Tillagd massa - Added mass

I fluidmekanik , tillagd massa eller virtuell massa är den tröghet sattes till ett system, eftersom en accelererande eller retarderande organet skall röra sig (eller avleda) viss volym av omgivande fluid när den rör sig genom den. Tillagd massa är ett vanligt problem eftersom objektet och omgivande vätska inte kan uppta samma fysiska utrymme samtidigt. För enkelhetens skull kan detta modelleras som en volym vätska som rör sig med objektet, men i själva verket kommer "all" vätskan att accelereras i olika grader.

Den dimensionslös tillagd massa koefficienten är den tillsatta massan dividerat med den undanträngda vätskemassan - dvs. dividerad med vätskedensitets gånger volymen av kroppen. I allmänhet, är den tillsatta massan en andra ordningens tensor , avseende fluidaccelerationsvektor till den resulterande kraften vektorn på kroppen.

Bakgrund

Friedrich Bessel föreslog konceptet extra massa 1828 för att beskriva rörelsen av en pendel i en vätska. Perioden för en sådan pendel ökade i förhållande till dess period i ett vakuum (även efter redovisning av flyteffekter ), vilket indikerar att den omgivande vätskan ökade systemets effektiva massa.

Begreppet extra massa är utan tvekan det första exemplet på renormalisering inom fysiken. Begreppet kan också ses som en klassisk fysikanalog till det kvantmekaniska begreppet kvasipartiklar . Det är dock inte att förväxla med relativistisk massökning .

Det sägs ofta felaktigt att den tillsatta massan bestäms av vätskans momentum. Att så inte är fallet blir det klart när man överväger vätskans fall i en stor låda, där vätskemomentet är exakt noll vid varje ögonblick. Den tillsatta massan bestäms faktiskt av kvasi-momentum: den extra massan gånger kroppsacceleration är lika med tidsderivatet av vätskans kvasi-momentum.

Virtuell massstyrka

Ostadiga krafter på grund av en förändring av den relativa hastigheten för en kropp som är nedsänkt i en vätska kan delas in i två delar: den virtuella masseffekten och Basset -kraften .

Kraftens ursprung är att vätskan kommer att få rörelseenergi på bekostnad av arbetet som utförs av en accelererande nedsänkt kropp.

Det kan visas att den virtuella masskraften för en sfärisk partikel nedsänkt i en osynlig, inkomprimerbar vätska är

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}}-{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}

där fet symboler betecknar vektorer, är den vätskeflödeshastighet , är den sfäriska partikelhastigheten, är massdensiteten av fluiden (kontinuerlig fas), är volymen av partikeln, och D / D t betecknar den material derivatet . ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {c}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {p}}}$

Begreppet "virtuell massa" blir uppenbart när vi tar en titt på momentumekvationen för partikeln.

{\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} +{\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}}-{ \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}

var är summan av alla andra krafttermer på partikeln, såsom gravitation , tryckgradient , drag , lyft , Basset -kraft , etc. ${\ displaystyle \ sum \ mathbf {F}}$

Genom att flytta derivatet av partikelhastigheten från ekvationens högra sida till vänster får vi

{\ displaystyle \ left (m _ {\ mathrm {p}}+{\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} +{\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}} } {2}} {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}},}

så partikeln accelereras som om den hade en extra massa av halva vätskan den förskjuter, och det finns också ett ytterligare kraftbidrag på höger sida på grund av vätskans acceleration.

Ansökningar

Den tillsatta massan kan införlivas i de flesta fysikekvationer genom att betrakta en effektiv massa som summan av massan och tillsatt massa. Denna summa är allmänt känd som "virtuell massa".

En enkel formulering av den extra massan för en sfärisk kropp gör att Newtons klassiska andra lag kan skrivas i formen

{\ displaystyle F = m \, a}

blir

{\ displaystyle F = (m+m _ {\ text {tillagd}}) \, a.}

Man kan visa att den tillsatta massan för en sfär (med radie ) är , vilket är hälften av sfärens volym gånger vätskans densitet. För en allmän kropp blir den tillsatta massan en tensor (kallad inducerad massensensor), med komponenter beroende på kroppens rörelseriktning. Alla element i den tillsatta massatensorn kommer inte att ha dimensionsmassa, vissa kommer att vara massa × längd och vissa kommer att vara massa × längd ² . ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r^{3} \ rho _ {\ text {fluid}}}$

Alla kroppar som accelererar i en vätska påverkas av tillsatt massa, men eftersom den tillsatta massan är beroende av vätskans densitet försummas effekten ofta för täta kroppar som faller i mycket mindre täta vätskor. För situationer där vätskans densitet är jämförbar med eller större än kroppens densitet kan den tillsatta massan ofta vara större än kroppens massa och försummelse av den kan införa betydande fel i en beräkning.

