Matricea triunghiulară - Triangular matrix

În disciplina matematică a algebrei liniare , o matrice triunghiulară este un tip special de matrice pătrată . Se numește o matrice pătrată mai mici triunghiular în cazultoate intrărilemai susdiagonala principalăsunt zero. În mod similar, se numește o matrice pătratătriunghiulară superioară dacă toate intrărilemai josdiagonala principalăsunt zero.

Deoarece ecuațiile matriciale cu matrici triunghiulare sunt mai ușor de rezolvat, ele sunt foarte importante în analiza numerică . Prin algoritmul de descompunere a LU , o matrice inversabilă poate fi scrisă ca produs al unei matrice triunghiulare inferioare L și a unei matrice triunghiulare superioare U dacă și numai dacă toți principalii săi minori principali sunt diferiți de zero.

Descriere

O matrice a formei

${\ displaystyle L = {\ begin {bmatrix} \ ell _ {1,1} &&&& 0 \\\ ell _ {2,1} & \ ell _ {2,2} &&& \\\ ell _ {3,1} & \ ell _ {3,2} & \ ddots && \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \\\ ell _ {n, 1} & \ ell _ {n, 2} & \ ldots & \ ell _ {n, n-1} & \ ell _ {n, n} \ end {bmatrix}}}$

se numește matrice triunghiulară inferioară sau matrice triunghiulară stângă și, în mod analog, matrice a formei

${\ displaystyle U = {\ begin {bmatrix} u_ {1,1} & u_ {1,2} & u_ {1,3} & \ ldots & u_ {1, n} \\ & u_ {2,2} & u_ {2, 3} & \ ldots & u_ {2, n} \\ && \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ &&& \ ddots & u_ {n-1, n} \\ 0 &&&&&_ {n, n} \ end {bmatrix}}}$

se numește matrice triunghiulară superioară sau matrice triunghiulară dreaptă . O matrice inferioară sau stânga triunghiulară este de obicei notată cu variabila L , și o matrice triunghiulară superior sau din dreapta este de obicei notată cu variabila U sau R .

O matrice triunghiulară superioară și inferioară este diagonală . Matricile similare matricilor triunghiulare se numesc triunghiularizabile .

O matrice non-pătrată (sau uneori oricare) cu zerouri deasupra (dedesubt) diagonalei se numește matrice trapezoidală inferioară (superioară). Intrările diferite de zero formează forma unui trapez .

Exemple

Această matrice

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 0 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}}$

este triunghiular superior și această matrice

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 4 & 9 & 7 \\\ end {bmatrix}}}$

este triunghiular inferior.

Înlocuire înainte și înapoi

O ecuație matricială în formă sau este foarte ușor de rezolvat printr-un proces iterativ numit substituție directă pentru matrici triunghiulare inferioare și în mod analog substituție înapoi pentru matrice triunghiulare superioare. Procesul este numit astfel deoarece pentru matrici inferioare triunghiulare, o prima calculeaza , apoi inlocuitori care transmite in urmatoarea ecuație pentru a rezolva , și repetă până la . Într-o matrice triunghiulară superioară, se lucrează înapoi, calculând mai întâi , apoi înlocuind-o înapoi în ecuația anterioară pentru rezolvare și repetând . ${\ displaystyle L \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$${\ displaystyle U \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n-1}}$${\ displaystyle x_ {1}}$

Observați că acest lucru nu necesită inversarea matricei.

Înlocuirea înainte

Ecuația matricei L x = b poate fi scrisă ca un sistem de ecuații liniare

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ ell _ {1,1} x_ {1} &&&&&&& = & b_ {1} \\\ ell _ {2,1} x_ {1} & + & \ ell _ {2, 2} x_ {2} &&&&& = & b_ {2} \\\ vdots && \ vdots && \ ddots &&&& \ vdots \\\ ell _ {m, 1} x_ {1} & + & \ ell _ {m, 2} x_ {2} & + & \ dotsb & + & \ ell _ {m, m} x_ {m} & = & b_ {m} \\\ end {matrix}}}$

Observați că prima ecuație ( ) implică doar și astfel se poate rezolva direct. A doua ecuație implică doar și , și astfel poate fi rezolvată odată ce se substituie valoarea deja rezolvată pentru . Continuând în acest fel, ecuația-a implică doar și se poate rezolva pentru utilizarea valorilor rezolvate anterior pentru . ${\ displaystyle \ ell _ {1,1} x_ {1} = b_ {1}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}}$${\ displaystyle x_ {k}}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k-1}}$

Formulele rezultate sunt:

${\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = {\ frac {b_ {1}} {\ ell _ {1,1}}}, \\ x_ {2} & = {\ frac {b_ { 2} - \ ell _ {2,1} x_ {1}} {\ ell _ {2,2}}}, \\ & \ \ \ vdots \\ x_ {m} & = {\ frac {b_ {m } - \ sum _ {i = 1} ^ {m-1} \ ell _ {m, i} x_ {i}} {\ ell _ {m, m}}}. \ end {align}}}$

O ecuație matricială cu o matrice triunghiulară superioară U poate fi rezolvată într-un mod analog, lucrând doar înapoi.

