Calcul diferențial - Differential calculus

Graficul unei funcții, trasat în negru, și o linie tangentă la acea funcție, trasată cu roșu. Panta liniei tangente este egală cu derivata funcției la punctul marcat.

În matematică , calculul diferențial este un subcâmp de calcul care studiază ratele la care se modifică cantitățile. Este una dintre cele două diviziuni tradiționale ale calculului, cealaltă fiind calculul integral - studiul zonei de sub o curbă.

Obiectele principale de studiu în calculul diferențial sunt derivatele unei funcții , noțiuni conexe precum diferențialul și aplicațiile lor. Derivata unei funcții la o valoare de intrare aleasă descrie rata de schimbare a funcției în apropierea acelei valori de intrare. Procesul de găsire a unei derivate se numește diferențiere . Geometric, derivatul de la un punct este versantul al tangentei la graficul functiei la acel moment, cu condiția să existe derivatul și este definit în acel moment. Pentru o funcție cu valoare reală a unei singure variabile reale, derivata unei funcții într-un punct determină în general cea mai bună aproximare liniară la funcția din acel punct.

Calculul diferențial și calculul integral sunt conectate prin teorema fundamentală a calculului , care afirmă că diferențierea este procesul invers al integrării .

Diferențierea are aplicații în aproape toate disciplinele cantitative. În fizică , derivata deplasării unui corp în mișcare în raport cu timpul este viteza corpului, iar derivata vitezei în raport cu timpul este accelerația . Derivata impulsului unui corp în raport cu timpul este egală cu forța aplicată corpului; rearanjarea acest derivat conduce declarație la celebrul F = m o ecuație asociată cu a doua lege a lui Newton . Viteza de reacție a unei reacții chimice este un derivat. În cercetarea operațională , instrumentele derivate determină cele mai eficiente modalități de transport a materialelor și proiectarea fabricilor.

Derivatele sunt frecvent utilizate pentru a găsi maximele și valorile minime ale unei funcții. Ecuațiile care implică derivate se numesc ecuații diferențiale și sunt fundamentale în descrierea fenomenelor naturale . Derivatele și generalizările lor apar în multe domenii ale matematicii, cum ar fi analiza complexă , analiza funcțională , geometria diferențială , teoria măsurătorilor și algebra abstractă .

Derivat

Graficul unei funcții arbitrare . Linia portocalie este tangentă la , adică în acel punct exact, panta curbei și linia dreaptă sunt aceleași.${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle x = a}$

Derivata în diferite puncte ale unei funcții diferențiabile

Derivata de la punctul este panta tangentei la . Pentru a obține o intuiție pentru acest lucru, trebuie mai întâi să fie familiarizați cu găsirea pantei unei ecuații liniare, scrisă în formă . Panta unei ecuații este abruptitatea ei. Poate fi găsit prin alegerea oricăror două puncte și împărțirea schimbării la schimbarea , adică . Pentru că, graficul are o pantă de , așa cum se arată în diagrama de mai jos: ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x = a}$${\ displaystyle (a, f (a))}$${\ displaystyle y = mx + b}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ text {pantă}} = {\ frac {{\ text {modificare în}} y} {{\ text {modificare în}} x}}}$${\ displaystyle y = -2x + 13}$${\ displaystyle -2}$

Graficul ${\ displaystyle y = -2x-13}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ text {change in}} y} {{\ text {change in}} x}} = {\ frac {-6} {+ 3}} = - 2}$

Pentru scurtitate, este adesea scris ca , cu litera greacă Delta, care înseamnă „schimbare în”. Panta unei ecuații liniare este constantă, ceea ce înseamnă că abruptitatea este aceeași peste tot. Cu toate acestea, multe grafice, de exemplu , variază prin abruptitate. Aceasta înseamnă că nu mai puteți alege niciun punct arbitrar și să calculați panta. În schimb, panta graficului poate fi calculată luând în considerare linia tangentă - o linie care „doar atinge” un anumit punct. Panta unei curbe la un anumit punct este egală cu panta tangentei la acel punct. De exemplu, are o pantă de la, deoarece panta liniei tangente la acel punct este egală cu : ${\ displaystyle {\ frac {{\ text {change in}} y} {{\ text {change in}} x}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle x = 2}$${\ displaystyle 4}$