Till exempel har en sfärisk luftbubbla som stiger i vatten en massa av men en tillsatt massa av Eftersom vatten är ungefär 800 gånger tätare än luft (vid RTP ) är den tillsatta massan i detta fall ungefär 400 gånger bubblans massa. ${\ displaystyle {\ tfrac {4} {3}} \ pi r^{3} \ rho _ {\ text {air}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r^{3} \ rho _ {\ text {vatten}}.}$

Marinarkitektur

Dessa principer gäller även fartyg, ubåtar och offshoreplattformar. I marinindustrin kallas tillsatt massa hydrodynamisk tillsatt massa. Vid fartygsdesign måste energin som krävs för att påskynda den tillsatta massan beaktas när en sjöhållningsanalys utförs. För fartyg kan den extra massan lätt nå ¼ eller ⅓ av fartygets massa och representerar därför en betydande tröghet , förutom friktions- och vågframkallande dragkrafter .

För vissa geometrier som fritt sjunker genom en vattenkolonn kan hydrodynamisk tillsatt massa i samband med den sjunkande kroppen vara mycket större än objektets massa. Denna situation kan till exempel inträffa när den sjunkande kroppen har en stor plan yta med sin normala vektor riktad i rörelseriktningen (nedåt). En betydande mängd rörelseenergi frigörs när ett sådant objekt plötsligt retarderas (t.ex. på grund av en påverkan med havsbotten).

Inom offshoreindustrin är hydrodynamisk tillsatsmassa av olika geometrier föremål för omfattande undersökningar. Dessa studier krävs vanligtvis som input till bedömningar av nedgrävda objektriskar (undersökningar fokuserade på att kvantifiera risken för tappade objektpåverkan på undervattensinfrastruktur). Eftersom hydrodynamisk tillsatt massa kan utgöra en betydande andel av ett sjunkande objekts totala massa vid påverkan, påverkar det avsevärt designmotståndet för undervattensskyddskonstruktioner.

Närhet till en gräns (eller ett annat föremål) kan påverka mängden hydrodynamisk tillsatt massa. Detta innebär att tillsatt massa beror på både objektets geometri och dess närhet till en gräns. För flytande kroppar (t.ex. fartyg/fartyg) innebär detta att den flytande kroppens reaktion (dvs på grund av vågverkan) ändras i ändliga vattendjup (effekten är praktiskt taget obefintlig på djupt vatten). Det specifika djup (eller närheten till en gräns) vid vilken den hydrodynamiska tillsatta massan påverkas beror på kroppens geometri och placering och form av en gräns (t.ex. en brygga, havsvägg, skott eller havsbotten).

Den hydrodynamiska tillsatta massan associerad med ett fritt sjunkande föremål nära en gräns liknar den för en flytande kropp. I allmänhet ökar den hydrodynamiska tillsatta massan när avståndet mellan en gräns och en kropp minskar. Denna egenskap är viktig när man planerar undervattensinstallationer eller förutsäger rörelsen hos en flytande kropp under grunda förhållanden.

Aeronautik

I flygplan (andra än lättare än luftballonger och blimps) tas vanligtvis inte den extra massan med eftersom luftens densitet är så liten.

Se även

Basset -kraft för att beskriva effekten av kroppens relativrörelseshistorik på de viskösa krafterna i ett Stokes -flöde
Basset – Boussinesq – Oseen ekvation för beskrivning av rörelsen av - och tvingar på - en partikel som rör sig i ett ostadigt flöde vid låga Reynolds -tal
Darwin drift för förhållandet mellan tillsatt massa och Darwin driftvolym
Keulegan – Snickarnummer för en dimensionslös parameter som ger dragkraftens relativa betydelse till tröghet vid vågbelastning
Morison -ekvation för en empirisk kraftmodell vid vågbelastning, vilket innebär extra massa och drag
Respons Amplitude Operator för användning av extra massa i fartygsdesign

Languages

In other projects