mængder problematisk i praksis. ${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}}}$${\ displaystyle J_ {3}}$${\ displaystyle r}$

Et andet beslægtet sæt af meget brugte invarianter er ( ), der beskriver et cylindrisk koordinatsystem ( Haigh – Westergaard -koordinaterne). Disse er defineret som: ${\ displaystyle \ xi, \ rho, \ theta \,}$

${\ displaystyle \ xi = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ I_ {1} = {\ sqrt {3}} ~ p ~; ~~ \ rho = {\ sqrt {2J_ {2} }} = {\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} ~ q ~; ~~ \ cos (3 \ theta) = \ venstre ({\ tfrac {r} {q}} \ højre)^{3 } = {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} ~ {\ cfrac {J_ {3}} {J_ {2}^{3/2}}}}$

Den flyet kaldes også Rendulić flyet . Vinklen kaldes spændingsvinkel, værdien kaldes undertiden Lode -parameteren og forholdet mellem og blev først givet af Novozhilov VV i 1951, se også ${\ displaystyle \ xi -\ rho \,}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ cos (3 \ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$

Hovedspændingerne og Haigh – Westergaard -koordinaterne hænger sammen med

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \ end {bmatrix}} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3} }} {\ begin {bmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {bmatrix}}+{\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta \\\ cos \ left (\ theta -{\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right) \\\ cos \ left (\ theta +{\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ right) \ end {bmatrix}} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {bmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {bmatrix}}+{\ sqrt {\ tfrac {2} {3}}} ~ \ rho ~ {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta \\-\ sin \ venstre ({\ tfrac {\ pi} {6}}-\ theta \ højre) \\-\ sin \ venstre ({\ tfrac {\ pi} {6}}+\ theta \ højre) \ end {bmatrix}} \ ,.}$

En anden definition af Lode -vinklen findes også i litteraturen:

${\ displaystyle \ sin (3 \ theta) = ~ {\ tfrac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} ~ {\ cfrac {J_ {3}} {J_ {2}^{3/2} }}}$

i hvilket tilfælde den bestilte hovedstol understreger (hvor ) er relateret af ${\ displaystyle \ sigma _ {1} \ geq \ sigma _ {2} \ geq \ sigma _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \ end {bmatrix}} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3} }} {\ begin {bmatrix} \ xi \\\ xi \\\ xi \ end {bmatrix}}+{\ tfrac {\ rho} {\ sqrt {2}}} ~ {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta -{\ tfrac {\ sin \ theta} {\ sqrt {3}}} \\ {\ tfrac {2 \ sin \ theta} {\ sqrt {3}}} \\ -{\ tfrac {\ sin \ theta } {\ sqrt {3}}}-\ cos \ theta \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Eksempler på flydeflader

Der er flere forskellige flydeoverflader kendt inden for teknik, og de mest populære er angivet nedenfor.

Tresca udbytte overflade

Tresca -udbyttekriteriet anses for at være Henri Trescas arbejde . Det er også kendt som teorien om maksimal forskydningsspænding (MSST) og kriteriet Tresca – Guest (TG). Med hensyn til hovedspændinger udtrykkes Tresca -kriteriet som

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ max (| \ sigma _ {1}-\ sigma _ {2} |, | \ sigma _ {2}-\ sigma _ {3} |, | \ sigma _ {3}-\ sigma _ {1} |) = S_ {sy} = {\ tfrac {1} {2}} S_ {y}} \!}$

Hvor er flydestyrken i forskydning, og er trækstyrke. ${\ displaystyle S_ {sy}}$${\ displaystyle S_ {y}}$

Figur 1 viser overfladen Tresca – Guest i det tredimensionelle rum af hovedspændinger. Det er et prisme på seks sider og med uendelig længde. Det betyder, at materialet forbliver elastisk, når alle tre hovedspændinger er nogenlunde ækvivalente (et hydrostatisk tryk ), uanset hvor meget det komprimeres eller strækkes. Men når en af ​​hovedspændingerne bliver mindre (eller større) end de andre, udsættes materialet for klipning. I sådanne situationer, hvis forskydningsspændingen når udbyttegrænsen, kommer materialet ind i plastdomænet. Figur 2 viser overfladen Tresca – Gæst i todimensionalt spændingsrum, det er et tværsnit af prismen langs planet. ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Figur 1: Udsigt over Tresca – Gæsteafkastoverflade i 3D -rum med hovedspændinger