Graficul , cu o linie dreaptă care este tangentă la . Panta liniei tangente este egală cu . (Rețineți că axele graficului nu utilizează o scară 1: 1.)${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle (2,4)}$${\ displaystyle 4}$

Derivata unei funcții este atunci pur și simplu panta acestei linii tangente. Chiar dacă linia tangentă atinge doar un singur punct în punctul de tangență, poate fi aproximată printr-o linie care trece prin două puncte. Aceasta este cunoscută ca o linie secantă . Dacă cele două puncte prin care trece linia secantă sunt apropiate, atunci linia secantă seamănă foarte mult cu linia tangentă și, ca urmare, panta ei este, de asemenea, foarte similară:

Linia punctată trece prin punctele și , care se află ambele pe curbă . Deoarece aceste două puncte sunt destul de apropiate, linia punctată și linia tangentă au o pantă similară. Pe măsură ce cele două puncte se apropie, eroarea produsă de linia secantă devine foarte mică.${\ displaystyle (2,4)}$${\ displaystyle (3,9)}$${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

Avantajul utilizării unei linii secante este că panta poate fi calculată direct. Luați în considerare cele două puncte de pe grafic și , unde este un număr mic. Ca și înainte, panta liniei care trece prin aceste două puncte poate fi calculată cu formula . Asta da ${\ displaystyle (x, f (x))}$${\ displaystyle (x + \ Delta x, f (x + \ Delta x))}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle {\ text {pantă}} = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

${\ displaystyle {\ text {pantă}} = {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}}}$

Pe măsură ce se apropie din ce în ce mai mult , panta liniei secante se apropie din ce în ce mai mult de panta liniei tangente. Acest lucru este scris în mod formal ca ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}}}$

Expresia de mai sus înseamnă „pe măsură ce se apropie din ce în ce mai mult de 0, panta liniei secante se apropie din ce în ce mai mult de o anumită valoare”. Valoarea abordată este derivatul ; acest lucru poate fi scris ca . În cazul în care , derivatul poate fi , de asemenea , scris ca , cu care reprezintă o schimbare infinitezimal. De exemplu, reprezintă o schimbare infinitesimală în x. În rezumat, dacă , atunci derivatul lui este ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f '(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}}}$

cu condiția să existe o astfel de limită. Am reușit astfel să definim corect derivata unei funcții, ceea ce înseamnă că „panta liniei tangente” are acum o semnificație matematică precisă. Diferențierea unei funcții utilizând definiția de mai sus este cunoscută ca diferențiere de primele principii. Iată o dovadă, folosind diferențierea față de primele principii, că derivatul lui este : ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle 2x}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dy} {dx}} & = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} { \ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {(x + \ Delta x) ^ {2} -x ^ {2}} {\ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {x ^ {2} + 2x \ Delta x + (\ Delta x) ^ {2} -x ^ {2}} {\ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {2x \ Delta x + (\ Delta x) ^ {2}} {\ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} 2x + \ Delta x \\\ end {align}}}$

Ca abordări , abordări . Prin urmare ,. Această dovadă poate fi generalizată pentru a arăta că dacă și sunt constante . Aceasta este cunoscută sub numele de regula puterii . De exemplu ,. Cu toate acestea, multe alte funcții nu pot fi diferențiate la fel de ușor ca funcțiile polinomiale , ceea ce înseamnă că uneori sunt necesare tehnici suplimentare pentru a găsi derivata unei funcții. Aceste tehnici includ regula lanțului , regula produsului și regula coeficientului . Alte funcții nu pot fi deloc diferențiate, dând naștere conceptului de diferențialitate . ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 2x + \ Delta x}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = 2x}$${\ displaystyle {\ frac {d (ax ^ {n})} {dx}} = anx ^ {n-1}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (5x ^ {4}) = 5 (4) x ^ {3} = 20x ^ {3}}$

