Eroare matematică - Mathematical fallacy

În matematică , anumite tipuri de dovezi greșite sunt adesea expuse și uneori colectate, ca ilustrații ale unui concept numit eroare matematică . Există o distincție între o simplă greșeală și o eroare matematică într-o dovadă, prin aceea că o greșeală într-o dovadă duce la o dovadă nevalidă, în timp ce în cele mai cunoscute exemple de erori matematice există un element de ascundere sau înșelăciune în prezentarea dovada.

De exemplu, motivul pentru care validitatea eșuează poate fi atribuit unei diviziuni cu zero care este ascunsă prin notație algebrică. Există o anumită calitate a erorilor matematice: așa cum este prezentat în mod obișnuit, aceasta conduce nu numai la un rezultat absurd, ci o face într-un mod viclean sau inteligent. Prin urmare, aceste erori, din motive pedagogice, iau de obicei forma unor dovezi false de contradicții evidente . Deși dovezile sunt eronate, erorile, de obicei prin proiectare, sunt comparativ subtile sau concepute pentru a arăta că anumite etape sunt condiționate și nu sunt aplicabile în cazurile care fac excepții de la reguli.

Modul tradițional de a prezenta o eroare matematică este de a da un pas invalid de deducere amestecat cu pași valizi, astfel încât semnificația erorii este aici ușor diferită de eroarea logică . Acesta din urmă se aplică de obicei unei forme de argument care nu respectă regulile de inferență valabile ale logicii, în timp ce pasul matematic problematic este de obicei o regulă corectă aplicată cu o presupunere greșită tacită. Dincolo de pedagogie, rezoluția unei erori poate duce la cunoștințe mai profunde asupra unui subiect (de exemplu, introducerea axiomei lui Pasch de geometrie euclidiană , teorema celor cinci culori a teoriei graficelor ). Pseudaria , o carte veche pierdută de dovezi false, este atribuită lui Euclid .

Erori matematice există în multe ramuri ale matematicii. În algebra elementară , exemplele tipice pot implica o etapă în care se realizează împărțirea cu zero , unde o rădăcină este extrasă incorect sau, mai general, în care sunt echivalate diferite valori ale unei funcții cu valori multiple . Binecunoscute erori există și în geometria și calculul euclidian elementar .

Urletele

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \; \; \; {\ dfrac {d} {dx}} {\ dfrac {1} {x}} \\ = {\ dfrac {d} {d} } {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \\ = {\ dfrac {d \! \! \! \ backslash} {d \! \! \! \ backslash}} {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \\ = - {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \ end {array}}}$


Anulare anormală
în calcul

Există exemple de rezultate corecte matematic derivate de linii incorecte de raționament. Un astfel de argument, oricât de adevărat ar fi concluzia, este matematic invalid și este cunoscut în mod obișnuit ca un urlător . Următorul este un exemplu de urlet care implică anulare anormală :

${\ displaystyle {\ frac {16} {64}} = {\ frac {16 \! \! \! /} {6 \! \! \! / 4}} = {\ frac {1} {4}} .}$

Aici, deși concluzia 16/64 = 1/4este corect, există o anulare falsă, nevalidă în pasul din mijloc. Un alt exemplu clasic de urlător demonstrează teorema Cayley-Hamilton prin simpla substituire a variabilelor scalare ale polinomului caracteristic cu matricea.

Dovezi false, calcule sau derivări construite pentru a produce un rezultat corect în ciuda logicii sau operațiilor incorecte au fost denumite „urlătoare” de Maxwell. În afara domeniului matematicii, termenul urlător are diferite semnificații, în general mai puțin specifice.

Impartirea cu zero

Eroarea diviziune-de-zero , are mai multe variante. Următorul exemplu folosește o divizare deghizată cu zero pentru a „demonstra” că 2 = 1, dar poate fi modificată pentru a demonstra că orice număr este egal cu orice alt număr.