Figur 2: Tresca – gæsteafkastoverflade i 2D -rum ( )${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

von Mises giver overflade

Von Mises udbyttekriterium udtrykkes i hovedspændingerne som

${\ displaystyle {(\ sigma _ {1}-\ sigma _ {2})^{2}+(\ sigma _ {2}-\ sigma _ {3})^{2}+(\ sigma _ {3 }-\ sigma _ {1})^{2} = 2 {S_ {y}}^{2}} \!}$

hvor er flydestyrken ved enaksial spænding. ${\ displaystyle S_ {y}}$

Figur 3 viser von Mises flydeoverflade i det tredimensionelle rum af hovedspændinger. Det er en cirkulær cylinder med uendelig længde med sin akse skråt i lige vinkler til de tre hovedspændinger. Figur 4 viser von Mises flydeflade i todimensionalt rum sammenlignet med Tresca – Guest kriterium. Et tværsnit af von Mises -cylinderen på planet frembringer den elliptiske form af flydefladen. ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Figur 3: Udsigt over Huber -Mises -Hencky flydeflade i 3D -rum med hovedspændinger

Figur 4: Sammenligning af kriterierne Tresca – Guest og Huber – Mises – Hencky i 2D -rum ( )${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Burzyński-Yagn kriterium

Dette kriterium

${\ displaystyle 3I_ {2} '= {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} {\ frac { \ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {2} I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}}}$

repræsenterer den generelle ligning af en andenordens omdrejningsflade omkring den hydrostatiske akse. Nogle særlige tilfælde er:

• cylinder (Maxwell (1865), Huber (1904), von Mises (1913), Hencky (1924)),${\ displaystyle \ gamma _ {1} = \ gamma _ {2} = 0}$
• kegle (Botkin (1940), Drucker-Prager (1952), Mirolyubov (1953)),${\ displaystyle \ gamma _ {1} = \ gamma _ {2} \ in] 0,1 [}$
• paraboloid (Burzyński (1928), Balandin (1937), Torre (1947)),${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ in] 0,1 [, \ gamma _ {2} = 0}$
• ellipsoid centreret om symmetriplan , (Beltrami (1885)),${\ displaystyle I_ {1} = 0}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} =-\ gamma _ {2} \ in] 0,1 [}$
• ellipsoid centreret om symmetriplan med (Schleicher (1926)),${\ displaystyle I_ {1} = {\ frac {1} {2}} \, {\ bigg (} {\ frac {1} {\ gamma _ {1}}}+{\ frac {1} {\ gamma _ {2}}} {\ bigg)}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ in] 0,1 [, \ gamma _ {2} <0}$
• hyperboloid af to ark (Burzynski (1928), Yagn (1931)),${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ in] 0,1 [, \ gamma _ {2} \ in] 0, \ gamma _ {1} [}$
• hyperboloide af et enkelt ark centreret af symmetriplanet , , (Kuhn (1980))${\ displaystyle I_ {1} = 0}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} =-\ gamma _ {2} = a \, i}$${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$
• hyperboloid af et ark , (Filonenko-Boroditsch (1960), Gol'denblat-Kopnov (1968), Filin (1975)).${\ displaystyle \ gamma _ {1,2} = b \ pm a \, i}$${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$

Relationerne kompression-spænding og torsions-spænding kan beregnes til

${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {-}} {\ sigma _ {+}}} = {\ frac {1} {1- \ gamma _ {1}-\ gamma _ {2}}}, \ qquad {\ bigg (} {\ sqrt {3}} \, {\ frac {\ tau _ {*}} {\ sigma _ {+}}} {\ bigg)}^{2} = {\ frac {1 } {(1- \ gamma _ {1}) (1- \ gamma _ {2})}}}$

Poissons forhold ved spænding og kompression opnås ved hjælp af

${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} = {\ frac {-1+2 (\ gamma _ {1}+\ gamma _ {2})-3 \ gamma _ {1} \ gamma _ {2}} {-2+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2}}}}$

${\ displaystyle \ nu _ {-}^{\ mathrm {in}} =-{\ frac {-1+ \ gamma _ {1}^{2}+\ gamma _ {2}^{2}-\ gamma _ {1} \, \ gamma _ {2}} {(-2+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2}) \, (-1+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2 })}}}}$

For duktile materialer begrænsningen

${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} \ i {\ bigg [} \, 0.48, \, {\ frac {1} {2}} \, {\ bigg]}}$

er vigtigt. Anvendelsen af ​​rotationssymmetriske kriterier for sprød fejl med

${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} \ in] -1, ~ \ nu _ {+}^{\ mathrm {el}} \,]}$

ikke er undersøgt tilstrækkeligt.

