Radio espectral - Spectral radius

En matemáticas , el radio espectral de una matriz cuadrada o un operador lineal acotado es el valor absoluto más grande de sus valores propios (es decir, superior entre los valores absolutos de los elementos en su espectro ). A veces se denota por ρ (·).

Matrices

Sea λ ₁ , ..., λ _n los valores propios ( reales o complejos ) de una matriz A ∈ C ^{n × n} . Entonces su radio espectral ρ ( A ) se define como:

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ max \ left \ {| \ lambda _ {1} |, \ dotsc, | \ lambda _ {n} | \ right \}.}$

El radio espectral es una especie de mínimo de todas las normas de una matriz. De hecho, por un lado, para cada norma de matriz natural ; y por otro lado, la fórmula de Gelfand dice eso . Ambos resultados se muestran a continuación. ${\ Displaystyle \ rho (A) \ leqslant \ | A \ |}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ Displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {1 / k}}$

Sin embargo, el radio espectral no satisface necesariamente los vectores arbitrarios . Para ver por qué, seamos arbitrarios y consideremos la matriz ${\ Displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle r> 1}$

${\ displaystyle C_ {r} = {\ begin {pmatrix} 0 & r ^ {- 1} \\ r & 0 \ end {pmatrix}}}$.

El polinomio característico de es , por lo que sus valores propios son y por lo tanto . Sin embargo, . Como resultado, para cualquier norma, ${\ Displaystyle C_ {r}}$${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} -1}$${\ Displaystyle \ {- 1,1 \}}$${\ Displaystyle \ rho (C_ {r}) = 1}$${\ Displaystyle C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} = r \ mathbf {e} _ {2}}$${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$

${\ Displaystyle \ | C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} \ | = r> 1 = \ rho (C_ {r}) \ | \ mathbf {e} _ {1} \ |.}$

Como ilustración de la fórmula de Gelfand, tenga en cuenta que como , ya que si es par y si es impar. ${\ Displaystyle \ | C_ {r} ^ {k} \ | ^ {1 / k} \ to 1}$${\ Displaystyle k \ a \ infty}$${\ Displaystyle C_ {r} ^ {k} = I}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle C_ {r} ^ {k} = C_ {r}}$${\ Displaystyle k}$

Un caso especial en el que para todos es cuando es una matriz hermitiana y es la norma euclidiana . Esto se debe a que cualquier matriz hermitiana se puede diagonalizar mediante una matriz unitaria , y las matrices unitarias conservan la longitud del vector: ${\ Displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ Displaystyle \ | A \ mathbf {v} \ | = \ | U ^ {*} DU \ mathbf {v} \ | = \ | DU \ mathbf {v} \ | \ leqslant \ rho (A) \ | U \ mathbf {v} \ | = \ rho (A) \ | \ mathbf {v} \ |.}$

Operadores lineales acotados

Para un operador lineal acotado A en un espacio de Banach , los valores propios se reemplazan con el espectro del operador , aquellos valores para los cuales no son inyectables; Denotamos el espectro por ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle A- \ lambda I}$

${\ Displaystyle \ sigma (A) = \ left \ {\ lambda \ in \ mathbb {C}: \ ker (A- \ lambda I) \ neq \ emptyset \ right \}}$

El radio espectral se define entonces como el supremo de las magnitudes de los elementos en el espectro:

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ sup _ {\ lambda \ in \ sigma (A)} | \ lambda |}$

Si denotamos la norma del operador por , entonces tenemos la fórmula del radio espectral o la fórmula de Gelfand: ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$

Un operador acotado (en un espacio de Hilbert complejo) se denomina operador espectraloide si su radio espectral coincide con su radio numérico . Un ejemplo de tal operador es un operador normal .

Gráficos

El radio espectral de un gráfico finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia .

Esta definición se extiende al caso de gráficos infinitos con grados de vértices acotados (es decir, existe un número real C tal que el grado de cada vértice del gráfico es menor que C ). En este caso, para el gráfico G defina:

${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (G) = \ left \ {f: V (G) \ to \ mathbf {R} \: \ \ sum \ nolimits _ {v \ in V (G)} \ left \ | f (v) ^ {2} \ right \ | <\ infty \ right \}.}$

Sea γ el operador de adyacencia de G :

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ gamma: \ ell ^ {2} (G) \ to \ ell ^ {2} (G) \\ (\ gamma f) (v) = \ sum _ {(u, v) \ in E (G)} f (u) \ end {cases}}}$

El radio espectral de G se define como el radio espectral del operador lineal acotado γ .