Un concept strâns legat de derivata unei funcții este diferențialul său . Când x și y sunt variabile reale, derivata lui f la x este panta liniei tangente la graficul lui f la x . Deoarece sursa și ținta lui f sunt unidimensionale, derivata lui f este un număr real. Dacă x și y sunt vectori, atunci cea mai bună aproximare liniară la graficul lui f depinde de modul în care f se schimbă în mai multe direcții simultan. Luarea celei mai bune aproximări liniare într-o singură direcție determină o derivată parțială , care este de obicei notată ∂ y/∂ x. Liniarizarea lui f în toate direcțiile simultan se numește derivată totală .

Istoria diferențierii

Conceptul unei derivate în sensul unei linii tangente este unul foarte vechi, familiar geometrilor greci precum Euclid (c. 300 î.Hr.), Arhimede (c. 287-212 î.Hr.) și Apollonius din Perga (c. 262– 190 î.Hr.). Arhimede a folosit, de asemenea , indivizibile , deși acestea au fost utilizate în primul rând pentru a studia zone și volume, mai degrabă decât derivate și tangente (a se vedea Metoda teoremelor mecanice ).

Utilizarea infinitesimalelor pentru a studia ratele de schimbare poate fi găsită în matematica indiană , poate încă din 500 d.Hr., când astronomul și matematicianul Aryabhata (476-550) au folosit infinitesimale pentru a studia orbita Lunii . Utilizarea infinitesimalelor pentru a calcula ratele de schimbare a fost dezvoltată semnificativ de Bhāskara II (1114–1185); într-adevăr, s-a susținut că multe dintre noțiunile cheie ale calculului diferențial pot fi găsite în lucrarea sa, cum ar fi „ teorema lui Rolle ”.

Matematicianul islamic , Șaraf al-Dīn al-Tusi (1135-1213), în lucrarea sa Treatise pe ecuațiile , condițiile stabilite pentru anumite ecuații cubice pentru a avea soluții, găsind maximele polinoamelor cubice corespunzătoare. El a demonstrat, de exemplu, că maximul axului cub ² - x ³ apare atunci când x = 2 a / 3 și a concluzionat că ecuația ax ² - x ³ = c are exact o soluție pozitivă când c = 4 a ³ / 27 , și două soluții pozitive ori de câte ori 0 < c <4 a cu ³ / de 27 . Istoricul științei, Roshdi Rashed , a susținut că al-Tūsī trebuie să fi folosit derivatul cubicului pentru a obține acest rezultat. Concluzia lui Rashed a fost contestată de alți cercetători, însă, care susțin că ar fi putut obține rezultatul prin alte metode care nu necesită cunoașterea derivatului funcției.

Dezvoltarea modernă a calculului este de obicei creditată lui Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), care au oferit abordări independente și unificate ale diferențierii și derivatelor. Cu toate acestea, ideea cheie care le-a câștigat acest credit a fost teorema fundamentală a calculului referitoare la diferențiere și integrare: aceasta a făcut ca metodele anterioare pentru calculul ariilor și volumelor să fie învechite, care nu au fost extinse semnificativ de pe vremea lui Ibn al-Haytham ( Alhazen). Pentru ideile lor despre derivate, atât Newton, cât și Leibniz au construit pe lucrări anterioare semnificative ale unor matematicieni precum Pierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630–1677), René Descartes (1596–1650), Christiaan Huygens (1629–1695 ), Blaise Pascal (1623–1662) și John Wallis (1616–1703). În ceea ce privește influența lui Fermat, Newton a scris odată într-o scrisoare că „ am avut aluzia acestei metode [a fluxurilor] din modul lui Fermat de a trage tangente și, aplicându-l la ecuații abstracte, direct și invers, am făcut-o generală. ” Isaac Barrow se acordă în general credit pentru dezvoltarea timpurie a instrumentului derivat. Cu toate acestea, Newton și Leibniz rămân figuri cheie în istoria diferențierii, nu în ultimul rând pentru că Newton a fost primul care a aplicat diferențierea fizicii teoretice , în timp ce Leibniz a dezvoltat sistematic o mare parte din notația utilizată și astăzi.