Burzyński-Yagn-kriteriet er velegnet til akademiske formål. Til praktiske anvendelser bør deviatorens tredje invariant i den ulige og lige effekt indføres i ligningen, f.eks .:

${\ displaystyle 3I_ {2} '{\ frac {1+c_ {3} \ cos 3 \ theta+c_ {6} \ cos ^{2} 3 \ theta} {1+c_ {3}+c_ {6} }} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {2} I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}}}$

Huber kriterium

Huber -kriteriet består af Beltrami -ellipsoiden og en skaleret von Mises -cylinder i hovedspændingsrummet, se også

${\ displaystyle 3 \, I_ {2} '= \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} \, {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}+\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1+ \ gamma _ {1}}} og I_ {1}> 0 \\ [1em] \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}} {1- \ gamma _ {1}}} \, { \ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}} {1+ \ gamma _ {1}}} og I_ {1} \ leq 0 \ end {array}} \ højre.}$

med . Overgangen mellem overfladerne i tværsnittet er kontinuerligt differentierbar. Kriteriet repræsenterer det "klassiske syn" med hensyn til uelastisk materiel adfærd: ${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ i [0,1 [}$${\ displaystyle I_ {1} = 0}$

• trykfølsom materialeadfærd for med og${\ displaystyle I_ {1}> 0}$${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} \ in \ venstre] -1, \, 1/2 \ højre]}$
• trykfølsom materialeadfærd for med ${\ displaystyle I_ {1} <0}$${\ displaystyle \ nu _ {-}^{\ mathrm {in}} = 1/2}$

Huber -kriteriet kan bruges som en flydeflade med en empirisk begrænsning for Poissons forhold ved spænding , hvilket fører til . ${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} \ in [0.48,1/2]}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ i [0,0.1155]}$

Huber-kriterium med og modificeret Huber-kriterium med og i Burzyński-planet: indstilling i henhold til den normale stresshypotese ( ). Von Mises -kriteriet ( ) vises til sammenligning.${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 1/{\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} = (1+{\ sqrt {5}})/6}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} = (1-{\ sqrt {5}})/6}$${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} = 0}$${\ displaystyle \ nu _ {-}^{\ mathrm {in}} = \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} = 1/2}$

Det modificerede Huber -kriterium, se også

${\ displaystyle 3 \, I_ {2} '= \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {1}}} \, {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {2} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}} og I_ {1}>-d \, \ sigma _ {\ mathrm {+}} \\ [1em] \ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}^{ 2}} {(1- \ gamma _ {1}-\ gamma _ {2})^{2}}} & I_ {1} \ leq -d \, \ sigma _ {\ mathrm {+}} \ end {array}} \ højre.}$

består af Schleicher -ellipsoiden med begrænsningen af ​​Poissons forhold ved kompression

${\ displaystyle \ nu _ {-}^{\ mathrm {in}} =-{\ frac {-1+ \ gamma _ {1}^{2}+\ gamma _ {2}^{2}-\ gamma _ {1} \, \ gamma _ {2}} {(-2+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2}) \, (-1+ \ gamma _ {1}+\ gamma _ {2 })}} = {\ frac {1} {2}}}$

og en cylinder med -overgangen i tværsnittet . Den anden indstilling for parametrene og følger med kompression / spændingsrelationen ${\ displaystyle C^{1}}$${\ displaystyle I_ {1} =-d \, \ sigma _ {\ mathrm {+}}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ i [0,1 [}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} <0}$

${\ displaystyle d = {\ frac {\ sigma _ {-}} {\ sigma _ {+}}} = {\ frac {1} {1- \ gamma _ {1}-\ gamma _ {2}}} \ geq 1}$

