Masă adăugată - Added mass

În mecanica fluidelor , masa adăugată sau masa virtuală este inerția adăugată unui sistem, deoarece un corp de accelerare sau decelerare trebuie să deplaseze (sau să devieze) un anumit volum de fluid înconjurător pe măsură ce se deplasează prin el. Masa adăugată este o problemă obișnuită, deoarece obiectul și fluidul din jur nu pot ocupa același spațiu fizic simultan. Pentru simplitate, acest lucru poate fi modelat ca un anumit volum de fluid care se mișcă odată cu obiectul, deși în realitate „tot” fluidul va fi accelerat, la diferite grade.

Adimensional Coeficientul de masă adăugat este masa adăugată împărțită la masa de fluid deplasată - adică împărțit la fluid de densitate ori volumul corpului. În general, masa adăugată este un tensor de ordinul doi , care leagă vectorul de accelerație a fluidului cu vectorul de forță rezultat pe corp.

fundal

Friedrich Bessel a propus conceptul de masă adăugată în 1828 pentru a descrie mișcarea unui pendul într-un fluid. Perioada unui astfel de pendul a crescut în raport cu perioada sa în vid (chiar și după ce a luat în considerare efectele de flotabilitate ), indicând faptul că fluidul din jur a crescut masa efectivă a sistemului.

Conceptul de masă adăugată este, fără îndoială, primul exemplu de renormalizare în fizică. Conceptul poate fi de asemenea gândit ca un analog de fizică clasică al conceptului mecanic cuantic al cvasiparticulelor . Cu toate acestea, nu trebuie confundat cu creșterea relativistică a masei .

De multe ori se afirmă în mod eronat că masa adăugată este determinată de impulsul fluidului. Că acest lucru nu este cazul, devine clar atunci când se ia în considerare cazul fluidului dintr-o cutie mare, în care impulsul fluidului este exact zero în fiecare moment al timpului. Masa adăugată este de fapt determinată de cvasi-impuls: masa adăugată de ori de câte ori accelerația corpului este egală cu derivata în timp a cvasi-impulsului fluid.

Forța virtuală de masă

Forțele nesigure din cauza unei modificări a vitezei relative a unui corp scufundat într-un fluid pot fi împărțite în două părți: efectul de masă virtuală și forța Basset .

Originea forței este că fluidul va câștiga energie cinetică în detrimentul muncii efectuate de un corp scufundat accelerat.

Se poate arăta că forța virtuală de masă, pentru o particulă sferică scufundată într-un fluid inviscid, incompresibil este

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}

unde simbolurile aldine indică vectori, este viteza de curgere a fluidului , este viteza sferică a particulelor, este densitatea de masă a fluidului (faza continuă), este volumul particulei, iar D / D t denotă derivatul materialului . ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {c}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {p}}}$

Originea noțiunii „masă virtuală” devine evidentă atunci când aruncăm o privire asupra ecuației impulsului pentru particulă.

{\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}} - { \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}

unde este suma tuturor celorlalți termeni de forță de pe particulă, cum ar fi gravitația , gradientul de presiune , tracțiunea , ridicarea , forța Basset etc. ${\ displaystyle \ sum \ mathbf {F}}$

Deplasând derivata vitezei particulelor din partea dreaptă a ecuației spre stânga obținem

{\ displaystyle \ left (m _ {\ mathrm {p}} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}} } {2}} {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}},}

deci particula este accelerată ca și cum ar avea o masă adăugată de jumătate din fluid pe care o deplasează și există, de asemenea, o contribuție suplimentară de forță pe partea dreaptă datorită accelerării fluidului.

Aplicații

Masa adăugată poate fi încorporată în majoritatea ecuațiilor fizice, considerând o masă efectivă ca suma masei și a masei adăugate. Această sumă este cunoscută în mod obișnuit ca „masa virtuală”.

O formulare simplă a masei adăugate pentru un corp sferic permite ca a doua lege clasică a lui Newton să fie scrisă în formă

{\ displaystyle F = m \, a}

devine

{\ displaystyle F = (m + m _ {\ text {adăugat}}) \, a.}

Se poate arăta că masa adăugată pentru o sferă (de rază ) este , care este jumătate din volumul sferei de densitatea fluidului. Pentru un corp general, masa adăugată devine un tensor (denumit tensor de masă indus), cu componente în funcție de direcția de mișcare a corpului. Nu toate elementele din tensorul de masă adăugat vor avea masă de dimensiune, unele vor avea masa × lungime și altele vor fi masă × lungime ² . ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {fluid}}}$

Toate corpurile care accelerează într-un fluid vor fi afectate de masa adăugată, dar din moment ce masa adăugată este dependentă de densitatea fluidului, efectul este adesea neglijat pentru corpurile dense care cad în fluide mult mai puțin dense. Pentru situațiile în care densitatea fluidului este comparabilă sau mai mare decât densitatea corpului, masa adăugată poate fi adesea mai mare decât masa corpului și neglijarea acestuia poate introduce erori semnificative într-un calcul.

