Soi Abelian - Abelian variety

În matematică , în special în geometria algebrică , analiza complexă și teoria numerelor algebrice , o varietate abeliană este o varietate algebrică proiectivă care este, de asemenea, un grup algebric , adică are o lege a grupului care poate fi definită prin funcții regulate . Soiurile abeliene sunt în același timp printre cele mai studiate obiecte în geometria algebrică și instrumente indispensabile pentru multe cercetări pe alte subiecte în geometria algebrică și teoria numerelor.

Un soi abelian poate fi definit prin ecuații care au coeficienți în orice domeniu ; apoi se spune că soiul este definit pe acel câmp. Din punct de vedere istoric, primele soiuri abeliene care au fost studiate au fost cele definite în domeniul numerelor complexe . Astfel de soiuri abeliene se dovedesc a fi exact acele tori complexe care pot fi încorporate într-un spațiu proiectiv complex . Soiurile abeliene definite pe câmpurile numerice algebrice sunt un caz special, care este important și din punctul de vedere al teoriei numerelor. Tehnicile de localizare conduc în mod natural de la soiurile abeliene definite pe câmpuri numerice la cele definite pe câmpuri finite și diferite câmpuri locale . Deoarece un câmp numeric este câmpul de fracțiune al unui domeniu Dedekind , pentru orice prim diferit de zero al domeniului Dedekind , există o hartă de la domeniul Dedekind la coeficientul domeniului Dedekind de către prim, care este un câmp finit pentru toate primele finite . Aceasta induce o hartă de la câmpul fracției la orice astfel de câmp finit. Având în vedere o curbă cu ecuație definită peste câmpul numeric, putem aplica această hartă coeficienților pentru a obține o curbă definită peste un câmp finit, unde alegerile câmpului finit corespund primilor finite ai câmpului numeric.

Soiurile abeliene apar în mod natural ca soiuri iacobiene (componentele legate de zero în soiurile Picard ) și soiuri albaneze ale altor soiuri algebrice. Legea grupului unui soi abelian este neapărat comutativă, iar soiul nu este singular . O curbă eliptică este o varietate abeliană de dimensiune 1. Soiurile abeliene au dimensiunea Kodaira 0.

Istorie și motivație

La începutul secolului al XIX-lea, teoria funcțiilor eliptice a reușit să ofere o bază pentru teoria integralelor eliptice , iar acest lucru a lăsat deschisă o cale evidentă de cercetare. Formele standard pentru integrale eliptice au implicat rădăcinile pătrate ale polinoamelor cubice și quartice . Când acestea au fost înlocuite cu polinoame de grad superior, să zicem chintice , ce s-ar întâmpla?

În lucrarea lui Niels Abel și Carl Jacobi , răspunsul a fost formulat: aceasta ar implica funcții ale a două variabile complexe , având patru perioade independente (adică vectori de perioadă). Acest lucru a dat prima privire asupra unei varietăți abeliene de dimensiunea 2 (o suprafață abeliană ): ceea ce s-ar numi acum Jacobianul unei curbe hipereliptice din genul 2 .

După Abel și Jacobi, unii dintre cei mai importanți contributori la teoria funcțiilor abeliene au fost Riemann , Weierstrass , Frobenius , Poincaré și Picard . Subiectul era foarte popular la acea vreme, având deja o literatură amplă.

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, matematicienii începuseră să folosească metode geometrice în studiul funcțiilor abeliene. În cele din urmă, în anii 1920, Lefschetz a pus baza pentru studiul funcțiilor abeliene în termeni de tori complexe. De asemenea, el pare să fie primul care a folosit numele „varietate abeliană”. În anii 1940, André Weil a fost cel care a dat subiectului fundamentele sale moderne în limbajul geometriei algebrice.

Astăzi, soiurile abeliene formează un instrument important în teoria numerelor, în sistemele dinamice (mai precis în studiul sistemelor hamiltoniene ) și în geometria algebrică (în special soiurile Picard și soiurile albaneze ).

Teoria analitică

Definiție

Un toro complex cu dimensiunea g este un toro cu dimensiunea reală 2 g care poartă structura unui distribuitor complex . Poate fi obținut întotdeauna ca coeficient al unui spațiu vectorial g- dimensional complex printr-o rețea de rang 2 g . O varietate abeliană complexă de dimensiune g este un tor complex de dimensiune g, care este, de asemenea, o varietate algebrică proiectivă în câmpul numerelor complexe. Deoarece sunt tori complexi, soiurile abeliene poartă structura unui grup . Un morfism al soiurilor abeliene este un morfism al soiurilor algebrice subiacente care păstrează elementul de identitate pentru structura grupului. O izogenie este un morfism finit la unu.