1. Fie a și b cantități egale, diferite de zero

   ${\ displaystyle a = b}$

2. Înmulțiți cu un

   ${\ displaystyle a ^ {2} = ab}$

3. Scădeți b ²

   ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = ab-b ^ {2}}$

4. Factorizați ambele părți: factorii din stânga ca diferență de pătrate , dreapta este luată în calcul prin extragerea lui b din ambii termeni

   ${\ displaystyle (ab) (a + b) = b (ab)}$

5. Împarte ( a - b )

   ${\ displaystyle a + b = b}$

6. Observând că a = b

   ${\ displaystyle b + b = b}$

7. Combinați termeni asemănători în stânga

   ${\ displaystyle 2b = b}$

8. Împărțiți cu b diferit de zero

   ${\ displaystyle 2 = 1}$

QED

Eroarea este în linia 5: progresia de la linia 4 la linia 5 implică împărțirea cu a  -  b , care este zero, deoarece a  =  b . Deoarece diviziunea cu zero este nedefinită, argumentul este nevalid.

Analiză

Analiza matematică ca studiu matematic al schimbării și limitelor poate duce la erori matematice - dacă proprietățile integralelor și diferențialelor sunt ignorate. De exemplu, o utilizare naivă a integrării de către părți poate fi utilizată pentru a da o dovadă falsă că 0 = 1. Letting u  = 1/jurnalul xși dv  = dx/X, putem scrie:

${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx = 1 + \ int {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx}$

după care antiderivativele pot fi anulate rezultând 0 = 1. Problema este că antiderivativele sunt definite doar până la o constantă și schimbându-le cu 1 sau într-adevăr este permis orice număr. Eroarea iese la iveală atunci când introducem limite de integrare arbitrare a și b .

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx = 1 | _ {a} ^ {b} + \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {x \, \ log x}} \, dx = 0 + \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {x \ log x}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {x \ log x}} \, dx}$

Deoarece diferența dintre două valori ale unei funcții constante dispare, aceeași integrală definită apare pe ambele părți ale ecuației.

Funcții cu mai multe valori

Multe funcții nu au un invers unic . De exemplu, în timp ce pătratul unui număr oferă o valoare unică, există două rădăcini pătrate posibile ale unui număr pozitiv. Rădăcina pătrată este multivalorată . O valoare poate fi aleasă prin convenție ca valoare principală ; în cazul rădăcinii pătrate valoarea non-negativă este valoarea principală, dar nu există nicio garanție că rădăcina pătrată dată ca valoare principală a pătratului unui număr va fi egală cu numărul inițial (de exemplu rădăcina pătrată principală din pătratul lui −2 este 2). Acest lucru rămâne valabil pentru rădăcinile a n-a .

Rădăcini pozitive și negative

Trebuie avut grijă atunci când se ia rădăcina pătrată a ambelor părți ale unei egalități . În caz contrar, rezultă o „dovadă” de 5 = 4.

Dovadă:

Începe de la

${\ displaystyle -20 = -20}$

Scrie acest lucru ca

${\ displaystyle 25-45 = 16-36}$

Rescrieți ca

${\ displaystyle 5 ^ {2} -5 \ times 9 = 4 ^ {2} -4 \ times 9}$

Adăuga 81/4 de ambele părți:

${\ displaystyle 5 ^ {2} -5 \ times 9 + {\ frac {81} {4}} = 4 ^ {2} -4 \ times 9 + {\ frac {81} {4}}}$

Acestea sunt pătrate perfecte:

${\ displaystyle \ left (5 - {\ frac {9} {2}} \ right) ^ {2} = \ left (4 - {\ frac {9} {2}} \ right) ^ {2}}$

Luați rădăcina pătrată a ambelor părți:

${\ displaystyle 5 - {\ frac {9} {2}} = 4 - {\ frac {9} {2}}}$

Adăuga 9/2 de ambele părți:

${\ displaystyle 5 = 4}$

QED

Eroarea se află în a doua până la ultima linie, unde se ia rădăcina pătrată a ambelor părți: a ²  =  b ² implică doar a  =  b dacă a și b au același semn, ceea ce nu este cazul aici. În acest caz, implică faptul că a  = - b , deci ecuația ar trebui să citească

${\ displaystyle 5 - {\ frac {9} {2}} = - \ left (4 - {\ frac {9} {2}} \ right)}$

care, prin adăugare 9/2 pe ambele părți, se reduce corect la 5 = 5.

Un alt exemplu care ilustrează pericolul de a lua rădăcina pătrată a ambelor părți ale unei ecuații implică următoarea identitate fundamentală

${\ displaystyle \ cos ^ {2} x = 1- \ sin ^ {2} x}$

care se ține ca o consecință a teoremei lui Pitagora . Apoi, luând o rădăcină pătrată,

${\ displaystyle \ cos x = {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} x}}}$

Evaluând acest lucru când x  =  π , obținem acest lucru

${\ displaystyle -1 = {\ sqrt {1-0}}}$

sau

${\ displaystyle -1 = 1}$

ceea ce este incorect.