Aplicații

Înlocuirea forward este utilizată în bootstrapping-ul financiar pentru a construi o curbă a randamentului .

Proprietăți

Transpusa unei matrice superior triunghiulară este o matrice triunghiulară inferioară și invers.

O matrice simetrică și triunghiulară este diagonală. Într-un mod similar, o matrice care este atât normală (adică A ^* A = AA ^* , unde A ^* este transpunerea conjugată ), cât și triunghiulară este, de asemenea, diagonală. Acest lucru poate fi văzut uitându-se la intrările diagonale ale A ^* A și AA ^* .

Determinant și permanentă a unei matrice triunghiulare egală cu produsul dintre intrările diagonale pot fi verificate prin calcul direct.

De fapt, mai mult este adevărat: valorile proprii ale unei matrice triunghiulare sunt exact intrările sale diagonale. Mai mult, fiecare eigenvalue are loc exact k ori pe diagonală, unde k este sa multiplicitate algebrică , adică, ei multiplicitate ca rădăcină al polinomului caracteristic al A . Cu alte cuvinte, polinomul caracteristic al unei matrice triunghiulare n × n A este exact ${\ displaystyle p_ {A} (x) = \ det (xI-A)}$

${\ displaystyle p_ {A} (x) = (x-a_ {11}) (x-a_ {22}) \ cdots (x-a_ {nn})}$,

adică gradul unic n polinom ale cărui rădăcini sunt intrările diagonale ale lui A (cu multiplicități). Pentru a vedea acest lucru, observați că este și triunghiular și, prin urmare, determinantul său este produsul intrărilor sale diagonale . ${\ displaystyle xI-A}$${\ displaystyle \ det (xI-A)}$${\ displaystyle (x-a_ {11}) (x-a_ {22}) \ cdots (x-a_ {nn})}$

Forme speciale

Matricea unitriangulară

Dacă intrările de pe diagonala principală a unei matrice triunghiulare (superioare sau inferioare) sunt toate 1, matricea se numește (superioară sau inferioară) unitară .

Alte nume folosite pentru aceste matrici sunt unitate (superior sau inferior) triunghiulare , sau foarte rar normat (superior sau inferior) triunghiulare . Cu toate acestea, o matrice triunghiulară unitară nu este aceeași cu matricea unitară , iar o matrice triunghiulară normată nu are nimic de-a face cu noțiunea de normă matricială .

Toate matricile unitriangulare finite sunt unipotente .

Matricea strict triunghiulară

Dacă toate intrările de pe diagonala principală a unei matrice triunghiulare (superioară sau inferioară) sunt de asemenea 0, matricea se numește strict triunghiulară (superioară sau inferioară) .

Toate matricile finite strict triunghiulare sunt nilpotente .

Matricea triunghiulară atomică

O matrice triunghiulară atomică (superioară sau inferioară) este o formă specială de matrice unitarunghiulară, în care toate elementele din diagonală sunt zero, cu excepția intrărilor dintr-o singură coloană. O astfel de matrice se mai numește și matrice Frobenius , matrice Gauss sau matrice de transformare Gauss .

Triunghiularitate

O matrice similară cu o matrice triunghiulară este denumită triunghiulară . În mod abstract, acest lucru este echivalent cu stabilizarea unui steag : matricile triunghiulare superioare sunt exact cele care păstrează steagul standard , care este dat de baza ordonată standard și de steagul rezultat. Toate steagurile sunt conjugate (deoarece grupul liniar general acționează tranzitiv pe baze), deci orice matrice care stabilizează un steag este similară cu una care stabilizează steagul standard. ${\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$${\ displaystyle 0 <\ left \ langle e_ {1} \ right \ rangle <\ left \ langle e_ {1}, e_ {2} \ right \ rangle <\ cdots <\ left \ langle e_ {1}, \ ldots , e_ {n} \ right \ rangle = K ^ {n}.}$

Orice matrice pătrată complexă este triunghiulară. De fapt, o matrice A peste un câmp care conține toate valorile proprii ale lui A (de exemplu, orice matrice peste un câmp închis algebric ) este similară cu o matrice triunghiulară. Acest lucru poate fi dovedit prin utilizarea inducției pe faptul că A are un vector propriu, luând spațiul coeficient de către vectorul propriu și inducând să arate că A stabilizează un steag și, prin urmare, este triunghiulară în raport cu o bază pentru steagul respectiv.

