Spektrisäde - Spectral radius

On matematiikka , spektrin säde on neliömatriisi tai rajoittuu lineaarinen operaattori on suurin absoluuttinen arvo sen ominaisarvot (eli supremum- joukosta absoluuttisten arvojen elementtien sen spektri ). Se on joskus merkitty ρ (·).

Matriisit

Olkoon λ ₁ , ..., λ _n matriisin A ∈ C ^{n × n} ( todelliset tai kompleksiset ) ominaisarvot . Sitten sen spektrisäde ρ ( A ) määritellään seuraavasti:

${\ displaystyle \ rho (A) = \ max \ vasen \ {| \ lambda _ {1} |, \ piste, | \ lambda _ {n} | \ oikea \}.}$

Spektrisäde on eräänlainen infimaatio kaikista matriisin normeista. Todellakin, toisaalta, jokaisen luonnollisen matriisinormin osalta ; ja toisaalta Gelfandin kaava sanoo, että . Molemmat tulokset on esitetty alla. ${\ displaystyle \ rho (A) \ leqslant \ | A \ |}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A^{k} \ |^{1/k}}$

Spektrisäde ei kuitenkaan välttämättä täytä mielivaltaisia ​​vektoreita . Jos haluat nähdä miksi, anna olla mielivaltainen ja harkitse matriisia ${\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^{n}}$${\ displaystyle r> 1}$

${\ displaystyle C_ {r} = {\ begin {pmatrix} 0 & r^{-1} \\ r & 0 \ end {pmatrix}}}$.

Tunnusomainen polynomi on on , niin sen ominaisarvot ovat ja siten . Kuitenkin , . Tämän seurauksena mikä tahansa normi ${\ displaystyle C_ {r}}$${\ displaystyle \ lambda ^{2} -1}$${\ displaystyle \ {-1,1 \}}$${\ displaystyle \ rho (C_ {r}) = 1}$${\ displaystyle C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} = r \ mathbf {e} _ {2}}$${\ displaystyle \ ell ^{p}}$

${\ displaystyle \ | C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} \ | = r> 1 = \ rho (C_ {r}) \ | \ mathbf {e} _ {1} \ |.}$

Huomaa esimerkkinä Gelfandin kaavasta, että as , koska jos on parillinen ja jos on pariton. ${\ displaystyle \ | C_ {r}^{k} \ |^{1/k} \ to 1}$${\ displaystyle k \ to \ infty}$${\ displaystyle C_ {r}^{k} = I}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle C_ {r}^{k} = C_ {r}}$${\ displaystyle k}$

Erikoistapaus, jossa kaikille on milloin on Hermitian -matriisi ja on euklidinen normi . Tämä johtuu siitä, että mikä tahansa hermiittinen matriisi on diagonalisoitavissa jonka unitaarinen matriisi , ja unitaarisia matriiseja säilyttää vektorin pituus: ${\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^{n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | = \ | U^{*} DU \ mathbf {v} \ | = \ | DU \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | U \ mathbf {v} \ | = \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |.}$

Rajoitetut lineaariset operaattorit

Jotta rajoittuu lineaarinen operaattori on Banach tila , ominaisarvot korvataan spektrin operaattorin , ne arvot , joita varten ei olla injektio; merkitsemme spektriä ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A- \ lambda I}$

${\ displaystyle \ sigma (A) = \ vasen \ {\ lambda \ in \ mathbb {C}: \ ker (A- \ lambda I) \ neq \ emptyyset \ right \}}$

Spektrisäde määritellään sitten spektrin elementtien suuruusluokan ylemmäksi:

${\ displaystyle \ rho (A) = \ sup _ {\ lambda \ in \ sigma (A)} | \ lambda |}$

Jos me Merkitään operaattorin normi mukaan , niin meillä on spektrin säde kaava tai Gelfand kaava: ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A^{k} \ |^{\ frac {1} {k}}.}$

Rajoitettua operaattoria (monimutkaisessa Hilbert -avaruudessa) kutsutaan spektraloidioperaattoriksi, jos sen spektrisäde on sama kuin sen numeerinen säde . Esimerkki tällaisesta operaattorista on tavallinen operaattori .

Kaaviot

Äärellisen kuvaajan spektrisäde määritellään sen vierekkäismatriisin spektrisädeksi .

Tämä määritelmä ulottuu äärettömiin kaavioihin, joilla on rajalliset kärkipisteet (eli on olemassa jokin reaaliluku C siten, että graafin jokaisen kärjen aste on pienempi kuin C ). Määritä tässä tapauksessa kuvaajalle G :

${\ displaystyle \ ell ^{2} (G) = \ left \ {f: V (G) \ to \ mathbf {R} \: \ sum \ nolimits _ {v \ in V (G)} \ left \ | f (v)^{2} \ oikea \ | <\ infty \ right \}.}$

Olkoon γ G : n vierekkäisyysoperaattori :

${\ displaystyle {\ begin {tapaukset} \ gamma: \ ell ^{2} (G) \ - \ ell ^{2} (G) \\ (\ gamma f) (v) = \ summa _ {(u, v) \ kohdassa E (G)} f (u) \ loppu {tapaukset}}$

Spektrin säde G on määritelty olevan spektrin säde rajoittuu lineaarinen operaattori γ .

