Vektor optimalizálás - Vector optimization

A vektoroptimalizálás a matematikai optimalizálás egyik részterülete, ahol a vektorértékű objektívfüggvényekkel kapcsolatos optimalizálási problémákat egy adott részrendezésre és bizonyos korlátozásokra optimalizálják . A többcélú optimalizálási probléma a vektoroptimalizálási probléma speciális esete: Az objektív tér az a véges dimenziós euklideszi tér, amelyet részegységenként, sorrendben "kevesebb vagy egyenlő" rendez az alkatrész.

Probléma megfogalmazása

Matematikai szempontból egy vektoroptimalizálási probléma a következőképpen írható fel:

${\ displaystyle C \ operátornév {-} \ min _ {x \ in S} f (x)}$

ahol egy részben rendezett vektortér számára . A részleges rendezést egy kúp indukálja . tetszőleges halmaz, és megvalósítható halmaznak hívják. ${\ displaystyle f: X \ - Z}$ ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle C \ subseteq Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$

Megoldási koncepciók

Különböző minimális fogalmak vannak, köztük:

• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ in S}$ egy gyengén hatékony pont (gyenge minimizer), ha minden embernek . ${\ displaystyle x \ in S}$${\ displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ not \ in - \ üzemeltető neve {int} C}$
• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ in S}$ egy hatékony pont (minimizer), ha minden embernek . ${\ displaystyle x \ in S}$${\ displaystyle f (x) -f ({\ bar {x}}) \ not \ in -C \ backslash \ {0 \}}$
• ${\ displaystyle {\ bar {x}} \ in S}$ egy megfelelően hatékony pont (megfelelő minimalizáló), ha gyengén hatékony pont egy zárt hegyes konvex kúppal szemben, ahol . ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {C}}}$${\ displaystyle C \ hátsó perjel \ {0 \} \ subseteq \ operátornév {int} {\ tilde {C}}}$

Minden megfelelő minimalizáló minimalizáló. És minden minimalizáló gyenge minimalizáló.

A modern megoldási koncepciók nemcsak a minimalitás fogalmaiból állnak, hanem figyelembe veszik a legmagasabb szintű elérést is .

Megoldási módszerek

• Benson algoritmus a lineáris vektor optimalizálási problémák.

Kapcsolat a többcélú optimalizálással

Bármely többcélú optimalizálási probléma leírható

${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d} \ kezelőnév {-} \ min _ {x \ M} f (x)}$

ahol és a nem-negatív ortáns az . Így ennek a vektoroptimalizálási problémának a minimalizálója a Pareto-hatékony pont. ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Hivatkozások