Continuitate uniformă - Uniform continuity

Graficul scapă din partea de sus și / sau de jos a ferestrei, oricât de mică ar fi , deci nu este uniform continuu. Funcția , pe de altă parte, este uniformă continuă.${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$${\ displaystyle {\ text {height}} \ times {\ text {width}} = 2 \ varepsilon \ times 2 \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x) = {\ sqrt {x}}}$

În matematică , o funcție f este uniformă continuă dacă, aproximativ vorbind, este posibil să garantăm că f ( x ) și f ( y ) să fie la fel de apropiate una de cealaltă, după cum ne place, cerând doar ca x și y să fie suficient de apropiate de fiecare alte; spre deosebire de continuitatea obișnuită , unde distanța maximă dintre f ( x ) și f ( y ) poate depinde de x și y înșiși.

Funcțiile continue pot eșua să fie uniforme continue dacă sunt nelimitate pe un domeniu finit, cum ar fi pe (0,1), sau dacă pantele lor devin nelimitate pe un domeniu infinit, cum ar fi pe linia reală. Cu toate acestea, orice hartă Lipschitz între spații metrice este uniformă continuă, în special orice izometrie (hartă de conservare a distanței). ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$

Deși continuitatea obișnuită poate fi definită pentru funcțiile dintre spațiile topologice generale, definirea continuității uniforme necesită mai multă structură. Conceptul se bazează pe compararea dimensiunilor vecinătăților punctelor distincte, deci necesită un spațiu metric sau, mai general, un spațiu uniform .

Definiție pentru funcții pe spații metrice

Având în vedere spații metrice și , o funcție se numește uniform continuă dacă pentru fiecare număr real există real astfel încât pentru fiecare cu , avem acel . ${\ displaystyle (X, d_ {1})}$${\ displaystyle (Y, d_ {2})}$${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle x, y \ în X}$${\ displaystyle d_ {1} (x, y) <\ delta}$${\ displaystyle d_ {2} (f (x), f (y)) <\ varepsilon}$

Dacă X și Y sunt subseturi ale liniei reale , d ₁ și d ₂ pot fi distanța euclidiană unidimensională standard , dând definiția: pentru toți există o astfel încât pentru toți . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle x, y \ în X, | xy | <\ delta \ implică | f (x) -f (y) | <\ varepsilon}$

Diferența dintre continuitatea uniformă, față de continuitatea obișnuită în fiecare punct, este că, în continuitatea uniformă, valoarea depinde doar de și nu de punctul din domeniu. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Continuitate locală versus continuitate uniformă globală

Continuitatea în sine este o proprietate locală a unei funcții - adică o funcție f este continuă sau nu, într-un anumit punct, iar acest lucru poate fi determinat examinând numai valorile funcției într-un vecinătate (arbitrar mic) punct. Când vorbim despre o funcție continuă pe un interval , înseamnă doar că este continuă în fiecare punct al intervalului. În contrast, continuitatea uniformă este o proprietate globală a lui f , în sensul că definiția standard se referă mai degrabă la perechi de puncte decât la puncte individuale. Pe de altă parte, este posibil să se dea o definiție care este locală în ceea ce privește extensia naturală f * (ale cărei caracteristici la punctele non-standard sunt determinate de proprietățile globale ale lui f ), deși nu este posibil să se dea un local definiția continuității uniforme pentru o funcție arbitrară hiperreală, vezi mai jos .

Afirmațiile matematice conform cărora o funcție este continuă pe un interval I și definiția că o funcție este continuă uniform pe același interval sunt structural foarte asemănătoare. Continuitatea unei funcții pentru fiecare punct x al unui interval poate fi astfel exprimată printr-o formulă începând cu cuantificarea

${\ displaystyle \ forall x \ in I \; \ forall \ varepsilon> 0 \; \ există \ delta> 0 \; \ forall y \ in I: \, | xy | <\ delta \, \ Rightarrow \, | f (x) -f (y) | <\ varepsilon \ ,,}$

întrucât pentru continuitate uniformă, ordinea primului, celui de-al doilea și al treilea cuantificator sunt rotite:

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ există \ delta> 0 \; \ forall x, y \ în I: \, | xy | <\ delta \, \ Rightarrow \, | f (x) -f ( y) | <\ varepsilon}$