O afirmație mai precisă este dată de teorema formei normale a lui Jordan , care afirmă că, în această situație, A este similar cu o matrice triunghiulară superioară cu o formă foarte particulară. Rezultatul mai simplu de triunghiularizare este adesea suficient și, în orice caz, utilizat pentru a demonstra teorema formei normale a lui Jordan.

În cazul matricilor complexe, este posibil să spunem mai multe despre triangularizare și anume că orice matrice pătrată A are o descompunere Schur . Aceasta înseamnă că A este unitar echivalent (adică similar, folosind o matrice unitară ca schimbare de bază) cu o matrice triunghiulară superioară; acest lucru urmează luând o bază hermitiană pentru steag.

Triunghiularitate simultană

Se spune că sunt un set de matrici${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {k}}$simultan triunghiularizabile dacă există o bază sub care sunt toate triunghiulare superioare; echivalent, dacă sunt triangularizabile superioare printr-o singură matrice de similaritateP.Un astfel de set de matrici este mai ușor de înțeles prin luarea în considerare a algebrei matricilor pe care le generează, și anume toate polinoamele dintriunghiularitatea simultanădenotatăînseamnă că această algebră este conjugată în subalgebra Lie a matricilor triunghiulare superioare și este echivalent cu această algebră fiind o subalgebră Lie a uneisubalgebre Borel. ${\ displaystyle A_ {i},}$${\ displaystyle K [A_ {1}, \ ldots, A_ {k}].}$

Rezultatul de bază este că (peste un câmp închis algebric), matricile de navetă sau mai general sunt simultan triunghiabile. Acest lucru poate fi dovedit arătând mai întâi că matricile de navetă au un vector propriu comun și apoi introducând dimensiunea ca înainte. Acest lucru a fost dovedit de Frobenius, începând din 1878 pentru o pereche de navetă, așa cum sa discutat la matricile de navetă . În ceea ce privește o singură matrice, peste numerele complexe acestea pot fi triunghiulate prin matrici unitare. ${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {k}}$

Faptul că matricile de navetă au un vector propriu comun poate fi interpretat ca rezultat al lui Nullstellensatz al lui Hilbert : matricile de navetă formează o algebră comutativă peste care poate fi interpretată ca o varietate în spațiul afin k- dimensional și existența unei valori proprii (comune) ( și, prin urmare, un vector propriu comun) corespunde acestui soi având un punct (fiind ne-gol), care este conținutul Nullstellensatz (slab). În termeni algebrici, acești operatori corespund unei reprezentări algebrice a algebrei polinomiale în k variabile. ${\ displaystyle K [A_ {1}, \ ldots, A_ {k}]}$${\ displaystyle K [x_ {1}, \ ldots, x_ {k}]}$

Acest lucru este generalizat de teorema lui Lie , care arată că orice reprezentare a unei algebre Lie rezolvabile este simultan triangularizabilă superioară, cazul matricilor de navetă fiind cazul algebrei Lie abeliene, abelianul fiind a fortiori rezolvabil.

Mai general și mai precis, un set de matrice este simultan triunghiular dacă și numai dacă matricea este nilpotentă pentru toate polinoamele p în k variabile care nu se deplasează, unde este comutatorul ; pentru naveta , comutatorul dispare astfel încât acest lucru este valabil. Acest lucru a fost dovedit în ( Drazin, Dungey & Gruenberg 1951 ); o scurtă dovadă este dată în ( Prasolov 1994 , pp. 178–179 ). O direcție este clară: dacă matricile sunt simultan triunghiulabile, atunci este strict superior triangularizabilă (deci nilpotentă), care este păstrată prin înmulțirea cu oricare sau combinație a acestora - va avea totuși 0s pe diagonală în baza triunghiularizării. ${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {k}}$${\ displaystyle p (A_ {1}, \ ldots, A_ {k}) [A_ {i}, A_ {j}]}$ ${\ displaystyle [A_ {i}, A_ {j}]}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle [A_ {i}, A_ {j}]}$${\ displaystyle A_ {k}}$

Algebre ale matricilor triunghiulare

Triangularitatea superioară este păstrată prin multe operații:

• Suma a două matrice triunghiulare superioare este triunghiulară superioară.
• Produsul a două matrice triunghiulare superioare este triunghiular superior.
• Inversul unei matrice triunghiulare superioare, acolo unde există, este triunghiular superior.
• Produsul unei matrice triunghiulare superioare și a unui scalar este triunghiular superior.