Det modificerede Huber -kriterium kan bedre tilpasses de målte data som Huber -kriteriet. For indstilling følger det og . ${\ displaystyle \ nu _ {+}^{\ mathrm {in}} = 0,48}$${\ displaystyle \ gamma _ {1} = 0.0880}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} =-0.0747}$

Huber -kriteriet og det modificerede Huber -kriterium bør foretrækkes frem for von Mises -kriteriet, da man opnår sikrere resultater i regionen . For praktiske anvendelser skal deviatorens tredje invariant overvejes i disse kriterier. ${\ displaystyle I_ {1}> \ sigma _ {\ mathrm {+}}}$${\ displaystyle I_ {3} '}$

Mohr – Coulomb udbytteoverflade

Den Mohr Coulomb udbytte (manglende) kriterium svarer til Tresca kriterium, med supplerende bestemmelser om materialer med forskellige træk- og flydespændinger. Denne model bruges ofte til at modellere beton , jord eller granulerede materialer . Udbyttekriteriet Mohr – Coulomb kan udtrykkes som:

${\ displaystyle {\ frac {m+1} {2}} \ max {\ Big (} | \ sigma _ {1}-\ sigma _ {2} |+K (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}) ~, ~~ | \ sigma _ {1}-\ sigma _ {3} |+K (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {3}) ~, ~~ | \ sigma _ {2 }-\ sigma _ {3} |+K (\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3}) {\ Big)} = S_ {yc}}$

hvor

${\ displaystyle m = {\ frac {S_ {yc}} {S_ {yt}}}; K = {\ frac {m-1} {m+1}}}$

og parametrene og er materialets udbytte (fejl) belastninger i henholdsvis enaksial kompression og spænding. Formlen reducerer til Tresca -kriteriet hvis . ${\ displaystyle S_ {yc}}$${\ displaystyle S_ {yt}}$${\ displaystyle S_ {yc} = S_ {yt}}$

Figur 5 viser Mohr – Coulomb udbytteflade i det tredimensionelle rum med hovedspændinger. Det er et konisk prisme og bestemmer hældningsvinklen for den koniske overflade. Figur 6 viser Mohr – Coulomb udbytteflade i todimensionalt spændingsrum. I figur 6 og bruges til og henholdsvis i formlen. Det er et tværsnit af dette koniske prisme på planet af . I figur 6 bruges Rr og Rc til henholdsvis Syc og Syt i formlen. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle R_ {r}}$${\ displaystyle R_ {c}}$${\ displaystyle S_ {yt}}$${\ displaystyle S_ {yc}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Figur 5: Visning af Mohr – Coulomb udbytteflade i 3D -rum med hovedspændinger

Figur 6: Mohr – Coulomb udbytteflade i 2D -rum ( )${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Drucker – Prager udbytteflade

Den kriterium Drucker-Prager udbytte svarer til kriteriet von Mises udbytte, med bestemmelser for håndtering af materialer med forskellige træk- og flydespændinger. Dette kriterium bruges oftest til beton, hvor både normal og forskydningsspændinger kan bestemme fejl. Udbyttekriteriet Drucker – Prager kan udtrykkes som

${\ displaystyle {\ bigg (} {\ frac {m-1} {2}} {\ bigg)} (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3})+{\ bigg (} {\ frac {m+1} {2}} {\ bigg)} {\ sqrt {\ frac {(\ sigma _ {1}-\ sigma _ {2})^{2}+(\ sigma _ {2}-\ sigma _ {3})^{2}+(\ sigma _ {3}-\ sigma _ {1})^{2}} {2}}} = S_ {yc}}$

hvor

${\ displaystyle m = {\ frac {S_ {yc}} {S_ {yt}}}}$

og , er de enaksede flydespændinger i kompression og spændinger henholdsvis. Formlen reducerer til von Mises ligningen hvis . ${\ displaystyle S_ {yc}}$${\ displaystyle S_ {yt}}$${\ displaystyle S_ {yc} = S_ {yt}}$