Când un toro complex poartă structura unei varietăți algebrice, această structură este neapărat unică. În cazul g = 1, noțiunea de soi abelian este aceeași cu cea a curbei eliptice și fiecare tor complex dă naștere unei astfel de curbe; pentru g > 1 se știe de la Riemann că condiția varietății algebrice impune constrângeri suplimentare unui tor complex.

Condiții Riemann

Următorul criteriu al lui Riemann decide dacă un anumit tor complex este sau nu o varietate abeliană, adică dacă poate fi sau nu încorporat într-un spațiu proiectiv. Să X să fie o g -dimensional torus dat ca X = V / L unde V este un spațiu vectorial complex de dimensiune g și L este o latice în V . Apoi , X este o varietate abeliană dacă și numai dacă există un bine definit pozitiv formă hermitian pe V a cărei parte imaginară ia integral valorile pe L x L . O astfel de formă pe X se numește de obicei o formă Riemann (nedegenerată) . Alegând o bază pentru V și L , se poate face această condiție mai explicită. Există mai multe formulări echivalente; toate acestea sunt cunoscute sub numele de condițiile Riemann.

Jacobianul unei curbe algebrice

Fiecare curbă algebrică C din genus g ≥ 1 este asociată cu o varietate abeliană J de dimensiune g , prin intermediul unei hărți analitică a C în J . Ca un tor, J poartă o structură de grup comutativă , iar imaginea lui C îl generează pe J ca grup. Mai precis, J este acoperit de C : orice punct J provine dintr - o g -tuple de puncte C . Studiul formelor diferențiale asupra C , care dau naștere la integralele abeliene cu care a început teoria, poate fi derivată din teoria mai simple, translație invariant diferențialului asupra J . Soiul abelian J se numește soiul Iacobian al lui C , pentru orice curbă non-singulară C peste numerele complexe. Din punct de vedere al geometriei birationale , câmpul său de funcție este câmpul fix al grupului simetric pe literele g care acționează asupra câmpului funcțional al lui C ^g .

Funcții abeliene

O funcție abeliană este o funcție meromorfă pe o varietate abeliană, care poate fi privită prin urmare ca o funcție periodică a n variabile complexe, având 2 n perioade independente; în mod echivalent, este o funcție în câmpul funcțional al unui soi abelian. De exemplu, în secolul al XIX-lea a existat mult interes pentru integralele hipereliptice care pot fi exprimate în termeni de integrale eliptice. Aceasta se reduce la a cere ca J să fie un produs al curbelor eliptice, până la o izogenie.

Teoreme importante

O teoremă importantă a structurii soiurilor abeliene este teorema lui Matsusaka . Se afirmă că peste un câmp închis algebric, fiecare varietate abeliană este coeficientul Jacobianului unei curbe; adică există o oarecare surjecție a soiurilor abeliene unde este un iacobian. Această teoremă rămâne adevărată dacă câmpul de la sol este infinit. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle J \ to A}$ ${\ displaystyle J}$

Definiție algebrică

Două definiții echivalente ale varietății abeliene într-un câmp general k sunt utilizate în mod obișnuit:

un grup algebric conectat și complet peste k
un grup algebric conectat și proiectiv peste k .

Când baza este câmpul numerelor complexe, aceste noțiuni coincid cu definiția anterioară. Pe toate bazele, curbele eliptice sunt varietăți abeliene de dimensiunea 1.

La începutul anilor 1940, Weil a folosit prima definiție (peste un câmp de bază arbitrar), dar nu a putut dovedi la început că o implică pe a doua. Abia în 1948 a demonstrat că grupurile algebrice complete pot fi încorporate în spațiul proiectiv. Între timp, pentru a face dovada ipotezei Riemann pentru curbele asupra câmpurilor finite pe care o anunțase în 1940, a trebuit să introducă noțiunea de varietate abstractă și să rescrie bazele geometriei algebrice pentru a lucra cu soiuri fără încorporări proiective. (vezi și secțiunea de istorie din articolul Geometrie algebrică ).

Structura grupului de puncte

Prin definiții, un soi abelian este un soi de grup. Se poate dovedi că grupul său de puncte este comutativ .

