Wektor

Graficzna reprezentacja wektora jako odcinka zorientowanego na linii prostej .

W matematyce i fizyce wektor ​ jest matematyczną jednostką , taką jak prosta lub płaszczyzna . Wektor jest reprezentowany przez odcinek liniowy zorientowany w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Wektor jest całkowicie określony w trzech wymiarach przez trzy liczby. Na przykład dla wektora pozycji we współrzędnych prostokątnych (x,y,z), we współrzędnych cylindrycznych (ρ,φ,z) lub we współrzędnych sferycznych (r,φ,θ). Powszechna definicja, że ​​wektor ma wartość (moduł) i kierunek wynika z użycia współrzędnych sferycznych (przy θ=π/2) lub cylindrycznych (przy z=0) w płaszczyźnie xy. W tym przypadku (w płaszczyźnie xy) moduł odpowiada dokładnie składowym ρ lub (wielkość wektora), a kierunek wyznacza kąt φ. Sens, który jest tak bardzo podkreślany (po hiszpańsku) jako cecha wektora, jest zbędny. Ponieważ składowa φ wektora obejmuje od 0 do 2π, ergo, nie jest konieczne podawanie znaczenia. Tak by było, gdyby była to linia prosta, która obrócona o radiany π jest dokładnie taka sama i wtedy trzeba nadać kierunek. ​ Wektory pozwalają nam reprezentować wektorowe wielkości fizyczne, takie jak te wymienione poniżej. W matematyce wektor definiuje się jako element przestrzeni wektorowej . Pojęcie to jest bardziej abstrakcyjne i dla wielu przestrzeni wektorowych nie jest możliwe przedstawienie ich wektorów przez moduł i kierunek. W szczególności nieskończenie wymiarowe przestrzenie bez iloczynów skalarnych nie są w ten sposób przedstawiane. Wektory w przestrzeni euklidesowej mogą być reprezentowane geometrycznie jako odcinki linii , w płaszczyźnie ( dwuwymiarowej ) lub w przestrzeni ( trójwymiarowej ). $\R$$\mathbb{R} 2$$\mathbb{R} 3$

W fizyce definiuje się ją jako odcinek prostej , która znajduje się w przestrzeni płaszczyzny, zarówno dwuwymiarowej, jak i trójwymiarowej. Przykładem zjawiska fizycznego, które można opisać za pomocą wektorów, jest prędkość samochodu , nie wystarczyłoby opisać ją tylko liczbą , czyli tak jak wskazuje prędkościomierz , ale wymagane jest wskazanie kierunku (gdzie będzie) . Innym przykładem jest siła działająca na obiekt, ponieważ jej działanie zależy, oprócz jego wielkości lub modułu, od kierunku, w którym działa; również przemieszczenie obiektu, ponieważ konieczne jest określenie odległości, jaką pokonuje, oraz kierunku ruchu lub początkowej i końcowej pozycji obiektu.

Podstawowe pojęcia w wektorach euklidesowych

Ta sekcja wyjaśnia podstawy, potrzebę wektorów reprezentujących pewne wielkości fizyczne, składniki wektora euklidesowego lub geometrycznego, a także ich notację itp. Inne, bardziej ogólne typy wektorów omówiono w dalszej części.

Definicja

Składniki wektora.

Wektor jest elementem przestrzeni wektorowej. W praktyce, kiedy mamy do czynienia z wektorami, są one zwykle wyrażane w oparciu o wektory . W ten sposób ustaliłem określoną przestrzeń wektorową i bazę w niej:

( rzeczywisty) wektor wymiaru jest reprezentowany przez krotkę liczb rzeczywistych (zwanych składowymi wektora). Zbiór wszystkich wektorów wymiarowych jest reprezentowany jako (utworzony przez iloczyn kartezjański ). Zatem wektor należący do przestrzeni jest reprezentowany jako: $n\,$$? {R} n$$\scriptstyle v$$? {R} n$

$v=(a_{1},a_{2},a_{3},\kropki ,a_{n})$, gdzie$v\w {\mathbb {R}}^{n}$

Na wektor można też spojrzeć z punktu widzenia geometrii jako wektor geometryczny (często wykorzystujący przestrzeń trójwymiarową lub dwuwymiarową ). ${\mathbb {R}}^{3}$$?{R} 2$

Stały wektor płaszczyzny euklidesowej to zorientowany odcinek, w którym należy wyróżnić trzy cechy: ]

• Moduł: długość segmentu wyrażona jako wartość liczbowa i jednostka.
• Kierunek: kąt wektora w stosunku do osi x.
• Kierunek: Orientacja segmentu od początku do końca wektora. Może być pozytywny lub negatywny.