Figur 7 viser Drucker – Prager udbytteflade i det tredimensionelle rum med hovedspændinger. Det er en almindelig kegle . Figur 8 viser Drucker – Prager udbytteflade i todimensionalt rum. Det elliptiske elastiske domæne er et tværsnit af keglen på planet af ; det kan vælges at krydse Mohr – Coulomb udbytteflade i forskellige antal hjørner. Et valg er at krydse Mohr – Coulombs udbytteflade ved tre hjørner på hver side af linjen, men normalt udvalgt efter konvention til at være dem i kompressionsregimet. Et andet valg er at krydse Mohr – Coulombs ydelsesoverflade ved fire hjørner på begge akser (uniaxial pasform) eller ved to hjørner på diagonalen (biaxial pasform). Drucker-Prager-udbyttekriteriet udtrykkes også almindeligt i form af materialekohesion og friktionsvinkel . ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} =-\ sigma _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {2}}$

Figur 7: Visning af Drucker – Prager flydeoverflade i 3D -rum med hovedspændinger

Figur 8: Visning af Drucker – Prager udbytteoverflade i 2D -rum med hovedspændinger

Bresler – Pister udbytteoverflade

Udbyttekriteriet Bresler – Pister er en forlængelse af Drucker Prager -udbyttekriteriet, der bruger tre parametre og har yderligere vilkår for materialer, der giver under hydrostatisk komprimering. Med hensyn til hovedspændingerne kan dette udbyttekriterium udtrykkes som

${\ displaystyle S_ {yc} = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ venstre [(\ sigma _ {1}-\ sigma _ {2})^{2}+(\ sigma _ { 2}-\ sigma _ {3})^{2}+(\ sigma _ {3}-\ sigma _ {1})^{2} \ højre]^{1/2} -c_ {0} -c_ {1} ~ (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3})-c_ {2} ~ (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3})^{2}}$

hvor er materialekonstanter. Den ekstra parameter giver flydefladen et ellipsoidalt tværsnit, set fra en retning vinkelret på dens akse. Hvis er flydespændingen i enaksial kompression, er flydespændingen i enaksial spænding og er flydespændingen ved biaksial kompression, kan parametrene udtrykkes som ${\ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {c}}$${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$${\ displaystyle \ sigma _ {b}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {1} = & \ venstre ({\ cfrac {\ sigma _ {t}-\ sigma _ {c}} {(\ sigma _ {t}+\ sigma _ {c })}} \ højre) \ venstre ({\ cfrac {4 \ sigma _ {b}^{2}-\ sigma _ {b} (\ sigma _ {c}+\ sigma _ {t})+\ sigma _ {c} \ sigma _ {t}} {4 \ sigma _ {b}^{2} +2 \ sigma _ {b} (\ sigma _ {t}-\ sigma _ {c})-\ sigma _ {c} \ sigma _ {t}}} \ højre) \\ c_ {2} = & \ venstre ({\ cfrac {1} {(\ sigma _ {t}+\ sigma _ {c})}}} \ højre) \ venstre ({\ cfrac {\ sigma _ {b} (3 \ sigma _ {t}-\ sigma _ {c})-2 \ sigma _ {c} \ sigma _ {t}} {4 \ sigma _ {b}^{2} +2 \ sigma _ {b} (\ sigma _ {t}-\ sigma _ {c})-\ sigma _ {c} \ sigma _ {t}}} \ højre) \ \ c_ {0} = & c_ {1} \ sigma _ {c} -c_ {2} \ sigma _ {c}^{2} \ end {align}}}$

Figur 9: Visning af Bresler – Pister udbytteflade i 3D -rum med hovedspændinger

Figur 10: Bresler – Pister udbytteflade i 2D -rum ( )${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}}$

Willam - Warnke giver overflade

Den kriterium Willam-Warnke udbytte er en tre-parameter udglattet version af Mohr-Coulomb udbytte kriterium , der har ligheder i elektronisk form til Drucker-Prager og Bresler-Pister Flydekriterier.

Udbyttekriteriet har den funktionelle form

${\ displaystyle f (I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) = 0 ~.}$

Det er imidlertid mere almindeligt udtrykt i Haigh -Westergaard -koordinaterne som

${\ displaystyle f (\ xi, \ rho, \ theta) = 0 ~.}$

Overfladens tværsnit, set langs dens akse, er en udglattet trekant (i modsætning til Mohr – Coulomb). Willam - Warnke flydeoverflade er konveks og har unikke og veldefinerede første og anden derivater på hvert punkt på overfladen. Derfor er Willam-Warnke-modellen beregningsmæssigt robust og er blevet brugt til en række forskellige sammenhængende friktionsmaterialer.