Astfel, pentru continuitate în fiecare punct, se ia un punct arbitrar x, și atunci trebuie să existe o distanță δ ,

${\ displaystyle \ cdots \ forall x \, \ exists \ delta \ cdots,}$

în timp ce pentru continuitate uniformă, un singur δ trebuie să funcționeze uniform pentru toate punctele x (și y ):

${\ displaystyle \ cdots \ există \ delta \, \ forall x \, \ forall y \ cdots.}$

Exemple și contraexemple

• Fiecare hartă continuă Lipschitz între două spații metrice este uniformă continuă. În special, fiecare funcție care este diferențiată și are derivată mărginită este uniform continuă. Mai general, fiecare funcție continuă Hölder este uniformă continuă.
• În ciuda faptului că nu este nicăieri diferențiată, funcția Weierstrass este uniformă continuă
• Fiecare membru al unui set de funcții uniform echicontinuu este uniform continuu.
• Funcția tangentă este continuă pe interval (- π / 2,  π / 2), dar nu este uniformă continuă pe acel interval.
• Funcția exponențială x  e ^x este continuă peste tot pe linia reală, dar nu este uniformă continuă pe linie.${\ displaystyle \ scriptstyle \ mapsto}$ 

Proprietăți

Fiecare funcție uniformă continuă este continuă , dar inversul nu se menține. Luați în considerare, de exemplu, funcția . Având în vedere un număr real pozitiv arbitrar de mic , continuitatea uniformă necesită existența unui număr pozitiv astfel încât pentru toți cu , avem . Dar ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, x \ mapsto x ^ {2}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$${\ displaystyle | x_ {1} -x_ {2} | <\ delta}$${\ displaystyle | f (x_ {1}) - f (x_ {2}) | <\ varepsilon}$

${\ displaystyle f \ left (x + {\ frac {\ delta} {2}} \ right) -f (x) = 2x \ cdot {\ frac {\ delta} {2}} + {\ frac {\ delta ^ {2}} {4}},}$

iar pentru toate x suficient de mari această cantitate este mai mare decât . ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Orice funcție absolut continuă este uniformă continuă. Pe de altă parte, funcția Cantor este uniform continuă, dar nu absolut continuă.

Imaginea unui subset total delimitat sub o funcție uniformă continuă este complet delimitată. Cu toate acestea, imaginea unui subset delimitat al unui spațiu metric arbitrar sub o funcție uniformă continuă nu trebuie să fie delimitată: ca contraexemplu, luați în considerare funcția de identitate de la numerele întregi dotate cu metrica discretă la numerele întregi dotate cu metrica euclidiană obișnuită .

Heine-Cantor teorema afirmă că orice funcție continuă pe un set de compact este uniform continua. În special, dacă o funcție este continuă pe un interval închis mărginit al liniei reale, este uniformă continuă pe acel interval. Integrabilitatea Darboux funcțiilor continue urmează aproape imediat din aceasta teorema.

Dacă o funcție cu valoare reală este continuă și există (și este finită), atunci este uniformă continuă. În special, fiecare element al spațiului funcțiilor continue pe care dispare la infinit este uniform continuu. Aceasta este o generalizare a teoremei Heine-Cantor menționată mai sus, deoarece . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle C_ {0} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle C_ {c} (\ mathbb {R}) \ subset C_ {0} (\ mathbb {R})}$

Vizualizare

Pentru o funcție uniform continuă, există pentru fiecare dată un astfel încât cele două valori și au o distanță maximă de fiecare dată și nu diferă mai mult . Astfel putem desena în jurul fiecărui punct al graficului un dreptunghi cu înălțimea și lățimea, astfel încât graficul să se afle complet în interiorul dreptunghiului și nu direct deasupra sau dedesubt. Pentru funcțiile care nu sunt uniform continue, acest lucru nu este posibil. Graficul se poate afla în interiorul dreptunghiului pentru anumite puncte medii ale graficului, dar există întotdeauna punctele medii ale dreptunghiului pe grafic, unde funcția se află deasupra sau dedesubtul dreptunghiului. ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (y)}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle (x, f (x))}$${\ displaystyle 2 \ varepsilon}$${\ displaystyle 2 \ delta}$