Límite superior

Límites superiores del radio espectral de una matriz

La siguiente proposición muestra un límite superior simple pero útil para el radio espectral de una matriz:

Proposición. Sea A ∈ C ^{n × n} con radio espectral ρ ( A ) y una norma de matriz consistente || ⋅ || . Luego, para cada entero : ${\ Displaystyle k \ geqslant 1}$

${\ Displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$

Prueba

Let ( v , λ ) ser un vector propio - valor propio par para una matriz A . Por la propiedad sub-multiplicativa de la norma matricial, obtenemos:

${\ Displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ | \ mathbf {v} \ | = \ | \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \ | = \ | A ^ {k} \ mathbf {v} \ | \ leq \ | A ^ {k} \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |}$

y como v ≠ 0 tenemos

${\ Displaystyle | \ lambda | ^ {k} \ leq \ | A ^ {k} \ |}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$

Límites superiores del radio espectral de un gráfico

Hay muchos límites superiores para el radio espectral de un gráfico en términos de su número n de vértices y su número m de aristas. Por ejemplo, si

${\ Displaystyle {\ frac {(k-2) (k-3)} {2}} \ leq mn \ leq {\ frac {k (k-3)} {2}}}$

donde es un entero, entonces ${\ Displaystyle 3 \ leq k \ leq n}$

${\ Displaystyle \ rho (G) \ leq {\ sqrt {2m-n-k + {\ frac {5} {2}} + {\ sqrt {2m-2n + {\ frac {9} {4}}}}} }}$

Secuencia de potencia

Teorema

El radio espectral está íntimamente relacionado con el comportamiento de la convergencia de la secuencia de potencia de una matriz; es decir, se cumple el siguiente teorema:

Teorema. Sea A ∈ C ^{n × n} con radio espectral ρ ( A ) . Entonces ρ ( A ) <1 si y solo si

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = 0.}$

Por otro lado, si ρ ( A )> 1 , . La declaración es válida para cualquier elección de norma matricial en C ^{n × n} .${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ | A ^ {k} \ | = \ infty}$

Prueba del teorema

Suponga que el límite en cuestión es cero, mostraremos que ρ ( A ) <1 . Dejar que ( v , λ ) es un vector propio - valor propio par para una . Dado que A ^k v = λ ^k v tenemos:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 0 & = \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} \ right) \ mathbf {v} \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty } \ left (A ^ {k} \ mathbf {v} \ right) \\ & = \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ mathbf {v} \\ & = \ mathbf {v } \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} \ end {alineado}}}$

y, dado que por hipótesis v ≠ 0 , debemos tener

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ lambda ^ {k} = 0}$

lo que implica | λ | <1. Dado que esto debe ser cierto para cualquier valor propio λ, podemos concluir que ρ ( A ) <1.

Ahora suponga que el radio de A es menor que 1 . A partir del teorema de la forma normal de Jordan , sabemos que para todo A ∈ C ^{n × n} , existen V , J ∈ C ^{n × n} con V no singular y J diagonal de bloque tal que:

${\ Displaystyle A = VJV ^ {- 1}}$

con

${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} (\ lambda _ {s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}$

donde

${\ displaystyle J_ {m_ {i}} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {i} & 1 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i} & 1 \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} \ end {bmatrix}} \ in \ mathbf { C} ^ {m_ {i} \ times m_ {i}}, 1 \ leq i \ leq s.}$

Es fácil ver eso

${\ Displaystyle A ^ {k} = VJ ^ {k} V ^ {- 1}}$

y, dado que J es diagonal en bloque,

${\ displaystyle J ^ {k} = {\ begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} ^ {k} (\ lambda _ {1}) & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & J_ {m_ {2}} ^ {k } (\ lambda _ {2}) & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ cdots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} ^ {k} (\ lambda _ {s-1}) & 0 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & J_ {m_ {s}} ^ {k} (\ lambda _ {s}) \ end {bmatrix}}}$

Ahora, un resultado estándar en la potencia k de un bloque de Jordan establece que, para : ${\ Displaystyle m_ {i} \ times m_ {i}}$${\ Displaystyle k \ geq m_ {i} -1}$

${\ Displaystyle J_ {m_ {i}} ^ {k} (\ lambda _ {i}) = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ choose 1} \ lambda _ { i} ^ {k-1} & {k \ elija 2} \ lambda _ {i} ^ {k-2} & \ cdots & {k \ elija m_ {i} -1} \ lambda _ {i} ^ { k-m_ {i} +1} \\ 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} & {k \ elija 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} & \ cdots & {k \ elija m_ {i} -2} \ lambda _ {i} ^ {k-m_ {i} +2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {i } ^ {k} & {k \ elija 1} \ lambda _ {i} ^ {k-1} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ lambda _ {i} ^ {k} \ end {bmatrix}}}$