Figur 11: Visning af Willam -Warnke flydeoverflade i 3D -rum med hovedspændinger

Figur 12: Willam – Warnke udbytteoverflade i -flyet${\ displaystyle \ pi}$

Podgórski og Rosendahl trigonometriske udbytteoverflader

Normaliseret med hensyn til den uniaksiale trækbelastning , læser Podgórski -kriteriet som funktion af spændingsvinklen${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = \ sigma _ {+}}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = {\ sqrt {3 \, I_ {2} '}} \, {\ frac {\ Omega _ {3} (\ theta, \ beta _ {3} , \ chi _ {3})} {\ Omega _ {3} (0, \ beta _ {3}, \ chi _ {3})}}},}$

med formfunktionen af ​​trigonal symmetri i -planet ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ Omega _ {3} (\ theta, \ beta _ {3}, \ chi _ {3}) = \ cos \ left [\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ left (\ pi \ beta _ {3}-\ arccos [\, \ sin (\ chi _ {3} \, {\ frac {\ pi} {2}}) \, \! \ cos 3 \, \ theta \,] \ højre) \ højre], \ qquad \ beta _ {3} \ i [0, \, 1], \ quad \ chi _ {3} \ i [-1, \, 1].}$

Den indeholder kriterierne i von Mises (cirkel i -plane, , ), Tresca (regulær sekskant, , ), Mariotte (regelmæssig trekant, , ), Ivlev (regelmæssig trekant, , ) og også den kubiske kriterium Sayir (den Ottosen kriterium) med og de isotoksale (ligesidede) sekskanter i Capurso -kriteriet med . Den von Mises - Tresca overgang følger med , . De isogonale (ivinklede) sekskanter i Haythornthwaite-kriteriet indeholdende Schmidt-Ishlinsky-kriteriet (almindelig sekskant) kan ikke beskrives med Podgórski-ctiterion. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = [0, \, 1]}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = 1/2}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = \ {1,0 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {3} = 1/2}$${\ displaystyle \ chi _ {3} = [0,1]}$

Rosendahl -kriteriet lyder

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} = {\ sqrt {3 \, I_ {2} '}} \, {\ frac {\ Omega _ {6} (\ theta, \ beta _ {6} , \ chi _ {6})} {\ Omega _ {6} (0, \ beta _ {6}, \ chi _ {6})}}},}$

med formfunktionen af ​​sekskantet symmetri i -planet ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ Omega _ {6} (\ theta, \ beta _ {6}, \ chi _ {6}) = \ cos \ left [\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ left (\ pi \ beta _ {6}-\ arccos [\, \ sin (\ chi _ {6} \, {\ frac {\ pi} {2}}) \, \! \ cos 6 \, \ theta \,] \ højre) \ right], \ qquad \ beta _ {6} \ in [0, \, 1], \ quad \ chi _ {6} \ in [-1, \, 1].}$

Den indeholder kriterierne i von Mises (cirkel, , ), Tresca (regulær sekskant, , ), Schmidt-Ishlinsky (regulær sekskant, , ), Sokolovsky (regelmæssig tolvkant, , ), og også den bikubisk kriterium med eller lige med og isotoksiske dodekagoner af det forenede udbyttekriterium for Yu med . De isogonale dodekagoner i det multiplikative ansatz-kriterium for sekskantet symmetri indeholdende Ishlinsky-Ivlev-kriteriet (almindelig dodecagon) kan ikke beskrives ved Rosendahl-kriteriet. ${\ displaystyle \ beta _ {6} = [0, \, 1]}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = \ {1,0 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = 1/2}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {6} = 1}$${\ displaystyle \ chi _ {6} = \ {1, -1 \}}$

Kriterierne for Podgórski og Rosendahl beskriver enkelte overflader i hovedspændingsrummet uden yderligere ydre konturer og plankryds. Bemærk, at for at undgå numeriske problemer kan den reelle delfunktion introduceres til formfunktionen: og . Generaliseringen i formen er relevant for teoretiske undersøgelser. ${\ displaystyle Re}$${\ displaystyle Re (\ Omega _ {3})}}$${\ displaystyle Re (\ Omega _ {6})}$${\ displaystyle \ Omega _ {3n}}$

En trykfølsom forlængelse af kriterierne kan opnås med den lineære substitution ${\ displaystyle I_ {1}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {eq}} \ rightarrow {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ { 1}}} \ qquad {\ mbox {med}} \ qquad \ gamma _ {1} \ i [0, \, 1 [,}$

hvilket er tilstrækkeligt til mange anvendelser, f.eks. metaller, støbejern, legeringer, beton, uarmerede polymerer osv.

