Fluxul Stokes - Stokes flow

Un obiect care se mișcă printr-un gaz sau lichid experimentează o forță în direcția opusă mișcării sale. Viteza terminală este atinsă atunci când forța de tracțiune este egală în mărime, dar opusă în direcția forței care propulsează obiectul. Afișat este o sferă în fluxul Stokes, la un număr foarte mic de Reynolds .

Stokes flux (numit după George Gabriel Stokes ), numit și târâtor flux sau târâtor de mișcare , este un tip de flux de fluid unde advectiva inerțiale forțe sunt mici în comparație cu vâscoase forțe. Numărul Reynolds este redus, adică . Aceasta este o situație tipică în debitele în care viteza fluidului este foarte lentă, vâscozitățile sunt foarte mari sau lungimile de curgere sunt foarte mici. Debitul târâtor a fost studiat mai întâi pentru a înțelege lubrifierea . În natură, acest tip de curgere apare în înotul microorganismelor , al spermei și al fluxului de lavă . În tehnologie, apare în vopsea , dispozitive MEMS și, în general , în fluxul de polimeri vâscoși . ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ ll 1}$

Ecuațiile de mișcare pentru fluxul Stokes, numite ecuațiile Stokes, sunt o liniarizare a ecuațiilor Navier-Stokes și, prin urmare, pot fi rezolvate printr-o serie de metode bine cunoscute pentru ecuațiile diferențiale liniare. Funcția Green principală a fluxului Stokes este Stokeslet , care este asociată cu o forță punctuală singulară încorporată într-un flux Stokes. Din derivatele sale pot fi obținute și alte soluții fundamentale . Stokeslet a fost derivat pentru prima dată de Oseen în 1927, deși nu a fost numit ca atare până în 1953 de Hancock. Soluțiile fundamentale în formă închisă pentru fluxurile Stokes și Oseen instabile generalizate asociate cu mișcări de rotație și de rotație arbitrare dependente de timp au fost derivate pentru fluidele newtoniene și micropolare.

Ecuațiile Stokes

Ecuația mișcării pentru fluxul Stokes poate fi obținută prin liniarizarea ecuațiilor Navier-Stokes în stare stabilă . Se presupune că forțele inerțiale sunt neglijabile în comparație cu forțele vâscoase, iar eliminarea termenilor inerțiali ai echilibrului impulsului în ecuațiile Navier-Stokes îl reduce la echilibrul impulsului în ecuațiile Stokes:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ sigma + \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {0}}}$

unde este stresul (suma tensiunilor vâscoase și de presiune) și o forță corporală aplicată. Ecuațiile Stokes complete includ, de asemenea, o ecuație pentru conservarea masei , scrisă în mod obișnuit sub forma: ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}$

unde este densitatea fluidului și viteza fluidului. Pentru a obține ecuațiile de mișcare pentru un debit incompresibil, se presupune că densitatea ,, este o constantă. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ rho}$

Mai mult, ocazional s-ar putea lua în considerare ecuațiile Stokes nesigure, în care termenul este adăugat la partea stângă a ecuației de echilibru a impulsului. ${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}}}$

Proprietăți

Ecuațiile Stokes reprezintă o simplificare considerabilă a ecuațiilor Navier – Stokes complete , în special în cazul newtonian incompresibil. Ele sunt simplificarea ordinii de conducere a ecuațiilor Navier – Stokes complete, valabile în limita distinctă ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ to 0.}$

Instantaneitate

Un flux Stokes nu are dependență de timp, decât prin condițiile limită dependente de timp . Aceasta înseamnă că, având în vedere condițiile limită ale unui flux Stokes, fluxul poate fi găsit fără cunoștința fluxului în orice alt moment.

Reversibilitate în timp

O consecință imediată a instantaneității, reversibilitatea în timp înseamnă că un flux Stokes inversat în timp rezolvă aceleași ecuații ca și fluxul Stokes original. Această proprietate poate fi uneori utilizată (împreună cu liniaritatea și simetria în condițiile limită) pentru a obține rezultate despre un flux fără a-l rezolva complet. Reversibilitatea timpului înseamnă că este dificil să amestecați două fluide folosind un flux fluent.

Reversibilitatea în timp a debitelor Stokes: Colorantul a fost injectat într-un fluid vâscos cuprins între doi cilindri concentrici (panoul superior). Cilindrul central este apoi rotit pentru a tăia vopseaua într-o spirală, așa cum se vede de sus. Vopseaua pare să fie amestecată cu fluidul vizualizat din lateral (panoul din mijloc). Rotația este apoi inversată, aducând cilindrul în poziția inițială. Vopseaua „se amestecă” (panoul de jos). Inversarea nu este perfectă, deoarece apare o anumită difuzie a colorantului.

