Raza spectrală - Spectral radius

În matematică , raza spectrală a unei matrice pătrate sau a unui operator liniar mărginit este cea mai mare valoare absolută a valorilor sale proprii (adică supremul dintre valorile absolute ale elementelor din spectrul său ). Uneori se notează cu ρ (·).

Matrici

Fie λ ₁ , ..., λ _n valorile proprii ( reale sau complexe ) ale unei matrice A ∈ C ^{n × n} . Atunci raza sa spectrală ρ ( A ) este definită ca:

${\ displaystyle \ rho (A) = \ max \ left \ {| \ lambda _ {1} |, \ dotsc, | \ lambda _ {n} | \ right \}.}$

Raza spectrală este un fel de minim al tuturor normelor unei matrice. Într-adevăr, pe de o parte, pentru fiecare normă matricială naturală ; iar pe de altă parte, formula lui Gelfand afirmă că . Ambele rezultate sunt prezentate mai jos. ${\ displaystyle \ rho (A) \ leqslant \ | A \ |}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}$

Cu toate acestea, raza spectrală nu se satisface neapărat pentru vectori arbitrari . Pentru a vedea de ce, să fim arbitrari și să luăm în considerare matricea ${\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle r> 1}$

${\ displaystyle C_ {r} = {\ begin {pmatrix} 0 & r ^ {- 1} \\ r & 0 \ end {pmatrix}}}$.

Polinomul caracteristic al este , deci valori proprii sale sunt și astfel . Cu toate acestea ,. Ca urmare, pentru orice normă, ${\ displaystyle C_ {r}}$${\ displaystyle \ lambda ^ {2} -1}$${\ displaystyle \ {- 1,1 \}}$${\ displaystyle \ rho (C_ {r}) = 1}$${\ displaystyle C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} = r \ mathbf {e} _ {2}}$${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$

${\ displaystyle \ | C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} \ | = r> 1 = \ rho (C_ {r}) \ | \ mathbf {e} _ {1} \ |.}$

Ca o ilustrare a formulei lui Gelfand, nota că așa cum , din moment ce în cazul în care este chiar și dacă este ciudat. ${\ displaystyle \ | C_ {r} ^ {k} \ | ^ {1 / k} \ to 1}$${\ displaystyle k \ to \ infty}$${\ displaystyle C_ {r} ^ {k} = I}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle C_ {r} ^ {k} = C_ {r}}$${\ displaystyle k}$

Un caz special în care pentru toți este când este o matrice hermitiană și este norma euclidiană . Acest lucru se datorează faptului că orice Matrice Hermitiană este diagonalizabilă printr-o matrice unitară , iar matricile unitare păstrează lungimea vectorului: ${\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | = \ | U ^ {*} DU \ mathbf {v} \ | = \ | DU \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | U \ mathbf {v} \ | = \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |.}$

Operatori liniari delimitați

Pentru un operator liniar mărginit A pe un spațiu Banach , valorile proprii sunt înlocuite cu spectrul operatorului , acele valori pentru care nu reușesc să fie injective; denotăm spectrul prin ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A- \ lambda I}$

${\ displaystyle \ sigma (A) = \ left \ {\ lambda \ in \ mathbb {C}: \ ker (A- \ lambda I) \ neq \ emptyset \ right \}}$

Raza spectrală este apoi definită ca supremul mărimilor elementelor din spectru:

${\ displaystyle \ rho (A) = \ sup _ {\ lambda \ in \ sigma (A)} | \ lambda |}$

Dacă notăm norma operatorului cu , atunci avem formula razei spectrale sau formula lui Gelfand: ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$

Un operator mărginit (pe un spațiu Hilbert complex) se numește operator spectraloid dacă raza sa spectrală coincide cu raza sa numerică . Un exemplu de astfel de operator este un operator normal .

Grafice

Raza spectrală a unui grafic finit este definită ca fiind raza spectrală a matricei sale de adiacență .

Această definiție se extinde la cazul graficelor infinite cu grade mărginite de vârfuri (adică există un număr real C astfel încât gradul fiecărui vârf al graficului să fie mai mic decât C ). În acest caz, pentru graficul G definiți:

${\ displaystyle \ ell ^ {2} (G) = \ left \ {f: V (G) \ to \ mathbf {R} \: \ \ sum \ nolimits _ {v \ in V (G)} \ left \ | f (v) ^ {2} \ right \ | <\ infty \ right \}.}$

Fie γ operatorul de adiacență al lui G :

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ gamma: \ ell ^ {2} (G) \ to \ ell ^ {2} (G) \\ (\ gamma f) (v) = \ sum _ {(u, v) \ în E (G)} f (u) \ end {cases}}}$

Raza spectrală a lui G este definită ca raza spectrală a operatorului liniar delimitat γ .