Grundlæggende tværsnit beskrevet af en cirkel og regelmæssige polygoner af trigonale eller sekskantede symmetrier i -planet.${\ displaystyle \ pi}$

Bigoni – Piccolroaz giver overflade

Den kriterium Bigoni-Piccolroaz udbytte er en syv-parameter er afgrænset af

${\ displaystyle f (p, q, \ theta) = F (p)+{\ frac {q} {g (\ theta)}} = 0,}$

hvor er "meridian" -funktionen ${\ displaystyle F (p)}$

${\ displaystyle F (p) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} -Mp_ {c} {\ sqrt {(\ phi-\ phi ^{m}) [2 (1- \ alpha) \ phi +\ alpha]}}, & \ phi \ in [0,1], \\ +\ infty, & \ phi \ notin [0,1], \ end {array}} \ right.}$

${\ displaystyle \ phi = {\ frac {p+c} {p_ {c}+c}},}$

beskriver trykfølsomheden og er den "deviatoriske" funktion ${\ displaystyle g (\ theta)}$

${\ displaystyle g (\ theta) = {\ frac {1} {\ cos [\ beta {\ frac {\ pi} {6}}-{\ frac {1} {3}} \ cos ^{-1} (\ gamma \ cos 3 \ theta)]}},}$

beskriver Lode-afhængigheden af ​​udbytte. De syv, ikke-negative materialeparametre:

${\ displaystyle \ underbrace {M> 0, ~ p_ {c}> 0, ~ c \ geq 0, ~ 0 <\ alpha <2, ~ m> 1} _ {{\ mbox {defining}} ~ \ displaystyle { F (p)}}, ~~~ \ underbrace {0 \ leq \ beta \ leq 2, ~ 0 \ leq \ gamma <1} _ {{\ mbox {defining}} ~ \ displaystyle {g (\ theta)} },}$

definere formen af ​​meridian og deviatoriske sektioner.

Dette kriterium repræsenterer en glat og konveks overflade, som er lukket både i hydrostatisk spænding og komprimering og har en dråbeformet form, særligt velegnet til at beskrive friktions- og granulære materialer. Dette kriterium er også blevet generaliseret til tilfælde af overflader med hjørner.

I 3D -rum med hovedspændinger

I -flyet${\ displaystyle \ pi}$

Bigoni-Piccolroaz giver overflade

Cosine Ansatz (Altenbach-Bolchoun-Kolupaev)

Til formulering af styrkekriterierne er spændingsvinklen

${\ displaystyle \ cos 3 \ theta = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} {\ frac {I_ {3} '} {I_ {2}'^{\ frac {3} { 2}}}}}$

Kan bruges.

Følgende kriterium for isotropisk materialeadfærd

${\ displaystyle (3I_ {2} ') ^{3} {\ frac {1+c_ {3} \ cos 3 \ theta+c_ {6} \ cos ^{2} 3 \ theta} {1+c_ {3 }+c_ {6}}} = \ displaystyle \ venstre ({\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {1} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {1 }}} \ højre)^{6-lm} \, \ venstre ({\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {eq}}-\ gamma _ {2} \, I_ {1}} {1- \ gamma _ {2}}} \ højre)^{l} \, \ sigma _ {\ mathrm {eq}}^{m}}$

indeholder en række andre velkendte mindre generelle kriterier, forudsat at passende parameterværdier vælges.

Parametre og beskriv overfladens geometri i -planet. De er underlagt begrænsningerne ${\ displaystyle c_ {3}}$${\ displaystyle c_ {6}}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle c_ {6} = {\ frac {1} {4}} (2+c_ {3}), \ qquad c_ {6} = {\ frac {1} {4}} (2-c_ {3 }), \ qquad c_ {6} \ geq {\ frac {5} {12}} \, c_ {3}^{2}-{\ frac {1} {3}},}$

som følger af konveksitetstilstanden. En mere præcis formulering af de tredje begrænsninger foreslås i.