În timp ce aceste proprietăți sunt adevărate pentru fluxurile incompresibile Newtonian Stokes, natura neliniară și uneori dependentă de timp a fluidelor non-newtoniene înseamnă că acestea nu sunt valabile în cazul mai general.

Stokes paradox

O proprietate interesantă a fluxului Stokes este cunoscută sub numele de paradoxul lui Stokes : că nu poate exista un flux Stokes al unui fluid în jurul unui disc în două dimensiuni; sau, în mod echivalent, faptul că nu există o soluție non-banală pentru ecuațiile Stokes în jurul unui cilindru infinit de lung.

Demonstrarea reversibilității în timp

Un sistem Taylor-Couette poate crea fluxuri laminare în care cilindrii concentrici de fluid se deplasează unul lângă celălalt într-o spirală aparentă. Un fluid precum siropul de porumb cu vâscozitate ridicată umple golul dintre doi cilindri, cu regiuni colorate ale fluidului vizibile prin cilindrul exterior transparent. Cilindrii sunt rotiți unul față de celălalt la o viteză redusă, care, împreună cu vâscozitatea ridicată a fluidului și subțierea spațiului, dau un număr redus de Reynolds , astfel încât amestecul aparent al culorilor este de fapt laminar și poate fi apoi inversat la aproximativ starea inițială. Acest lucru creează o demonstrație dramatică a amestecării aparente a unui fluid și apoi a amestecării acestuia inversând direcția mixerului.

Flux incompresibil de fluide newtoniene

În cazul obișnuit al unui fluid newtonian incompresibil , ecuațiile Stokes iau forma (vectorizată):

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} - {\ boldsymbol {\ nabla}} p + \ mathbf {f} & = {\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \ end {align}}}$

unde este viteza fluidului, este gradientul presiunii , este vâscozitatea dinamică și o forță corporală aplicată. Ecuațiile rezultate sunt liniare în viteză și presiune și, prin urmare, pot profita de o varietate de rezolvatori de ecuații diferențiale liniare. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} p}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$

Coordonatele carteziene

Cu vectorul de viteză extins ca și vectorul forței corpului , putem scrie ecuația vectorului în mod explicit, ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u, v, w)}$${\ displaystyle \ mathbf {f} = (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} { \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} + f_ {x} & = 0 \\\ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} v} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial y} } + f_ {y} & = 0 \\\ mu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w } {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial z ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ partial p} {\ partial z }} + f_ {z} & = 0 \\ {\ partial u \ over \ partial x} + {\ partial v \ over \ partial y} + {\ partial w \ over \ partial z} & = 0 \ end { aliniat}}}$

Ajungem la aceste ecuații făcând ipotezele că și densitatea este o constantă. ${\ displaystyle \ mathbb {P} = \ mu \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {\ mathsf {T} } \ right) -p \ mathbb {I}}$${\ displaystyle \ rho}$

Metode de soluție

Prin funcția de flux

Ecuația pentru un flux incompresibil Newtonian Stokes poate fi rezolvată prin metoda funcției fluxului în cazuri plane sau 3-D aximetrice

Tipul funcției	Geometrie	Ecuaţie	Comentarii
Funcția de flux ,${\ displaystyle \ psi}$	2-D plan	${\ displaystyle \ nabla ^ {4} \ psi = 0}$sau ( ecuația biharmonică ) ${\ displaystyle \ Delta ^ {2} \ psi = 0}$	${\ displaystyle \ Delta}$este operatorul laplacian în două dimensiuni
Funcția de flux Stokes ,${\ displaystyle \ Psi}$	3-D sferic	${\ displaystyle E ^ {2} \ Psi = 0,}$ Unde ${\ displaystyle E = {\ partial ^ {2} \ over \ partial r ^ {2}} + {\ sin {\ theta} \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left ({1 \ over \ sin {\ theta}} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ right)}$	Pentru derivarea operatorului, consultați funcția de flux Stokes # Vorticity${\ displaystyle E}$
	3-D cilindric	${\ displaystyle L _ {- 1} ^ {2} \ Psi = 0,}$ Unde ${\ displaystyle L _ {- 1} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ rho ^ {2 }}} - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}}}$	Pentru a vedea ${\ displaystyle L _ {- 1}}$