Limită superioară

Limitele superioare pentru raza spectrală a unei matrice

Următoarea propoziție arată o limită superioară simplă dar utilă pentru raza spectrală a unei matrice:

Propoziție. Fie A ∈ C ^{n × n} cu rază spectrală ρ ( A ) și o normă matricială consistentă || ⋅ || . Apoi pentru fiecare număr întreg : ${\ displaystyle k \ geqslant 1}$

${\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$

Dovadă

Să ( v , λ ) să fie un vector propriu - eigenvalue pereche pentru o matrice A . Prin proprietatea sub-multiplicativă a normei matricei, obținem:

${\ displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ | \ mathbf {v} \ | = \ | \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \ | = \ | A ^ {k} \ mathbf {v} \ | \ leq \ | A ^ {k} \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |}$

și din moment ce v ≠ 0 avem

${\ displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ leq \ | A ^ {k} \ |}$

prin urmare

${\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$

Limitele superioare pentru raza spectrală a unui grafic

Există mai multe limite superioare pentru raza spectrală a unui grafic în ceea ce privește numărul n de vârfuri și numărul m de margini. De exemplu, dacă

${\ displaystyle {\ frac {(k-2) (k-3)} {2}} \ leq mn \ leq {\ frac {k (k-3)} {2}}}$

unde este un număr întreg, atunci ${\ displaystyle 3 \ leq k \ leq n}$

${\ displaystyle \ rho (G) \ leq {\ sqrt {2m-n-k + {\ frac {5} {2}} + {\ sqrt {2m-2n + {\ frac {9} {4}}}}} }}$

Secvența de putere

Teorema

Raza spectrală este strâns legată de comportamentul convergenței secvenței de putere a unei matrice; și anume, urmează următoarea teoremă:

Teorema. Fie A ∈ C ^{n × n} cu rază spectrală ρ ( A ) . Atunci ρ ( A ) <1 dacă și numai dacă

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0.}$

Pe de altă parte, dacă ρ ( A )> 1 , . Enunțul este valabil pentru orice alegere a normei matricei pe C ^{n × n} .${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | = \ infty}$

Dovada teoremei

Să presupunem că limita în cauză este zero, vom arăta că ρ ( A ) <1 . Să ( v , λ ) să fie un vector propriu - eigenvalue pereche pentru A . Deoarece A ^k v = λ ^k v avem:

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} \ right) \ mathbf {v} \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty } \ left (A ^ {k} \ mathbf {v} \ right) \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \\ & = \ mathbf {v } \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ end {align}}}$

și, întrucât, prin ipoteza v ≠ 0 , trebuie să avem

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} = 0}$

ceea ce implică | λ | <1. Deoarece acest lucru trebuie să fie adevărat pentru orice valoare proprie λ, putem concluziona ρ ( A ) <1.

Acum presupunem că raza lui A este mai mică de 1 . Din teorema formei normale a lui Jordan , știm că pentru toate A ∈ C ^{n × n} , există V , J ∈ C ^{n × n} cu V non-singular și J în diagonală, astfel încât:

${\ displaystyle A = VJV ^ {- 1}}$

cu

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} (\ lambda _ {s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}$

Unde

${\ displaystyle J_ {m_ {i}} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {i} & 1 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i} & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} \ end {bmatrix}} \ in \ mathbf { C} ^ {m_ {i} \ times m_ {i}}, 1 \ leq i \ leq s.}$

Este ușor de văzut asta

${\ displaystyle A ^ {k} = VJ ^ {k} V ^ {- 1}}$

și, deoarece J este diagonală bloc,

${\ displaystyle J ^ {k} = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} ^ {k} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} ^ {k } (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} ^ {k} (\ lambda _ {s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} ^ {k} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}$

Acum, un rezultat standard asupra puterii k a unui bloc Jordan afirmă că, pentru : ${\ displaystyle m_ {i} \ times m_ {i}}$${\ displaystyle k \ geq m_ {i} -1}$