Parametre og beskriv placeringen af ​​skæringspunkterne for flydefladen med hydrostatisk akse (rumdiagonal i hovedspændingsrummet). Disse skæringspunkter kaldes hydrostatiske noder. I tilfælde af materialer, der ikke svigter ved hydrostatisk tryk (stål, messing osv.) Får man . Ellers følger det for materialer, der svigter ved hydrostatisk tryk (hårdt skum, keramik, sintrede materialer osv.) . ${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ i [0, \, 1 [}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} \ i [0, \, \ gamma _ {1} [}$${\ displaystyle \ gamma _ {2} <0}$

De heltalspotenser og , beskriver krumningen af meridianen. Meridianen med er en lige linje og med - en parabel. ${\ displaystyle l \ geq 0}$${\ displaystyle m \ geq 0}$${\ displaystyle l+m <6}$${\ displaystyle l = m = 0}$${\ displaystyle l = 0}$

Barlat's Yield Surface

For de anisotrope materialer varierer de mekaniske egenskaber afhængigt af retningen af ​​den anvendte proces (f.eks. Rullning), og derfor er brug af en anisotrop udbyttefunktion afgørende. Siden 1989 har Frederic Barlat udviklet en familie af udbyttefunktioner til konstitutiv modellering af plastisk anisotropi. Blandt dem er Yld2000-2D udbyttekriterier blevet anvendt for en bred vifte af metalplader (f.eks. Aluminiumlegeringer og avancerede højstyrkestål). Yld2000-2D-modellen er en ikke-kvadratisk ydelsesfunktion baseret på to lineær transformation af spændingstensoren:

${\ displaystyle \ Phi = \ Phi '(X')+\ Phi '' (X '') = 2 {{\ bar {\ sigma}}^{a}}}$ :

Yld2000-2D udbytte loci til et AA6022 T4 ark.

hvor er den effektive stress. og og er de transformerede matricer (ved lineær transformation C eller L):${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}}}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X ''}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} X '= C'.s = L'. \ sigma \\ X '' = C ''. s = L ''. \ sigma \ end {array}}}$

hvor s er den deviatoriske spændingstensor.

for hovedværdierne X 'og X ”kan modellen udtrykkes som:

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ Phi '= {\ venstre | {{{X'} _ {1}}+{{X '} _ {2}}} \ højre |^{a} } \\\ Phi '' = {\ venstre | {2 {{X ''} _ {2}}+{{X ''} _ {1}}} \ højre |^{a}}+{\ venstre | {2 {{X ''} _ {1}}+{{X ''} _ {2}}} \ right |^{a}} \ end {array}} \}$

og:

${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {*{20} {c}} {{L '} _ {11}} \\ {{L'} _ {12}} \\ {{L '} _ {21}} \\ {{L '} _ {22}} \\ {{L'} _ {66}} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {2/3} & 0 & 0 \\ {-1/3} & 0 & 0 \\ 0 & {-1/3} & 0 \\ 0 & {-2/3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} } \ højre] \ venstre [{\ begin {array} {*{20} {c}} {\ alpha _ {1}} \\ {\ alpha _ {2}} \\ {\ alpha _ {7}} \ end {array}} \ right], \ left [{\ begin {array} {*{20} {c}} {{L ''} _ {11}} \\ {{L ''} _ {12 }} \\ {{L ''} _ {21}} \\ {{L ''} _ {22}} \\ {{L ''} _ {66}} \ end {array}} \ højre] = \ venstre [{\ begin {array} {*{20} {c}} {-2} & 2 & 8 & {-2} & 0 \\ 1 & {-4} & {-4} & 4 & 0 \\ 4 & {-4} & {-4} & 4 & 0 \\ {-2} & 8 & 2 & {-2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ slut {array}} \ højre] \ venstre [{\ begin {array} {*{20} {c}} {\ alpha _ {3}} \\ {\ alpha _ {4}} \\ {\ alpha _ {5}} \\ {\ alpha _ {6}} \\ {\ alpha _ {8}} \ end {array} }\ret]}$

hvor er otte parametre for Barlat's Yld2000-2D-modellen, der skal identificeres med et sæt eksperimenter. ${\ displaystyle \ alpha _ {1} ... \ alpha _ {8}}$

Se også

Referencer