Yläraja

Matriisin spektrisäteen ylärajat

Seuraava ehdotus esittää yksinkertaisen mutta hyödyllisen ylärajan matriisin spektrisäteelle:

Ehdotus. Olkoon A ∈ C ^{n × n} spektrisäteellä ρ ( A ) ja yhtenäinen matriisinormi || ⋅ || . Sitten kullekin kokonaisluvulle : ${\ displaystyle k \ geqslant 1}$

${\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A^{k} \ |^{\ frac {1} {k}}.}$

Todiste

Olkoon ( v , λ ) olla ominaisvektori - ominaisarvo parin matriisi . Matriisistandardin alikertoimen ominaisuuden avulla saamme:

${\ displaystyle | \ lambda |^{k} \ | \ mathbf {v} \ | = \ | \ lambda^{k} \ mathbf {v} \ | = \ | A^{k} \ mathbf {v} \ | \ leq \ | A^{k} \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |}$

ja koska v ≠ 0 meillä on

${\ displaystyle | \ lambda |^{k} \ leq \ | A^{k} \ |}$

ja siksi

${\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A^{k} \ |^{\ frac {1} {k}}.}$

Kaavion spektrisäteen ylärajat

On olemassa monia ylärajat spektrin säde kuvaajan suhteen sen määrä n pisteiden ja sen määrä m reunat. Esimerkiksi jos

${\ displaystyle {\ frac {(k-2) (k-3)} {2}} \ leq mn \ leq {\ frac {k (k-3)} {2}}}$

missä on siis kokonaisluku ${\ displaystyle 3 \ leq k \ leq n}$

${\ displaystyle \ rho (G) \ leq {\ sqrt {2m-n-k+{\ frac {5} {2}}+{\ sqrt {2m-2n+{\ frac {9} {4}}}}} }}$

Tehojärjestys

Lause

Spektrisäde liittyy läheisesti matriisin tehosekvenssin lähentymisen käyttäytymiseen; nimittäin seuraava lause pätee:

Lause. Olkoon A ∈ C ^{n × n} spektrisäteellä ρ ( A ) . Sitten ρ ( A ) <1 jos ja vain jos

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A^{k} = 0.}$

Toisaalta, jos ρ ( )> 1 , . Lauseke pätee mihin tahansa matriisinormin valintaan kohdassa C ^{n × n} .${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A^{k} \ | = \ infty}$

Todiste lauseesta

Jos oletetaan, että kyseinen raja on nolla, osoitamme, että ρ ( A ) <1 . Olkoon ( v , λ ) olla ominaisvektori - ominaisarvo parin . Koska A ^k v = λ ^k v meillä on:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} A^{k} \ right) \ mathbf {v} \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty } \ vasen (A ^{k} \ mathbf {v} \ oikea) \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^{k} \ mathbf {v} \\ & = \ mathbf {v } \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^{k} \ loppu {tasattu}}}$

ja koska hypoteesilla v ≠ 0 , meillä on oltava

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^{k} = 0}$

mikä tarkoittaa | λ | <1. Koska tämän täytyy olla totta kaikille ominaisarvoille λ, voimme päätellä ρ ( A ) <1.

Oletetaan nyt, että säde A on pienempi kuin 1 . Päässä Jordanin perusmuoto lause, tiedämme, että kaikilla ∈ C ^{n x n} , on olemassa V , J ∈ C ^{n x n} kanssa V ei-yksikkö ja J lohkodiagonaalimatrii- siten, että:

${\ displaystyle A = VJV^{-1}}$

kanssa

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} (\ lambda _ {s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}$

missä

${\ displaystyle J_ {m_ {i}} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {i} & 1 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i} & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} \ end {bmatrix}} \ in \ mathbf { C} ^{m_ {i} \ kertaa m_ {i}}, 1 \ leq i \ leq s.}$

Se on helppo nähdä

${\ displaystyle A^{k} = VJ^{k} V^{-1}}$

ja koska J on lohkon lävistäjä,

${\ displaystyle J^{k} = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}}^{k} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}}^{k } (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}}^{k} (\ lambda _ {s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}}^{k} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}$

Nyt Jordanin lohkon k -tehon vakiotulos sanoo, että : ${\ displaystyle m_ {i} \ kertaa m_ {i}}$${\ displaystyle k \ geq m_ {i} -1}$

${\ displaystyle J_ {m_ {i}}^{k} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i}^{k} & {k \ select 1} \ lambda _ { i}^{k-1} & {k \ select 2} \ lambda _ {i}^{k-2} & \ cdots & {k \ select m_ {i} -1} \ lambda _ {i}^{ k-m_ {i} +1} \\ 0 & \ lambda _ {i}^{k} & {k \ select 1} \ lambda _ {i}^{k-1} & \ cdots & {k \ select m_ {i} -2} \ lambda _ {i}^{k-m_ {i} +2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i }^{k} & {k \ select 1} \ lambda _ {i}^{k-1} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i}^{k} \ end {bmatrix}}}$

