Multiplikativt lukket sett - Multiplicatively closed set

I abstrakt algebra er et multiplikativt lukket sett (eller multiplikasjonssett ) et delsett S av en ring R slik at følgende to forhold gjelder:

• 1 ∈ S .
• For alle x og y i S , produktet xy er i S .

Med andre ord, S er lukket i henhold tar endelige produkter, herunder tom produkt 1. På ekvivalent måte er en multiplikativ sett en submonoid av det multiplikative monoid av en ring.

Multiplikasjonssett er viktige, spesielt i kommutativ algebra , der de brukes til å bygge lokaliseringer av kommutative ringer.

En undergruppe S av en ring R er kalt mettet når det er lukket i henhold tar divisorene : det vil si, når et produkt xy er i S , elementene x og y er i S også.

eksempler

Vanlige eksempler på multiplikasjonssett inkluderer:

• det set-teoretisk komplement av en førsteklasses ideelt i en kommutativ ring;
• settet {1, x , x ² , x ³ , ...} , der x er et element i en ring;
• settet med enheter av en ring;
• settet med ikke-nulldelere i en ring;
• 1 + jeg   for et ideelt jeg .

Eiendommer

• En ideell P for en kommutasjonsring R er førsteklasses hvis og bare hvis komplementet R ∖ P er multiplikativt lukket.
• En undergruppe S er både mettet og multiplikativt lukket hvis og bare hvis S er komplementet til en forening av fremste idealer. Spesielt er komplementet til et hovedideal både mettet og multiplikativt lukket.
• Skjæringspunktet mellom en familie med multiplikasjonssett er et multiplikasjonssett.
• Skjæringspunktet mellom en familie av mettede sett er mettet.

Se også

• Lokalisering av en ring
• Høyre nevner sett

Merknader

referanser

• MF Atiyah og IG Macdonald , Introduction to commutative algebra , Addison-Wesley, 1969.
• David Eisenbud , kommutativ algebra med tanke på algebraisk geometri , Springer, 1995.
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised ed.), University of Chicago Press , MR  0345945
• Serge Lang , Algebra 3. utg., Springer, 2002.