Eroarea din fiecare dintre aceste exemple constă fundamental în faptul că orice ecuație a formei

${\ displaystyle x ^ {2} = a ^ {2}}$

unde are două soluții: ${\ displaystyle a \ neq 0}$

${\ displaystyle x = \ pm a}$

și este esențial să verificați care dintre aceste soluții este relevantă pentru problema în cauză. În eroarea de mai sus, rădăcina pătrată care a permis deducerea celei de-a doua ecuații din prima este valabilă numai atunci când cos  x este pozitiv. În special, când x este setat la π , a doua ecuație este invalidată.

Rădăcini pătrate ale numerelor negative

Dovezile nevalide care utilizează puteri și rădăcini sunt adesea de următorul tip:

${\ displaystyle 1 = {\ sqrt {1}} = {\ sqrt {(-1) (- 1)}} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} = i \ cdot i = -1.}$

Eroarea este că regula este, în general, valabilă numai dacă este cel puțin una dintre și este negativă (atunci când este vorba de numere reale), ceea ce nu este cazul aici. ${\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Alternativ, rădăcinile imaginare sunt ofensive în următoarele:

${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}} = \ left (-1 \ right) ^ {\ frac {2} {4}} = \ left (\ left (-1 \ right) ^ {2} \ dreapta) ^ {\ frac {1} {4}} = 1 ^ {\ frac {1} {4}} = 1}$

Eroarea se află aici în cea de-a treia egalitate, deoarece regula se aplică doar pentru pozitivul real a și realul b , c . ${\ displaystyle a ^ {bc} = (a ^ {b}) ^ {c}}$

Exponenți complecși

Când un număr este ridicat la o putere complexă, rezultatul nu este definit în mod unic (vezi Eșecul puterii și identităților logaritmice ). Dacă această proprietate nu este recunoscută, atunci pot rezulta erori precum următoarele:

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {2 \ pi i} & = 1 \\\ left (e ^ {2 \ pi i} \ right) ^ {i} & = 1 ^ {i} \\ e ^ {- 2 \ pi} & = 1 \\\ end {align}}}$

Eroarea aici este că regula multiplicării exponenților ca atunci când mergeți la a treia linie nu se aplică nemodificată cu exponenți complecși, chiar dacă la punerea ambelor părți la putere i se alege doar valoarea principală. Când sunt tratate ca funcții cu mai multe valori, ambele părți produc același set de valori, fiind { e ^{2 π n} | n ∈ ℤ} .

Geometrie

Multe erori matematice în geometrie apar din utilizarea unei egalități aditive care implică mărimi orientate (cum ar fi adăugarea de vectori de-a lungul unei linii date sau adăugarea de unghiuri orientate în plan) la o identitate validă, dar care fixează doar valoarea absolută a (uneia dintre) aceste mărimi . Această cantitate este apoi încorporată în ecuația cu orientarea greșită, astfel încât să producă o concluzie absurdă. Această orientare greșită este de obicei sugerată implicit prin furnizarea unei diagrame imprecise a situației, în care pozițiile relative ale punctelor sau liniilor sunt alese într-un mod care este de fapt imposibil sub ipotezele argumentului, dar, în mod evident, nu.

În general, o astfel de eroare este ușor de expus desenând o imagine precisă a situației, în care unele poziții relative vor fi diferite de cele din diagrama furnizată. Pentru a evita astfel de erori, un argument geometric corect care utilizează adunarea sau scăderea distanțelor sau a unghiurilor ar trebui să demonstreze întotdeauna că mărimile sunt încorporate cu orientarea lor corectă.

Eroarea triunghiului isoscel

Eroarea triunghiului isoscel, din ( Maxwell 1959 , capitolul II, § 1), pretinde a arăta că fiecare triunghi este isoscel , ceea ce înseamnă că două laturi ale triunghiului sunt congruente . Această eroare a fost atribuită lui Lewis Carroll .

