Microcontinuitate - Microcontinuity

În analiza non-standard , o disciplină din matematica clasică , microcontinuitatea (sau S -continuitatea) unei funcții interne f la un punct a este definită după cum urmează:

pentru toți x infinit aproape de o , valoarea f ( x ) este infinit aproape de f ( a ).

Aici x trece prin domeniul f . În formule, acest lucru poate fi exprimat după cum urmează:

dacă atunci . ${\ displaystyle x \ approx a}$${\ displaystyle f (x) \ approx f (a)}$

Pentru o funcție f definită pe , definiția poate fi exprimată în termeni de halou după cum urmează: f este microcontinuu dacă și numai dacă , unde extensia naturală a lui f la hiperreale este încă notată f . Alternativ, proprietatea microcontinuității la c poate fi exprimată prin afirmarea că compoziția este constantă pe haloul lui c , unde „st” este funcția standard a piesei . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (hal (c)) \ subseteq hal (f (c))}$${\ displaystyle {\ text {st}} \ circ f}$

Istorie

Proprietatea modernă de continuitate a unei funcții a fost definită pentru prima dată de Bolzano în 1817. Cu toate acestea, munca lui Bolzano nu a fost observată de comunitatea matematică mai mare până când a fost redescoperită în Heine în anii 1860. Între timp, manualul lui Cauchy Cours d'Analyse a definit continuitatea în 1821 folosind infinitesimale ca mai sus.

Continuitate și continuitate uniformă

Proprietatea microcontinuității este de obicei aplicată extensiei naturale f * a unei funcții reale f . Astfel, f definită pe un interval real , eu este continuă dacă și numai dacă f * este microcontinuous la fiecare punct de I . Între timp, f este uniform continuu pe I dacă și numai dacă f * este microcontinuu în fiecare punct (standard și nestandard) al extensiei naturale I * a domeniului său I (a se vedea Davis, 1977, p. 96).

Exemplul 1

Funcția reală pe intervalul deschis (0,1) nu este uniform continuă deoarece extensia naturală f * a f nu reușește să fie microcontinuă la infinitesimal . Într-adevăr, pentru un astfel de a , valorile a și 2a sunt infinit de apropiate, dar valorile lui f * , și anume și nu sunt infinit de apropiate. ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {a}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2a}}}$

Exemplul 2

Funcția activată nu este uniformă continuă deoarece f * nu reușește să fie microcontinuă într-un punct infinit . Și anume, setarea și K  =  H  +  e , se vede cu ușurință că H și K sunt infinit de aproape, dar f * ( H ) și f * ( K ) nu sunt infinit de aproape. ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle H \ in \ mathbb {R} ^ {*}}$${\ displaystyle e = {\ tfrac {1} {H}}}$

Convergență uniformă

Convergența uniformă admite în mod similar o definiție simplificată într-un cadru hiperreal. Astfel, o secvență converge în f în mod uniform dacă pentru toate x din domeniul lui f * și pentru tot infinitul n , este infinit de aproape . ${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f_ {n} ^ {*} (x)}$${\ displaystyle f ^ {*} (x)}$

Vezi si

• Funcția piesei standard

Bibliografie

• Martin Davis (1977) Analiza aplicată non-standard. Matematică pură și aplicată. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York-Londra-Sydney. xii + 181 p. ISBN   0-471-19897-8
• Gordon, EI; Kusraev, AG; Kutateladze , SS: Analiza infinitesimală. Traducere actualizată și revizuită a originalului rus din 2001. Traducere de Kutateladze. Matematica și aplicațiile sale, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

Referințe