Pentru C și, prin urmare, prin principiul Lefschetz pentru fiecare câmp închis algebric de zero caracteristic , grupul de torsiune al unei varietăți abeliene de dimensiune g este izomorf la ( Q / Z ) ^{2 g} . Prin urmare, partea sa n -tracțională este izomorfă la ( Z / n Z ) ^{2 g} , adică produsul a 2 g copii ale grupului ciclic de ordinul n .

Când câmpul de bază este un câmp închis algebric cu caracteristica p , n -tracția este încă izomorfă la ( Z / n Z ) ^{2 g} când n și p sunt coprimi . Când n și p nu sunt coprimă, același rezultat poate fi recuperat cu condiția să se interpreteze că se spune că n -tracția definește o schemă finită de grup plat de rang 2 g . Dacă în loc să analizăm structura completă a schemei pe n -trecție, se iau în considerare doar punctele geometrice, se obține un nou invariant pentru soiurile din caracteristica p (așa-numita p -rank când n = p ).

Grupul de k- puncte raționale pentru un câmp global k este generat finit de teorema Mordell-Weil . Prin urmare, prin teorema structurii pentru grupurile abeliene finit generate , este izomorfă pentru un produs al unui grup abelian liber Z ^r și un grup comutativ finit pentru un număr întreg non-negativ r numit rangul varietății abeliene. Rezultate similare sunt valabile pentru alte clase de câmpuri k .

Produse

Produsul unei varietăți abeliene A de dimensiune m și a unei varietăți abeliene B de dimensiune n , pe același câmp, este o varietate abeliană de dimensiune m + n . Un soi abelian este simplu dacă nu este izogen pentru un produs din soiuri abeliene de dimensiune inferioară. Orice soi abelian este izogen pentru un produs de soiuri abeliene simple.

Polarizare și varietate dublă abeliană

Soi dual abelian

La o varietate abeliană A peste un câmp k , se asociază o varietate abeliană duală A ^v (peste același câmp), care este soluția la următoarea problemă a modulelor . O familie de pachete de linii de gradul 0 parametrizate de o k -variație T este definită ca fiind un pachet de linii L pe A × T astfel încât

pentru toate t în T , restricția de la L la A × { t } este un pachet de linii de grad 0,
restricția lui L la {0} × T este un pachet de linii triviale (aici 0 este identitatea lui A ).

Apoi , există o varietate A ^v și o familie de grad 0 linie mănunchiuri P , pachetul Poincaré, Parametrarea prin A ^v astfel încât o familie L pe T este asociat un unic morfism f : T → A ^v , astfel încât L este izomorf cu retragerea lui P de -a lungul morfismului 1 _A × f : A × T → A × A ^v . Aplicând acest lucru în cazul în care T este un punct, vedem că punctele lui A ^v corespund fasciculelor de linii de grad 0 pe A , deci există o operație de grup natural pe A ^v dată de produsul tensor al fasciculelor de linii, ceea ce îl face într-un soi abelian.

Această asociere este o dualitate în sensul că există un izomorfism natural între dublul dual A ^vv și A (definit prin pachetul Poincaré) și că este funcțional contravariant , adică se asociază tuturor morfismelor f : A → B morfisme duale f ^v : B ^v → A ^v într-un mod compatibil. N -torsion unei varietăți abeliană și n -torsion dublei sale sunt duble unul cu altul atunci când n este la caracteristica prime între ele bazei. În general - pentru toate n - schemele de grup n -trecție ale soiurilor duale abeliene sunt duale Cartier reciproc. Aceasta generalizează asocierea Weil pentru curbele eliptice.

Polarisări

O polarizare a unui soi abelian este o izogenie dintr-un soi abelian în dualitatea sa, care este simetrică în raport cu dubla dualitate pentru soiurile abeliene și pentru care retragerea pachetului Poincaré de-a lungul morfismului grafic asociat este amplă (deci este analogă cu o formă pătratică pozitiv-definită). Soiurile abeliene polarizate au grupuri finite de automorfism . O polarizare principală este o polarizare care este un izomorfism. Iacobienii de curbe sunt în mod natural echipați cu o polarizare principală de îndată ce se alege un punct de bază rațional arbitrar pe curbă, iar curba poate fi reconstruită din iacobianul polarizat atunci când genul este> 1. Nu toate soiurile abeliene polarizate în principal sunt iacobiene de curbe; vezi problema Schottky . O polarizare induce o involuție Rosati pe inelul endomorphism al A . ${\ displaystyle \ mathrm {End} (A) \ otimes \ mathbb {Q}}$