Dat fiind un triunghi △ ABC, demonstrați că AB = AC:

1. Desenați o linie care bisectează ∠A.
2. Desenați bisectoarea perpendiculară a segmentului BC, care bisectează BC într-un punct D.
3. Să se întâlnească aceste două linii într-un punct O.
4. Trageți linia SAU perpendiculară pe AB, dreapta OQ perpendiculară pe AC.
5. Desenați liniile OB și OC.
6. Prin AAS , △ RAO ≅ △ QAO (∠ORA = ∠OQA = 90 °; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (partea comună)).
7. Prin RHS , △ ROB ≅ △ QOC (∠BRO = ∠CQO = 90 °; BO = OC (hipotenuză); RO = OQ (picior)).
8. Astfel, AR = AQ, RB = QC și AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

QED

Ca corolar, se poate arăta că toate triunghiurile sunt echilaterale, arătând că AB = BC și AC = BC în același mod.

Eroarea din dovadă este presupunerea din diagramă că punctul O se află în interiorul triunghiului. De fapt, O se află întotdeauna la circumferința △ ABC (cu excepția triunghiurilor isoscel și echilaterale în care AO și OD coincid). Mai mult, se poate arăta că, dacă AB este mai lung decât AC, atunci R va fi în interiorul AB, în timp ce Q va fi în afara AC și invers (de fapt, orice diagramă desenată cu instrumente suficient de precise va verifica cele două fapte de mai sus ). Din această cauză, AB este încă AR + RB, dar AC este de fapt AQ - QC; și astfel lungimile nu sunt neapărat aceleași.

Dovadă prin inducție

Există mai multe dovezi eronate prin inducție în care una dintre componente, caz de bază sau pas inductiv, este incorectă. Intuitiv, dovezile prin inducție funcționează argumentând că, dacă o afirmație este adevărată într-un caz, este adevărată în cazul următor și, prin urmare, aplicând în mod repetat acest lucru, se poate demonstra că este adevărat pentru toate cazurile. Următoarea „dovadă” arată că toți caii au aceeași culoare .

1. Să spunem că orice grup de N cai este de aceeași culoare.
2. Dacă scoatem un cal din grup, avem un grup de N  - 1 cai de aceeași culoare. Dacă adăugăm un alt cal, avem un alt grup de N cai. Prin presupunerea noastră anterioară, toți caii au aceeași culoare în acest nou grup, deoarece este un grup de N cai.
3. Astfel, am construit două grupuri de N cai, de aceeași culoare, cu N  - 1 cai în comun. Deoarece aceste două grupuri au niște cai în comun, cele două grupuri trebuie să aibă aceeași culoare una cu cealaltă.
4. Prin urmare, combinând toți caii folosiți, avem un grup de  cai N + 1 de aceeași culoare.
5. Astfel, dacă oricare N cai au toate aceeași culoare, orice N  + 1 cai au aceeași culoare.
6. Acest lucru este valabil în mod clar pentru N  = 1 (adică un cal este un grup în care toți caii au aceeași culoare). Astfel, prin inducție, N caii sunt de aceeași culoare pentru orice întreg pozitiv N . adică toți caii au aceeași culoare.

Eșecul acestei dovezi apare în linia 3. Pentru N  = 1, cele două grupuri de cai au N  - 1 = 0 cai în comun și, prin urmare, nu sunt neapărat aceeași culoare una cu cealaltă, deci grupul lui N  + 1 = 2 cai nu sunt neapărat toți de aceeași culoare. Implicația „fiecare N cai are aceeași culoare, apoi N  + 1 cai au aceeași culoare” funcționează pentru orice N  > 1, dar nu reușește să fie adevărat atunci când N  = 1. Cazul de bază este corect, dar etapa de inducție are un defect fundamental.

Vezi si

• Anulare anormală  - Tip de eroare aritmetică
• Împărțirea la zero  - Clasa de expresie matematică
• Lista dovezilor incomplete  - articolul din lista Wikipedia
• Coincidență matematică  - Coincidență în matematică
• Paradox  - Afirmație care aparent se contrazice
• Dovadă prin intimidare  - Metodă de a convinge pe cineva folosind jargonul sau revendicându-l ca fiind clar

Note

Referințe

linkuri externe

• Dovezi nevalide la Cut-the-nod (inclusiv referințe din literatură)
• Erori clasice cu o discuție
• Mai multe dovezi nevalide de la AhaJokes.com
• Glume matematice, inclusiv o dovadă nevalidă