Împreună aceste fapte înseamnă că matricile triunghiulare superioare formează o subalgebră a algebrei asociative a matricilor pătrate pentru o dimensiune dată. În plus, acest lucru arată, de asemenea, că matricile triunghiulare superioare pot fi privite ca o subalgebră Lie a algebrei Lie a matricilor pătrate cu o dimensiune fixă, unde paranteze Lie [ a , b ] dată de comutatorul ab - ba . Algebra Lie a tuturor matricilor triunghiulare superioare este o algebră Lie rezolvabilă . Este adesea denumită subalgebră Borel a algebrei Lie a tuturor matricilor pătrate.

Toate aceste rezultate sunt valabile dacă triunghiularul superior este înlocuit cu cel triunghiular inferior ; în special matricile triunghiulare inferioare formează și o algebră Lie. Cu toate acestea, operațiile de amestecare a matricilor triunghiulare superioare și inferioare nu produc în general matrici triunghiulare. De exemplu, suma unei matrice triunghiulare superioară și inferioară poate fi orice matrice; nici produsul unui triunghi inferior cu o matrice triunghiulară superioară nu este neapărat triunghiular.

Mulțimea matricilor unitriangulare formează un grup Lie .

Ansamblul matricilor triunghiulare strict superioare (sau inferioare) formează o algebră Lie nilpotentă , notată Această algebră este algebra Lie derivată a , algebra Lie a tuturor matricilor triunghiulare superioare; în simboluri, în plus, este algebra Lie a grupului Lie al matricilor unitriangulare. ${\ displaystyle {\ mathfrak {n}}.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} = [{\ mathfrak {b}}, {\ mathfrak {b}}].}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}$

De fapt, prin teorema lui Engel , orice algebră Lie nilpotentă cu dimensiune finită este conjugată cu o subalgebră a matricilor triunghiulare strict superioare, adică o algebră Lie nilpotentă cu dimensiuni finite este simultan strict triangularizabilă.

Algebrele matricilor triunghiulare superioare au o generalizare naturală în analiza funcțională, care produce algebre cuib în spațiile Hilbert .

Subgrupuri Borel și subalgebre Borel

Mulțimea matricilor triunghiulare inversabile de un anumit tip (superior sau inferior) formează un grup , într-adevăr un grup Lie , care este un subgrup al grupului liniar general al tuturor matricilor inversabile. O matrice triunghiulară este inversabilă exact atunci când intrările sale diagonale sunt inversabile (diferite de zero).

Peste numerele reale, acest grup este deconectat, având componente corespunzătoare, deoarece fiecare intrare diagonală este pozitivă sau negativă. Componenta identității este matrice triunghiulare inversabile cu intrări pozitive pe diagonală, iar grupul tuturor matricilor triunghiulare inversabile este un produs semidirect al acestui grup și grupul matricilor diagonale cu pe diagonală, corespunzător componentelor. ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle \ pm 1}$

Algebra Lie a grupului Lie de matrici triunghiulare superioare inversabile este mulțimea tuturor matricelor triunghiulare superioare, nu neapărat inversabilă, și este o algebra Lie rezolvabile . Acestea sunt, respectiv, subgrupul Borel standard B al grupului Lie GL _n și subalgebra Borel standard a algebrei Lie gl _n . ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$

Matricile triunghiulare superioare sunt tocmai cele care stabilizează steagul standard . Cele inversabile dintre ele formează un subgrup al grupului liniar general, ale cărui subgrupuri conjugate sunt cele definite ca stabilizatorul unor (alte) steaguri complete. Aceste subgrupuri sunt subgrupuri Borel . Grupul matricilor triunghiulare inferioare inversabile este un astfel de subgrup, deoarece este stabilizatorul steagului standard asociat bazei standard în ordine inversă.

Stabilizatorul unui semnal parțial obținut prin uitarea unor părți ale steagului standard poate fi descris ca un set de matrice triunghiulare superioare bloc (dar elementele sale nu sunt toate matrice triunghiulare). Conjugatele unui astfel de grup sunt subgrupurile definite ca stabilizatorul unor semnalizări parțiale. Aceste subgrupuri se numesc subgrupuri parabolice .

Exemple

Grupul de 2 × 2 matrici unitriangulare superioare este izomorf pentru grupul aditiv al câmpului scalarilor; în cazul numerelor complexe corespunde unui grup format din transformări parabolice Möbius ; matricile unitriangulare superioare 3 × 3 formează grupul Heisenberg .

Vezi si

• Eliminare gaussiană
• Descompunerea QR
• Descompunerea Cholesky
• Matricea Hessenberg
• Matricea triiagonală
• Subspatiu invariant

Referințe