Vector optimering - Vector optimization

Vektoroptimering er et underområde af matematisk optimering, hvor optimeringsproblemer med en vektor-værdsat objektive funktioner er optimeret med hensyn til en given delbestilling og underlagt visse begrænsninger. Et multi-objektivt optimeringsproblem er et specielt tilfælde af et vektoroptimeringsproblem: Det objektive rum er det endelige dimensionelle euklidiske rum delvist ordnet af komponentmæssigt "mindre end eller lig med" ordning.

Problemformulering

I matematiske termer kan et vektoroptimeringsproblem skrives som:

${\ displaystyle C \ operatorname {-} \ min _ {x \ in S} f (x)}$

hvor for et delvist ordnet vektorrum . Den delte rækkefølge er induceret af en kegle . er et vilkårligt sæt og kaldes det mulige sæt. ${\ displaystyle f: X \ til Z}$ ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle C \ subseteq Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$

Løsningskoncepter

Der er forskellige minimale forestillinger, blandt dem:

• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ i S}$ er et svagt effektivt punkt (svag minimizer), hvis det for enhver har . ${\ displaystyle x \ i S}$${\ displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ not \ in - \ operatorname {int} C}$
• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ i S}$ er et effektivt punkt (minimizer), hvis det for enhver har . ${\ displaystyle x \ i S}$${\ displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ not \ in -C \ backslash \ {0 \}}$
• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ i S}$ er et ordentligt effektivt punkt (korrekt minimizer), hvis det er et svagt effektivt punkt i forhold til en lukket spids konveks kegle hvor . ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {C}}}$${\ displaystyle C \ backslash \ {0 \} \ subseteq \ operatorname {int} {\ tilde {C}}}$

Hver ordentlig minimizer er en minimizer. Og hver minimizer er en svag minimizer.

Moderne løsningsbegreber består ikke kun af minimale forestillinger, men tager også højde for mindst mulig opnåelse.

Løsningsmetoder

• Bensons algoritme til lineære vektoroptimeringsproblemer.

Forhold til multi-objektiv optimering

Ethvert multi-objektiv optimeringsproblem kan skrives som

${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d} \ operatorname {-} \ min _ {x \ in M} f (x)}$

hvor og er den ikke-negative orthant af . Således er minimering af dette vektoroptimeringsproblem de Pareto-effektive punkter. ${\ displaystyle f: X \ til \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Referencer