Începând cu secolul al XVII-lea, mulți matematicieni au contribuit la teoria diferențierii. În secolul al XIX-lea, calculul a fost pus pe o bază mult mai riguroasă de către matematicieni precum Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866) și Karl Weierstrass (1815–1897). Tot în această perioadă diferențierea a fost generalizată la spațiul euclidian și la planul complex .

Aplicații ale derivatelor

Optimizare

Dacă f este o funcție diferențiată pe ℝ (sau un interval deschis ) și x este un maxim local sau un minim local de f , atunci derivata lui f la x este zero. Punctele în care f ' ( x ) = 0 se numesc puncte critice sau puncte staționare (iar valoarea lui f la x se numește valoare critică ). Dacă f nu se presupune că este diferențiat peste tot, atunci punctele la care nu reușește să fie diferențiat sunt, de asemenea, desemnate puncte critice.

Dacă f este de două ori diferențiat, atunci invers, un punct critic x al lui f poate fi analizat luând în considerare a doua derivată a lui f la x  :

• dacă este pozitiv, x este un minim local;
• dacă este negativ, x este un maxim local;
• dacă este zero, atunci x ar putea fi un minim local, un maxim local sau nici unul. (De exemplu, f ( x ) = x ³ are un punct critic la x = 0 , dar nu are nici maxim, nici minim acolo, în timp ce f ( x ) = ± x ⁴ are un punct critic la x = 0 și a minim și, respectiv, maxim acolo.)

Aceasta se numește al doilea test derivat . O abordare alternativă, numită primul test derivat , implică luarea în considerare a semnului f 'de fiecare parte a punctului critic.

Luarea derivatelor și rezolvarea pentru puncte critice este, prin urmare, adesea o modalitate simplă de a găsi minimele sau maximele locale, care pot fi utile în optimizare . Prin teorema valorii extreme , o funcție continuă pe un interval închis trebuie să-și atingă valorile minime și maxime cel puțin o dată. Dacă funcția este diferențiată, minimele și maximele pot apărea numai în puncte critice sau puncte finale.

Acest lucru are și aplicații în schițarea graficului: după ce s-au găsit minimele și maximele locale ale unei funcții diferențiate, se poate obține un grafic gros al graficului din observația că va fi fie în creștere, fie în scădere între punctele critice.

În dimensiuni superioare , un punct critic al unei funcții cu valoare scalară este un punct în care gradientul este zero. Al doilea test derivat poate fi încă folosit pentru a analiza punctele critice, luând în considerare valorile proprii ale matricei Hessian ale derivatelor secundare parțiale ale funcției la punctul critic. Dacă toate valorile proprii sunt pozitive, atunci punctul este un minim local; dacă toate sunt negative, este un maxim local. Dacă există unele valori proprii pozitive și unele negative, atunci punctul critic este numit „ punct de șa ” și dacă niciunul dintre aceste cazuri nu se menține (adică unele dintre valorile proprii sunt zero) atunci testul este considerat neconcludent.

Calculul variațiilor

Un exemplu de problemă de optimizare este: Găsiți cea mai scurtă curbă între două puncte pe o suprafață, presupunând că și curba trebuie să se afle pe suprafață. Dacă suprafața este un plan, atunci cea mai scurtă curbă este o linie. Dar dacă suprafața este, de exemplu, în formă de ou, atunci cea mai scurtă cale nu este imediat limpede. Aceste căi sunt numite geodezice , iar una dintre cele mai fundamentale probleme în calculul variațiilor este găsirea geodeziei. Un alt exemplu este: Găsiți cea mai mică suprafață de umplere a suprafeței într-o curbă închisă în spațiu. Această suprafață se numește o suprafață minimă și, de asemenea, poate fi găsită folosind calculul variațiilor.