După funcția lui Green: Stokeslet

Liniaritatea Stokes în cazul unui mijloc de fluid newtoniene incompresibile că o funcție Green , , există. Funcția Green se găsește prin rezolvarea ecuațiilor Stokes cu termenul de forțare înlocuit cu o forță punctuală care acționează la origine și condițiile de graniță care dispar la infinit: ${\ displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} - {\ boldsymbol {\ nabla}} p & = - \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r}) \\ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \\ | \ mathbf {u} |, p & \ to 0 \ quad {\ mbox {as}} \ quad r \ to \ infty \ end {align}}}$

unde este funcția delta Dirac și reprezintă o forță punctuală care acționează la origine. Soluția pentru presiunea p și viteza u cu | tu | iar p dispariția la infinit este dată de ${\ displaystyle \ mathbf {\ delta} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ delta (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r}), \ qquad p (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {r}} {4 \ pi | \ mathbf {r} | ^ {3}}}}$

Unde

${\ displaystyle \ mathbb {J} (\ mathbf {r}) = {1 \ peste 8 \ pi \ mu} \ left ({\ frac {\ mathbb {I}} {| \ mathbf {r} |}} + {\ frac {\ mathbf {r} \ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} \ right)}$este un tensor de rangul II (sau mai precis câmp tensorial ) cunoscut sub numele de tensorul Oseen (după Carl Wilhelm Oseen ).

Termenii Stokeslet și soluția punct-force sunt folosiți pentru a descrie . Analog cu sarcina punctuală din electrostatică , Stokeslet este lipsit de forță peste tot, cu excepția originii, unde conține o forță de forță . ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbb {J} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

Pentru o distribuție a forței continue (densitate) , soluția (care dispare din nou la infinit) poate fi apoi construită prin suprapunere: ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {r}) = \ int \ mathbf {f} \ left (\ mathbf {r '} \ right) \ cdot \ mathbb {J} \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ right) \ mathrm {d} \ mathbf {r'}, \ qquad p (\ mathbf {r}) = \ int {\ frac {\ mathbf {f} \ left (\ mathbf { r '} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r'} \ right)} {4 \ pi \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ right | ^ {3}}} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r '}}$

Această reprezentare integrală a vitezei poate fi privită ca o reducere a dimensionalității: de la ecuația diferențială parțială tridimensională la o ecuație bidimensională integrală pentru densități necunoscute.

Prin soluția Papkovich – Neuber

Soluția Papkovich – Neuber reprezintă câmpurile de viteză și presiune ale unui flux Newtonian Stokes incompresibil în termeni de două potențiale armonice .

Prin metoda elementului de graniță

Anumite probleme, cum ar fi evoluția formei unei bule într-un flux Stokes, sunt favorabile soluției numerice prin metoda elementului de graniță . Această tehnică poate fi aplicată atât fluxurilor bidimensionale, cât și celor 3-dimensionale.

Unele geometrii

Fluxul Hele-Shaw

Fluxul Hele-Shaw este un exemplu de geometrie pentru care forțele de inerție sunt neglijabile. Este definit de două plăci paralele dispuse foarte aproape împreună cu spațiul dintre plăcile ocupate parțial de fluid și parțial de obstacole sub formă de cilindri cu generatoare normale față de plăci.

Teoria corpului zvelt

Teoria corpului subțire în fluxul Stokes este o metodă simplă aproximativă de determinare a câmpului fluxului irotațional în jurul corpurilor a căror lungime este mare în comparație cu lățimea lor. Baza metodei este de a alege o distribuție a singularităților fluxului de-a lungul unei linii (deoarece corpul este subțire), astfel încât fluxul lor irotațional în combinație cu un flux uniform să satisfacă aproximativ condiția de viteză normală zero.

Coordonate sferice

Soluția generală a lui Lamb apare din faptul că presiunea satisface ecuația Laplace și poate fi extinsă într-o serie de armonici sferice solide în coordonate sferice. Ca rezultat, soluția la ecuațiile Stokes poate fi scrisă: ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {u} & = \ sum _ {n = - \ infty, n \ neq 1} ^ {n = \ infty} \ left [{\ frac {(n + 3) r ^ {2} \ nabla p_ {n}} {2 \ mu (n + 1) (2n + 3)}} - {\ frac {n \ mathbf {x} p_ {n}} {\ mu (n + 1) (2n + 3)}} \ right] + ... \\\ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = \ infty} [\ nabla \ Phi _ {n} + \ nabla \ times ( \ mathbf {x} \ chi _ {n})] \\ p & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = \ infty} p_ {n} \ end {align}}}$

unde și sunt armonice sferice de ordine solide : ${\ displaystyle p_ {n}, \ Phi _ {n},}$${\ displaystyle \ chi _ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {align} p_ {n} & = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (a_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {a}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ Phi _ {n} & = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (b_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {b}} _ {mn} \ sin m \ phi) \\\ chi _ {n} & = r ^ {n} \ sum _ {m = 0} ^ {m = n} P_ {n} ^ {m} (\ cos \ theta) (c_ {mn} \ cos m \ phi + {\ tilde {c}} _ {mn} \ sin m \ phi) \ end {align}}}$