• 

  Pentru funcțiile uniform continue, există pentru fiecare un astfel încât atunci când vom trage un dreptunghi în jurul fiecărui punct al graficului cu lățime și înălțime , graficul este plasată complet în interiorul dreptunghiului. ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle 2 \ delta}$${\ displaystyle 2 \ varepsilon}$

• 

  Pentru funcțiile care nu sunt uniforme continue, există o astfel încât, indiferent de, există întotdeauna puncte pe grafic, atunci când desenăm un dreptunghi în jurul său, există valori direct deasupra sau dedesubtul dreptunghiului. Ar putea exista puncte mediane în care graficul este complet în interiorul dreptunghiului, dar acest lucru nu este adevărat pentru fiecare punct mediu. ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle 2 \ varepsilon \ times 2 \ delta}$

Istorie

Prima definiție publică a continuității uniforme a fost făcută de Heine în 1870, iar în 1872 a publicat o dovadă că o funcție continuă pe un interval deschis nu trebuie să fie uniformă continuă. Dovezile sunt date aproape textual de Dirichlet în prelegerile sale despre integrale definite în 1854. Definiția continuității uniforme apare mai devreme în lucrarea lui Bolzano unde a dovedit, de asemenea, că funcțiile continue pe un interval deschis nu trebuie să fie uniforme continue. În plus, el afirmă, de asemenea, că o funcție continuă pe un interval închis este uniformă continuă, dar nu oferă o dovadă completă.

Alte caracterizări

Analiză non-standard

În analiza non-standard , o funcție reală f a unei variabile reale este microcontinuă într-un punct a exact dacă diferența f * ( a  +  δ ) -  f * ( a ) este infinitesimală ori de câte ori δ este infinitesimal. Astfel f este continuă pe un set A , în cazul în care R precis f * este microcontinuous la fiecare punct real , a  ∈  A . Continuitatea uniformă poate fi exprimată ca condiția că (extensia naturală a) f este microcontinuă nu numai în punctele reale din A , ci în toate punctele din omologul său non-standard (extensia naturală) ^* A în ^* R. Rețineți că există funcțiile hiperreale care îndeplinesc acest criteriu, dar nu sunt uniform continue, precum și funcțiile hiperreale uniforme continue care nu îndeplinesc acest criteriu, cu toate acestea, astfel de funcții nu pot fi exprimate sub forma f * pentru nicio funcție cu valoare reală f . (a se vedea calculul non-standard pentru mai multe detalii și exemple).

Continuitate cauchy

Pentru o funcție între spații metrice, continuitatea uniformă implică continuitatea Cauchy ( Fitzpatrick 2006 ). Mai precis, să fie A un subset al lui R ⁿ . Dacă o funcție f  :  A  →  R ^m este uniformă continuă atunci pentru fiecare pereche de secvențe x _n și y _n astfel încât

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | x_ {n} -y_ {n} | = 0}$

avem

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | f (x_ {n}) - f (y_ {n}) | = 0.}$

Relațiile cu problema extensiei

Fie X un spațiu metric, S un subset de X, R un spațiu metric complet și o funcție continuă. Când poate f fi extinsă la o funcție continuă pe toate X ? ${\ displaystyle f: S \ rightarrow R}$

Dacă S este închis în X , răspunsul este dat de teorema extensiei Tietze : întotdeauna. Deci, este necesar și suficient să se extindă f până la închiderea lui S în X : adică, putem presupune fără pierderea generalității că S este dens în X , iar aceasta are și consecința plăcută că dacă extensia există, este unică . O condiție suficientă pentru ca f să se extindă la o funcție continuă este aceea că este Cauchy-continuă , adică imaginea de sub f a unei secvențe Cauchy rămâne Cauchy. Dacă X este complet (și, prin urmare, finalizarea lui S ), atunci fiecare funcție continuă de la X la un spațiu metric Y este continuă cauchy. Prin urmare, când X este complet, f se extinde la o funcție continuă dacă și numai dacă f este Cauchy-continuu. ${\ displaystyle f: X \ rightarrow R}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow R}$

Este ușor de văzut că fiecare funcție uniform continuă este Cauchy- continuă și , astfel , se extinde la X . Conversa nu se menține, deoarece funcția nu este, așa cum s-a văzut mai sus, continuu uniform, dar este continuă și, astfel, deoarece R este completă, Cauchy continuă. În general, pentru funcțiile definite pe spații nelimitate precum R , continuitatea uniformă este o condiție destul de puternică. Este de dorit să aveți o condiție mai slabă din care să deduceți extensibilitatea. ${\ displaystyle f: R \ rightarrow R, x \ mapsto x ^ {2}}$