Por lo tanto, si entonces para todo i . Por lo tanto para todos i tenemos: ${\ Displaystyle \ rho (A) <1}$ ${\ Displaystyle | \ lambda _ {i} | <1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J_ {m_ {i}} ^ {k} = 0}$

lo que implica

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} = 0.}$

Por lo tanto,

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A ^ {k} = \ lim _ {k \ to \ infty} VJ ^ {k} V ^ {- 1} = V \ left (\ lim _ {k \ to \ infty} J ^ {k} \ right) V ^ {- 1} = 0}$

Por otro lado, si , hay al menos un elemento en J que no permanece acotado a medida que k aumenta, lo que demuestra la segunda parte de la declaración. ${\ Displaystyle \ rho (A)> 1}$

Fórmula de Gelfand

Teorema

El siguiente teorema da el radio espectral como límite de las normas matriciales.

Teorema (fórmula de Gelfand; 1941). Para cualquier norma matricial || ⋅ ||, tenemos

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}}.}$.

Prueba

Para cualquier ε > 0 , primero construimos las siguientes dos matrices:

${\ Displaystyle A _ {\ pm} = {\ frac {1} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}} A.}$

Luego:

${\ Displaystyle \ rho \ left (A _ {\ pm} \ right) = {\ frac {\ rho (A)} {\ rho (A) \ pm \ varepsilon}}, \ qquad \ rho (A _ {+}) <1 <\ rho (A _ {-}).}$

Primero aplicamos el teorema anterior a A ₊ :

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} A _ {+} ^ {k} = 0.}$

Eso significa que, según la definición del límite de secuencia, existe N ₊ ∈ N tal que para todo k ≥ N ₊ ,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ | A _ {+} ^ {k} \ right \ | <1 \ end {alineado}}}$

asi que

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon. \ end {alineado}}}$

Aplicar el teorema anterior a A _- implica que no está acotado y existe N _- ∈ N tal que para todo k ≥ N _- , ${\ Displaystyle \ | A _ {-} ^ {k} \ |}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ | A _ {-} ^ {k} \ right \ |> 1 \ end {alineado}}}$

asi que

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}}> \ rho (A) - \ varepsilon. \ end {alineado}}}$

Sea N = max { N ₊ , N _- }, entonces tenemos:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ existe N \ in \ mathbf {N} \ quad \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) - \ varepsilon <\ left \ | A ^ {k} \ derecha \ | ^ {\ frac {1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon}$

que, por definición, es

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} = \ rho (A).}$

Corolarios Gelfand

La fórmula de Gelfand conduce directamente a un límite en el radio espectral de un producto de un número finito de matrices, es decir, suponiendo que todas conmutan obtenemos

${\ Displaystyle \ rho (A_ {1} \ cdots A_ {n}) \ leq \ rho (A_ {1}) \ cdots \ rho (A_ {n}).}$

En realidad, en caso de que la norma sea consistente , la prueba muestra más que la tesis; de hecho, usando el lema anterior, podemos reemplazar en la definición del límite el límite inferior izquierdo con el radio espectral mismo y escribir con mayor precisión:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ existe N \ in \ mathbf {N}, \ forall k \ geq N \ quad \ rho (A) \ leq \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac { 1} {k}} <\ rho (A) + \ varepsilon}$

que, por definición, es

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ left \ | A ^ {k} \ right \ | ^ {\ frac {1} {k}} = \ rho (A) ^ {+},}$

donde el + significa que el límite se aproxima desde arriba.

Ejemplo

Considere la matriz

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 9 & -1 & 2 \\ - 2 & 8 & 4 \\ 1 & 1 & 8 \ end {bmatrix}}}$

cuyos valores propios son 5, 10, 10 ; por definición, ρ ( A ) = 10 . En la siguiente tabla, se enumeran los valores de para las cuatro normas más utilizadas frente a varios valores crecientes de k (tenga en cuenta que, debido a la forma particular de esta matriz, ): ${\ Displaystyle \ | A ^ {k} \ | ^ {\ frac {1} {k}}}$${\ Displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$

k	${\ Displaystyle \ |. \ | _ {1} = \ |. \ | _ {\ infty}}$	${\ Displaystyle \ |. \ | _ {F}}$	${\ Displaystyle \ |. \ | _ {2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11,934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10,921242235	10.351918183
${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$	${\ Displaystyle \ vdots}$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

notas y referencias

Bibliografía

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Operadores lineales II. Teoría espectral: operadores autoadjuntos en Hilbert Space , Interscience Publishers, Inc.
• Lax, Peter D. (2002), Análisis funcional , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

Ver también

• Brecha espectral
• El radio espectral conjunto es una generalización del radio espectral a conjuntos de matrices.
• Espectro de una matriz
• Abscisa espectral