și sunt polinoamele Legendre asociate . Soluția Mielului poate fi utilizată pentru a descrie mișcarea fluidului în interiorul sau în afara unei sfere. De exemplu, poate fi folosit pentru a descrie mișcarea fluidului în jurul unei particule sferice cu debitul de suprafață prescris, așa-numitul squirmer sau pentru a descrie fluxul în interiorul unei picături sferice de fluid. Pentru fluxurile interioare, termenii cu sunt scăpați, în timp ce pentru fluxurile exterioare termenii cu sunt scăpați (de multe ori convenția este asumată pentru fluxurile exterioare pentru a evita indexarea cu numere negative). ${\ displaystyle P_ {n} ^ {m}}$${\ displaystyle n <0}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle n \ to -n-1}$

Teoreme

Soluția Stokes și teorema Helmholtz conexă

Aici este rezumată rezistența la tragere la o sferă în mișcare, cunoscută și sub numele de soluția lui Stokes. Având în vedere o sferă de rază , care călătorește cu viteză , într-un fluid Stokes cu vâscozitate dinamică , forța de tracțiune este dată de: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle F_ {D}}$

${\ displaystyle F_ {D} = 6 \ pi \ mu aU}$

Soluția Stokes disipează mai puțină energie decât orice alt câmp vector solenoidal cu aceleași viteze la limită: aceasta este cunoscută sub numele de teorema minimă a disipării Helmholtz .

Teorema reciprocă a lui Lorentz

Teorema reciprocă Lorentz prevede o relație între două fluxuri Stokes în aceeași regiune. Luați în considerare regiunea umplută cu lichid delimitată de suprafață . Lăsați câmpurile de viteză și rezolvați ecuațiile Stokes din domeniu , fiecare cu câmpurile de solicitare corespunzătoare și . Atunci se menține următoarea egalitate: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} '}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} '}$

${\ displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {u} \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} '\ cdot \ mathbf {n}) dS = \ int _ {S} \ mathbf {u}' \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {n}) dS}$

Unde este unitatea normală la suprafață . Teorema reciprocă a lui Lorentz poate fi utilizată pentru a arăta că fluxul Stokes „transmite” nemodificat forța totală și cuplul de la o suprafață închisă interioară la o suprafață exterioară de închidere. Teorema reciprocă a lui Lorentz poate fi utilizată și pentru a lega viteza de înot a unui microorganism, cum ar fi cianobacteria , la viteza de suprafață care este prescrisă prin deformări ale formei corpului prin cili sau flageli . ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$${\ displaystyle S}$

Legile lui Faxén

Legile lui Faxén sunt relații directe care exprimă momentele multipolare în ceea ce privește fluxul ambiental și derivatele acestuia. Dezvoltate pentru prima dată de Hilding Faxén pentru a calcula forța și cuplul pe o sferă, acestea iau următoarea formă: ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} & = 6 \ pi \ mu a \ left (1 + {\ frac {a ^ {2}} {6}} \ nabla ^ {2} \ right) \ mathbf {v} ^ {\ infty} (\ mathbf {x}) | _ {x = 0} -6 \ pi \ mu a \ mathbf {U} \\\ mathbf {T} & = 8 \ pi \ mu a ^ {3} (\ mathbf {\ Omega} ^ {\ infty} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {\ omega}) | _ {x = 0} \ end {align}}}$

unde este vâscozitatea dinamică, este raza particulelor, este fluxul ambiental, este viteza particulelor, este viteza unghiulară a fluxului de fundal și este viteza unghiulară a particulei. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ mathbf {v} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbf {U}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ omega}}$

Legile lui Faxén pot fi generalizate pentru a descrie momentele altor forme, cum ar fi elipsoidele, sferoidele și picăturile sferice.

Vezi si

Referințe

• Ockendon, H. & Ockendon JR (1995) Viscous Flow , Cambridge University Press. ISBN  0-521-45881-1 .

linkuri externe

• Demonstrație video a reversibilității în timp a fluxului Stokes de către UNM Fizică și Astronomie