De exemplu, să presupunem că > 1 este un număr real. La nivel de precalcul, funcției i se poate da o definiție precisă numai pentru valorile raționale ale lui x (presupunând existența rădăcinilor qth ale numerelor reale pozitive, o aplicație a teoremei valorii intermediare). Una dintre acestea ar dori să se extindă f la o funcție definită pe toate R . Identitatea ${\ displaystyle f: x \ mapsto a ^ {x}}$

${\ displaystyle f (x + \ delta) -f (x) = a ^ {x} \ left (a ^ {\ delta} -1 \ right)}$

arată că f nu este uniform continuu pe mulțimea Q a tuturor numerelor raționale; totuși , pentru orice interval mărginit I restricția lui f la este uniform continuă, deci Cauchy- continuă, deci f se extinde la o funcție continuă pe I . Dar , din moment ce acest lucru este valabil pentru fiecare I , există apoi o extensie unică a f o funcție continuă pe toate R . ${\ displaystyle Q \ cap I}$

Mai general, o funcție continuă a cărei restricție la fiecare subset delimitat al lui S este continuu uniform poate fi extinsă la X , iar inversul este valabil dacă X este compact local . ${\ displaystyle f: S \ rightarrow R}$

O aplicație tipică a extensibilității unei funcții uniforme continue este dovada formulei de transformare Fourier inversă . Mai întâi dovedim că formula este adevărată pentru funcțiile de testare, există multe dintre ele. Extindem apoi harta inversă la întregul spațiu folosind faptul că harta liniară este continuă; astfel, continuu uniform.

Generalizare la spații vectoriale topologice

În cazul special al două spații vectoriale topologice și , noțiunea de continuitate uniformă a unei hărți devine: pentru orice vecinătate de zero în , există o vecinătate de zero în așa fel încât implică${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f: V \ to W}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle v_ {1} -v_ {2} \ în A}$${\ displaystyle f (v_ {1}) - f (v_ {2}) \ în B.}$

Pentru transformările liniare , continuitatea uniformă este echivalentă cu continuitatea. Acest fapt este frecvent utilizat implicit în analiza funcțională pentru a extinde o hartă liniară de pe un subspatiu dens al unui spațiu Banach . ${\ displaystyle f: V \ to W}$

Generalizare la spații uniforme

Așa cum cel mai natural și general cadru pentru continuitate sunt spațiile topologice , cel mai natural și general cadru pentru studiul continuității uniforme sunt spațiile uniforme . O funcție f  :  X  →  Y între spații uniforme se numește uniform continuă dacă pentru fiecare anturaj V în Y există un anturaj U în X astfel încât pentru fiecare ( x ₁ , x ₂ ) din U avem ( f ( x ₁ ), f ( x ₂ )) în V .

În acest cadru, este de asemenea adevărat că hărțile uniforme continue transformă secvențele Cauchy în secvențe Cauchy.

Fiecare spațiu compact Hausdorff posedă exact o structură uniformă compatibilă cu topologia. O consecință este o generalizare a teoremei Heine-Cantor: fiecare funcție continuă de la un spațiu compact Hausdorff la un spațiu uniform este uniform continuă.

Referințe

Lecturi suplimentare

• Bourbaki, Nicolas . Topologie generală: capitolele 1-4 [ Topologie generală ]. ISBN 0-387-19374-X. Capitolul II este o referință cuprinzătoare a spațiilor uniforme.
• Dieudonné, Jean (1960). Fundamentele analizei moderne . Academic Press.
• Fitzpatrick, Patrick (2006). Calcul avansat . Brooks / Cole. ISBN 0-534-92612-6.
• Kelley, John L. (1955). Topologie generală . Texte postuniversitare în matematică. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Continuitate uniformă" , Enciclopedia Matematicii , EMS Press
• Rudin, Walter (1976). Principiile analizei matematice . New York: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rusnock, P .; Kerr-Lawson, A. (2005), „Bolzano and uniform continuity”, Historia Mathematica , 32 (3): 303–311, doi : 10.1016 / j.hm.2004.11.003