De exemplu, o bulă de aer sferică care se ridică în apă are o masă de doar o masă adăugată, deoarece apa este de aproximativ 800 de ori mai densă decât aerul (la RTP ), în acest caz, masa adăugată este de aproximativ 400 de ori mai mare decât masa bulei. ${\ displaystyle {\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {air}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {water}}.}$

Arhitectura navala

Aceste principii se aplică și navelor, submarinelor și platformelor offshore. În industria marină, masa adăugată este denumită masă adăugată hidrodinamică. La proiectarea navei, energia necesară pentru a accelera masa adăugată trebuie luată în considerare atunci când se efectuează o analiză de menținere a mării. Pentru nave, masa adăugată poate atinge cu ușurință ¼ sau ⅓ din masa navei și, prin urmare, reprezintă o inerție semnificativă , în plus față de forțele de frecare și de tragere a undelor .

Pentru anumite geometrii care se scufundă liber printr-o coloană de apă, masa adăugată hidrodinamică asociată cu corpul care se scufundă poate fi mult mai mare decât masa obiectului. Această situație poate apărea, de exemplu, atunci când corpul care se scufundă are o suprafață plană mare cu vectorul său normal îndreptat în direcția mișcării (în jos). O cantitate substanțială de energie cinetică este eliberată atunci când un astfel de obiect este decelerat brusc (de exemplu, din cauza unui impact asupra fundului mării).

În industria offshore, masa adăugată hidrodinamică a diferitelor geometrii face obiectul unei investigații considerabile. Aceste studii sunt de obicei necesare ca elemente de intrare în evaluările riscului obiectului scăzut submarin (studii axate pe cuantificarea riscului impactului obiectului scăzut asupra infrastructurii submarine). Deoarece masa adăugată hidrodinamică poate constitui o proporție semnificativă din masa totală a unui obiect care se scufundă în momentul impactului, influențează semnificativ rezistența de proiectare luată în considerare pentru structurile de protecție submarină.

Apropierea de o graniță (sau un alt obiect) poate influența cantitatea de masă adăugată hidrodinamică. Aceasta înseamnă că masa adăugată depinde atât de geometria obiectului, cât și de apropierea acestuia de o graniță. Pentru corpurile plutitoare (de exemplu, nave / nave) aceasta înseamnă că răspunsul corpului plutitor (adică datorită acțiunii valurilor) este modificat în adâncimi finite ale apei (efectul este practic inexistent în apele adânci). Adâncimea specifică (sau apropierea de o graniță) la care este afectată masa adăugată hidrodinamică depinde de geometria corpului și de amplasarea și forma unei granițe (de exemplu, un doc, un perete, un perete sau fundul mării).

Masa adăugată hidrodinamică asociată unui obiect care se scufundă liber în apropierea unei limite este similară cu cea a unui corp plutitor. În general, masa adăugată hidrodinamică crește pe măsură ce distanța dintre o limită și un corp scade. Această caracteristică este importantă atunci când se planifică instalații submarine sau se prezice mișcarea unui corp plutitor în condiții de apă puțin adâncă.

Aeronautică

În aeronave (altele decât baloanele și blimps-urile mai ușoare decât aerul), masa adăugată nu este luată în considerare, de obicei, deoarece densitatea aerului este atât de mică.

Vezi si

Forța Basset pentru descrierea efectului istoriei mișcării relative a corpului asupra forțelor vâscoase dintr-un flux Stokes
Ecuația Basset – Boussinesq – Oseen pentru descrierea mișcării - și a forțelor pe - o particulă care se mișcă într-un flux instabil la un număr redus de Reynolds
Deriva Darwin pentru relația dintre masa adăugată și volumul derivei Darwin
Numărul Keulegan – Carpenter pentru un parametru adimensional care dă importanța relativă a forței de tragere la inerție în încărcarea valurilor
Ecuația Morison pentru un model de forță empirică în încărcarea undelor, care implică masă și tracțiune adăugate
Operator de amplitudine de răspuns pentru utilizarea masei adăugate în proiectarea navei

Languages

In other projects