Optimizare vectorială - Vector optimization

Optimizarea vectorială este o subzonă a optimizării matematice în care problemele de optimizare cu funcții obiective cu valoare vectorială sunt optimizate în raport cu o anumită ordonare parțială și sunt supuse anumitor constrângeri. O problemă de optimizare multi-obiectivă este un caz special al unei probleme de optimizare a vectorului: spațiul obiectiv este spațiul euclidian cu dimensiuni finite , parțial ordonat în ordinea componentă „mai mică sau egală cu”.

Formularea problemei

În termeni matematici, o problemă de optimizare vectorială poate fi scrisă ca:

${\ displaystyle C \ operatorname {-} \ min _ {x \ în S} f (x)}$

unde pentru un spațiu vectorial parțial ordonat . Ordonarea parțială este indusă de un con . este un set arbitrar și se numește set fezabil. ${\ displaystyle f: X \ to Z}$ ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle C \ subseteq Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$

Concepte de soluție

Există diferite noțiuni de minimalitate, printre care:

• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ în S}$ este un punct slab eficient (minimizator slab) dacă pentru fiecare are . ${\ displaystyle x \ în S}$${\ displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ not \ in - \ operatorname {int} C}$
• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ în S}$ este un punct eficient (minimizator) dacă pentru fiecare are . ${\ displaystyle x \ în S}$${\ displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ not \ in -C \ backslash \ {0 \}}$
• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ în S}$ este un punct eficient în mod corespunzător (minimizator adecvat) dacă este un punct slab eficient în ceea ce privește un con convex cu vârf închis unde . ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {C}}}$${\ displaystyle C \ backslash \ {0 \} \ subseteq \ operatorname {int} {\ tilde {C}}}$

Fiecare minimizator adecvat este un minimizator. Și fiecare minimizator este un minimizator slab.

Conceptele de soluții moderne nu numai că constau în noțiuni de minimalitate, dar iau în considerare și realizarea minimă .

Metode de soluționare

• Algoritmul lui Benson pentru probleme de optimizare a vectorilor liniari .

Relația cu optimizarea multi-obiectiv

Orice problemă de optimizare multi-obiectivă poate fi scrisă ca

${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d} \ operatorname {-} \ min _ {x \ în M} f (x)}$

unde și este ortantul negativ al . Astfel, minimizatorul acestei probleme de optimizare vectorială sunt punctele eficiente Pareto . ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Referințe