Polarisări asupra numerelor complexe

De-a lungul numerelor complexe, o varietate abelian polarizată poate fi definit ca o varietate abeliană A , împreună cu o alegere a unui formular Riemann H . Două forme Riemann H ₁ și H ₂ se numesc echivalente dacă există numere întregi pozitive n și m astfel încât nH ₁ = mH ₂ . O alegere a unei clase de echivalenta de forme Riemann pe A se numește o polarizare a A . Un morfism de varietăți abeliene polarizate este un morfism A → B a soiurilor abeliene astfel încât pullback a formei Riemann pe B la A este echivalentă cu forma dată pe A .

Schema abeliană

Se poate defini și schema soiurilor abeliene - teoretic și relativ la o bază . Acest lucru permite un tratament uniform al fenomenelor, cum ar fi reducerea mod p a soiurilor abeliene (a se vedea Aritmetica soiurilor abeliene ) și parametrii-familii ale soiurilor abeliene. O schemă abeliană peste o schemă de bază S cu dimensiunea relativă g este o schemă de grup adecvată și netedă peste S ale cărei fibre geometrice sunt conectate și de dimensiunea g . Fibrele unei scheme de abeliană sunt soiuri abeliene, astfel încât s -ar putea gândi la un sistem de abeliană peste S ca fiind o familie de soiuri abeliene Parametrarea de S .

Pentru o schemă abeliană A / S , grupul de puncte de n- tracțiune formează o schemă de grup plat finit . Unirea punctelor p ⁿ -trecție, pentru toate n , formează un grup p-divizibil . Deformările schemelor abeliene sunt, conform teoremei Serre – Tate , guvernate de proprietățile de deformare ale grupurilor p- divizibile asociate .

Exemplu

Să fie astfel încât să nu aibă rădăcini complexe repetate. Atunci discriminantul este diferit de zero. Să , așa este un subschem deschis al . Atunci s- a încheiat o schemă abeliană . Poate fi extins la un model Néron over , care este o schemă de grup netedă , dar modelul Néron nu este adecvat și, prin urmare, nu este o schemă abeliană . ${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + Ax + B}$ ${\ displaystyle \ Delta = -16 (4A ^ {3} + 27B ^ {2})}$ ${\ displaystyle R = \ mathbb {Z} [1 / \ Delta]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} R}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Proj} R [x, y, z] / (y ^ {2} zx ^ {3} -Axz ^ {2} -Bz ^ {3})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} R}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$

Inexistența

VA Abrashkin și Jean-Marc Fontaine au dovedit în mod independent că nu există soiuri abeliene non-zero peste Q cu o reducere bună la toate primele. Echivalent, nu există scheme nenul abeliene peste Spec Z . Dovada presupune arătarea faptului că coordonatele punctelor p ⁿ -cortoare generează câmpuri de număr cu ramificație foarte mică și, prin urmare, de discriminant mic, în timp ce, pe de altă parte, există limite inferioare pentru discriminanți de câmpuri de număr.

Soi semiabelian

Un soi semiabelian este un soi de grup comutativ care este o extensie a unui soi abelian de către un tor .

Vezi si

Referințe

Surse

Birkenhake, Christina; Lange, H. (1992), Complex Abelian Varieties , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-54747-3. Un tratament cuprinzător al teoriei complexe, cu o imagine de ansamblu asupra istoriei subiectului.
Dolgachev, IV (2001) [1994], „Schema Abeliană” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press
Falsuri, Gerd ; Chai, Ching-Li (1990), Degenerarea soiurilor abeliene , Springer Verlag , ISBN 3-540-52015-5
Milne, James, Abelian Varieties , recuperat la 6 octombrie 2016. Note de curs online.
Mumford, David (2008) [1970], Soiuri abeliene , Institutul Tata de Studii Fundamentale de Cercetare în Matematică, 5 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-81-85931-86-9, MR 0282985 , OCLC 138290
Venkov, BB; Parshin, AN (2001) [1994], "Abelian_variety" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Bruin, N; Flynn, EV, N-COVERS OF HYPERELLIPTIC CURVES (PDF) , Oxford: Mathematical Institute, University of Oxford. Descrierea Jacobianului curbelor de acoperire

Languages

In other projects