Fizică

Calculul are o importanță vitală în fizică: multe procese fizice sunt descrise prin ecuații care implică derivate, numite ecuații diferențiale . Fizica este preocupată în special de modul în care cantitățile se schimbă și se dezvoltă în timp, iar conceptul de „ derivată în timp ” - rata de schimbare în timp - este esențial pentru definirea precisă a mai multor concepte importante. În special, derivatele în timp ale poziției unui obiect sunt semnificative în fizica newtoniană :

• viteza este derivata (in raport cu timpul) deplasarii unui obiect (distanta fata de pozitia initiala)
• accelerația este derivata (față de timp) a vitezei unui obiect, adică a doua derivată (față de timp) a poziției unui obiect.

De exemplu, dacă poziția unui obiect pe o linie este dată de

${\ displaystyle x (t) = - 16t ^ {2} + 16t + 32, \, \!}$

atunci viteza obiectului este

${\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = x '(t) = - 32t + 16, \, \!}$

iar accelerarea obiectului este

${\ displaystyle {\ ddot {x}} (t) = x '' (t) = - 32, \, \!}$

care este constantă.

Ecuatii diferentiale

O ecuație diferențială este o relație între o colecție de funcții și derivatele lor. O ecuație diferențială obișnuită este o ecuație diferențială care leagă funcțiile unei variabile de derivatele lor față de acea variabilă. O ecuație diferențială parțială este o ecuație diferențială care leagă funcțiile mai multor variabile cu derivatele lor parțiale . Ecuațiile diferențiale apar în mod natural în științele fizice, în modelarea matematică și în cadrul matematicii în sine. De exemplu, a doua lege a lui Newton , care descrie relația dintre accelerație și forță, poate fi afirmată ca ecuația diferențială obișnuită

${\ displaystyle F (t) = m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}.}$

Ecuația căldurii într - o variabilă de spațiu, care descrie modul în care difuzează căldură printr - o tijă dreaptă, este ecuația diferențială parțială

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = \ alpha {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}}.}$

Aici u ( x , t ) este temperatura tijei în poziția x și timpul t și α este o constantă care depinde de cât de repede se difuzează căldura prin tijă. (2-3¡) - (3 + 2)

Teorema valorii medii

Teorema valorii medii: Pentru fiecare funcție diferențiată cu există o cu .${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle c \ in (a, b)}$${\ displaystyle f '(c) = {\ tfrac {f (b) -f (a)} {ba}}}$

Teorema valorii medii oferă o relație între valorile derivatei și valorile funcției originale. Dacă f ( x ) este o funcție cu valoare reală și a și b sunt numere cu a < b , atunci teorema valorii medii spune că, sub ipoteze ușoare, panta dintre cele două puncte ( a , f ( a )) și ( b , f ( b )) este egală cu panta liniei tangente la f la un punct c între a și b . Cu alte cuvinte,

${\ displaystyle f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}.}$

În practică, ceea ce face teorema valorii medii este controlul unei funcții în ceea ce privește derivata sa. De exemplu, să presupunem că f are derivate egale cu zero în fiecare punct. Aceasta înseamnă că linia sa tangentă este orizontală în fiecare punct, deci funcția ar trebui să fie și orizontală. Teorema valorii medii demonstrează că acest lucru trebuie să fie adevărat: panta dintre oricare două puncte de pe graficul lui f trebuie să fie egală cu panta uneia dintre liniile tangente ale lui f . Toate aceste pante sunt zero, deci orice linie dintr-un punct al graficului în alt punct va avea, de asemenea, panta zero. Dar asta spune că funcția nu se mișcă în sus sau în jos, deci trebuie să fie o linie orizontală. Condițiile mai complicate ale derivatului duc la informații mai puțin precise, dar totuși extrem de utile despre funcția originală.