Siten, jos sitten kaikille i . Siksi kaikilla i meillä on: ${\ displaystyle \ rho (A) <1}$ ${\ displaystyle | \ lambda _ {i} | <1}$

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J_ {m_ {i}}^{k} = 0}$

mikä merkitsee

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J^{k} = 0.}$

Siksi,

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A^{k} = \ lim _ {k \ to \ infty} VJ^{k} V^{-1} = V \ vasen (\ lim _ {k \ to \ infty} J^{k} \ oikea) V^{-1} = 0}$

Toisaalta, jos J: ssä on ainakin yksi elementti, joka ei pysy rajoitettuna k: n kasvaessa, mikä todistaa lauseen toisen osan. ${\ displaystyle \ rho (A)> 1}$

Gelfandin kaava

Lause

Seuraava lause antaa spektrisäteen matriisistandardien rajana.

Lause (Gelfandin kaava; 1941). Mitä tahansa matriisistandardia || ⋅ ||, meillä on

${\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A^{k} \ right \ |^{\ frac {1} {k}}.}$.

Todiste

Jos ε > 0 , rakennamme ensin seuraavat kaksi matriisia:

${\ displaystyle A _ {\ pm} = {\ frac {1} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}} A.}$

Sitten:

${\ displaystyle \ rho \ left (A _ {\ pm} \ right) = {\ frac {\ rho (A)} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}}, \ qquad \ rho (A _ {+}) <1 <\ rho (A _ {-}).}$

Sovellamme ensin edellisen lauseen A ₊ : lle:

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A _ {+}^{k} = 0.}$

Tämä tarkoittaa, että sekvenssirajan määritelmän mukaan on olemassa N ₊ ∈ N siten, että kaikille k ≥ N ₊ ,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left \ | A _ {+}^{k} \ right \ | <1 \ end {aligned}}}$

niin

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left \ | A^{k} \ right \ |^{\ frac {1} {k}} <\ rho (A)+\ varepsilon. \ end {aligned}}}$

Edellisen lauseen soveltaminen A _- merkitsee, ettei ole rajoitettu ja on olemassa N _- ∈ N siten, että kaikille k ≥ N _- , ${\ displaystyle \ | A _ {-}^{k} \ |}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left \ | A _ {-}^{k} \ right \ |> 1 \ end {aligned}}}$

niin

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left \ | A^{k} \ right \ |^{\ frac {1} {k}}> \ rho (A)-\ varepsilon. \ end {aligned}}}$

Olkoon N = max { N ₊ , N _- }, niin meillä on:

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ olemassa N \ in \ mathbf {N} \ quad \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A)-\ varepsilon <\ left \ | A^{k} \ oikea \ |^{\ frac {1} {k}} <\ rho (A)+\ varepsilon}$

joka määritelmän mukaan on

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ vasen \ | A^{k} \ oikea \ |^{\ frac {1} {k}} = \ rho (A).}$

Gelfandin seuraukset

Gelfandin kaava johtaa suoraan rajaan, joka on äärettömän monen matriisin tulon spektrisäde, eli olettaen, että ne kaikki matkustavat

${\ displaystyle \ rho (A_ {1} \ cdots A_ {n}) \ leq \ rho (A_ {1}) \ cdots \ rho (A_ {n}).}$

Itse asiassa, jos normi on johdonmukainen , todisteet osoittavat enemmän kuin opinnäytetyö; itse asiassa, käyttämällä edellistä lemmaa, voimme korvata rajamäärittelyssä vasemman alarajan itse spektrisäteellä ja kirjoittaa tarkemmin:

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ olemassa N \ in \ mathbf {N}, \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) \ leq \ | A^{k} \ |^{\ frac { 1} {k}} <\ rho (A)+\ varepsilon}$

joka määritelmän mukaan on

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ vasen \ | A^{k} \ oikea \ |^{\ frac {1} {k}} = \ rho (A)^{+},}$

jossa + tarkoittaa, että rajaa lähestytään ylhäältä.

Esimerkki

Harkitse matriisia

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 9 & -1 & 2 \\-2 & 8 & 4 \\ 1 & 1 & 8 \ end {bmatrix}}}$

jonka ominaisarvot ovat 5, 10, 10 ; määritelmän mukaan ρ ( A ) = 10 . Seuraavassa taulukossa on lueteltu neljän eniten käytetyn normin arvot verrattuna useisiin k: n kasvaviin arvoihin (huomaa, että tämän matriisin erityismuodon vuoksi ): ${\ displaystyle \ | A^{k} \ |^{\ frac {1} {k}}}$${\ displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$

k	${\ displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$	${\ displaystyle \ |. \ | _ {F}}$	${\ displaystyle \ |. \ | _ {2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10,548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10,148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Huomautuksia ja viitteitä

Bibliografia

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Lineaariset operaattorit II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space , Interscience Publishers, Inc.
• Lax, Peter D. (2002), Functional Analysis , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

Katso myös

• Spektraalinen kuilu
• Yhteisen spektrin säde on yleistys spektrin säteen sarjaa matriiseja.
• Matriisin spektri
• Spektrinen abscissa