${\ displaystyle J_ {m_ {i}} ^ {k} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ { i} ^ {k-1} & {k \ choose 2} \ lambda _ {i} ^ {k-2} & \ cdots & {k \ choose m_ {i} -1} \ lambda _ {i} ^ { k-m_ {i} +1} \\ 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} & \ cdots & {k \ choose m_ {i} -2} \ lambda _ {i} ^ {k-m_ {i} +2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i } ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} \ end {bmatrix}}}$

Astfel, dacă atunci pentru toate i . Prin urmare , pentru toate i avem: ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ ${\ displaystyle | \ lambda _ {i} | <1}$

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J_ {m_ {i}} ^ {k} = 0}$

Ceea ce implică

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} = 0.}$

Prin urmare,

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = \ lim _ {k \ to \ infty} VJ ^ {k} V ^ {- 1} = V \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} \ right) V ^ {- 1} = 0}$

Pe de altă parte, dacă , există cel puțin un element în J care nu rămâne delimitat pe măsură ce k crește, dovedind a doua parte a enunțului. ${\ displaystyle \ rho (A)> 1}$

Formula lui Gelfand

Teorema

Următoarea teoremă dă raza spectrală ca limită a normelor matricei.

Teorema (Formula lui Gelfand; 1941). Pentru orice normă matricială || ⋅ ||, avem

${\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$.

Dovadă

Pentru orice ε > 0 , mai întâi construim următoarele două matrice:

${\ displaystyle A _ {\ pm} = {\ frac {1} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}} A.}$

Apoi:

${\ displaystyle \ rho \ left (A _ {\ pm} \ right) = {\ frac {\ rho (A)} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}}, \ qquad \ rho (A _ {+}) <1 <\ rho (A _ {-}).}$

Mai întâi aplicăm teorema anterioară lui A ₊ :

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A _ {+} ^ {k} = 0.}$

Aceasta înseamnă că, prin definiția limitei secvenței, există N ₊ ∈ N astfel încât pentru toate k ≥ N ₊ ,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A _ {+} ^ {k} \ right \ | <1 \ end {align}}}$

asa de

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon. \ end {align}}}$

Aplicarea teoremei anterioare la A _- implică nu este delimitată și există N _- ∈ N astfel încât pentru toate k ≥ N _- , ${\ displaystyle \ | A _ {-} ^ {k} \ |}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A _ {-} ^ {k} \ right \ |> 1 \ end {align}}}$

asa de

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}}> \ rho (A) - \ varepsilon. \ end {align}}}$

Fie N = max { N ₊ , N _- }, atunci avem:

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ există N \ in \ mathbf {N} \ quad \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) - \ varepsilon <\ left \ | A ^ {k} \ dreapta \ | ^ {\ frac {1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon}$

care, prin definiție, este

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} = \ rho (A).}$

Corolari Gelfand

Formula lui Gelfand duce direct la o legătură pe raza spectrală a unui produs cu multe matrice finite, și anume presupunând că toate navetează obținem

${\ displaystyle \ rho (A_ {1} \ cdots A_ {n}) \ leq \ rho (A_ {1}) \ cdots \ rho (A_ {n}).}$

De fapt, în cazul în care norma este consecventă , dovada arată mai mult decât teza; de fapt, folosind lema anterioară, putem înlocui în definiția limită limita inferioară stângă cu raza spectrală în sine și să scriem mai precis:

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ există N \ in \ mathbf {N}, \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac { 1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon}$

care, prin definiție, este

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} = \ rho (A) ^ {+},}$

unde + înseamnă că limita este abordată de sus.

Exemplu

Luați în considerare matricea

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 9 & -1 & 2 \\ - 2 & 8 & 4 \\ 1 & 1 & 8 \ end {bmatrix}}}$

ale căror valori proprii sunt 5, 10, 10 ; prin definiție, ρ ( A ) = 10 . În tabelul următor, valorile pentru cele patru cele mai utilizate norme sunt enumerate comparativ cu mai multe valori crescătoare ale lui k (rețineți că, datorită formei particulare a acestei matrice ): ${\ displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}}$${\ displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$

k	${\ displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$	${\ displaystyle \ |. \ | _ {F}}$	${\ displaystyle \ |. \ | _ {2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Note și referințe

Bibliografie

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Operatori lineari II. Teoria spectrală: Operatori autoadjuncti în Hilbert Space , Interscience Publishers, Inc.
• Lax, Peter D. (2002), Analiza funcțională , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

Vezi si

• Decalaj spectral
• Raza spectrală mixtă este o generalizare a razei spectrale seturi de matrici.
• Spectrul unei matrice
• Abscisa spectrală