Polinomii Taylor și seria Taylor

Derivata oferă cea mai bună aproximare liniară posibilă a unei funcții la un punct dat, dar aceasta poate fi foarte diferită de funcția originală. O modalitate de îmbunătățire a aproximării este de a lua o aproximare pătratică. Adică, liniarizarea unei funcții cu valoare reală f ( x ) la punctul x ₀ este un polinom liniar a + b ( x - x ₀ ) și poate fi posibil să se obțină o aproximare mai bună luând în considerare un cadrat polinomul a + b ( x - x ₀ ) + c ( x - x ₀ ) ² . Mai bine ar putea fi un polinom cub a + b ( x - x ₀ ) + c ( x - x ₀ ) ² + d ( x - x ₀ ) ³ , iar această idee poate fi extinsă la polinoame de grad înalt arbitrar. Pentru fiecare dintre aceste polinoame, ar trebui să existe o alegere cât mai bună posibilă a coeficienților a , b , c și d care să facă aproximarea cât mai bună posibil.

In vecinatatea lui x ₀ , pentru o cea mai bună alegere posibilă este întotdeauna f ( x ₀ ) , iar pentru b cea mai bună alegere posibilă este întotdeauna f“ ( x ₀ ) . Pentru c , d și coeficienți de grad superior, acești coeficienți sunt determinați de derivați mai mari ai lui f . c ar trebui să fie întotdeaunaf " ( x ₀ )/2, și d ar trebui să fie întotdeaunaf '' ' ( x ₀ )/3!. Utilizarea acestor coeficienți dă polinomul lui Taylor al lui f . Polinomul Taylor de grad d este polinomul de grad d care se apropie cel mai bine de f , iar coeficienții săi pot fi găsiți printr-o generalizare a formulelor de mai sus. Teorema lui Taylor oferă o legătură precisă cu privire la cât de bună este aproximarea. Dacă f este un polinom de grad mai mic sau egal cu d , atunci polinomul de Taylor de grad d este egal cu f .

Limita polinoamelor Taylor este o serie infinită numită serie Taylor . Seria Taylor este adesea o foarte bună aproximare la funcția originală. Funcțiile care sunt egale cu seria lor Taylor se numesc funcții analitice . Este imposibil ca funcțiile cu discontinuități sau colțuri ascuțite să fie analitice; în plus, există funcții netede care, de asemenea, nu sunt analitice.

Teorema funcției implicite

Unele forme geometrice naturale, cum ar fi cercurile , nu pot fi desenate ca grafic al unei funcții . De exemplu, dacă f ( x , y ) = x ² + y ² - 1 , atunci cercul este setul tuturor perechilor ( x , y ) astfel încât f ( x , y ) = 0 . Acest set se numește setul zero al lui f și nu este același cu graficul lui f , care este un paraboloid . Teorema funcției implicite transformă relații precum f ( x , y ) = 0 în funcții. Se afirmă că dacă f este diferențiat continuu , atunci în jurul majorității punctelor, setul zero al lui f arată ca grafice ale funcțiilor lipite împreună. Punctele în care acest lucru nu este adevărat sunt determinate de o condiție a derivatei lui f . Cercul, de exemplu, poate fi lipit împreună din graficele celor două funcții ± √ 1 - x ² . Într-un vecinătate a fiecărui punct al cercului, cu excepția (−1, 0) și (1, 0) , una dintre aceste două funcții are un grafic care arată ca cercul. (Aceste două funcții se întâlnesc, de asemenea, cu (-1, 0) și (1, 0) , dar acest lucru nu este garantat de teorema funcției implicite.)

Teorema funcției implicite este strâns legată de teorema funcției inverse , care afirmă când o funcție arată ca grafice ale funcțiilor inversabile lipite împreună.

Vezi si

• Diferențial (calcul)
• Geometria diferențială
• Diferențierea numerică
• Tehnici de diferențiere
• Lista subiectelor de calcul

Note

Referințe

• J. Edwards (1892). Calcul diferențial . Londra: MacMillan and Co. p. 1 .