W języku angielskim słowo kierunek wskazuje zarówno kierunek, jak i kierunek wektora, który definiuje wektor o dwóch cechach: moduł i kierunek. ]

Stałe wektory płaszczyzny są oznaczone dwiema dużymi literami (i strzałką w prawo nad nimi), na przykład , wskazując odpowiednio ich początek i punkt końcowy. Oznacza to, że punkt A jest początkiem lub punktem aplikacji, a punkt B jest końcem wektora , którego współrzędne to: ${\overrightarrow {AB}}$${\overrightarrow {AB}}$

$\overrightarrow {AB}=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})\,$

Charakterystyka wektora

Współrzędne kartezjańskie .

Wektor może być zdefiniowany przez jego współrzędne , jeśli wektor znajduje się na płaszczyźnie xy, jest reprezentowany:

${\textstyle {\vec {V}}={\boldsymbol {V}}=(V_{x},V_{y})}$

będąc jego współrzędnymi:

$V_{x},\;V_{y}$

Jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąt utworzony przez składowe (jako odnogi) i (jako przeciwprostokątną): można go obliczyć mnożąc przez cosα (będący α kąt utworzony przez i ) lub mnożąc przez sinβ (będący β kąt utworzony przez oraz ). Podobnie można ją obliczyć mnożąc przez sinα lub mnożąc przez cosβ (biorąc pod uwagę wspomniane wyżej pozycje α i β ). ${\ Displaystyle V_ {x}, V_ {y}}$$v$${\ Displaystyle V_ {x}}$$v$${\ Displaystyle V_ {x}}$$v$$v$$V_{y}$$v$$V_{y}$$v$$v$

Będąc wektorem, suma wektorowa jego współrzędnych:

${\vec {V}}={\vec {V_{x}}}+{\vec {V_{y}}}$

Współrzędne trójwymiarowe .

Jeśli wektor ma trzy rzeczywiste wymiary, reprezentowane na osiach x, y, z, to można go przedstawić:

${\vec {V}}={\boldsymbol {V}}=(V_{x},V_{y},V_{z})$

będąc jego współrzędnymi:

$V_{x},\;V_{y},\;V_{z}$

Jeśli przedstawimy wektor graficznie, możemy wyróżnić następujące elementy:

Linia wsparcia lub kierunek , na którym rysowany jest wektor.

Moduł lub amplituda o długości proporcjonalnej do wartości wektora.

Kierunek wskazywany przez grot strzałki jest jednym z dwóch możliwych na linii podparcia.

Punkt aplikacji, który odpowiada locus, któremu odpowiada charakterystyka wektora reprezentowana przez wektor.

Nazwa lub nominał to litera, znak lub sekwencja znaków, które określają wektor .

Dlatego w wektorze możemy rozróżnić:

Nazwa

Adres zamieszkania

Sens

Moduł

punkt aplikacji

Wielkości wektorowe

Graficzna reprezentacja wielkości wektorowej, wskazująca punkt jej zastosowania i wersory kartezjańskie.

Reprezentacja wektorów.

Przeciwko tym wielkościom fizycznym, takim jak masa , ciśnienie , objętość , energia , temperatura itp.; które są całkowicie zdefiniowane przez liczbę i jednostki użyte do ich pomiaru, pojawiają się inne, takie jak przemieszczenie , prędkość , przyspieszenie , siła , pole elektryczne itp., które nie są w pełni zdefiniowane przez podanie danych liczbowych, ale mają powiązany adres z nimi. Te ostatnie wielkości nazywane są wektorami , w przeciwieństwie do tych pierwszych nazywanych skalarami .

Wielkości wektorowe są reprezentowane przez jednostkę matematyczną zwaną wektorem. W przestrzeni euklidesowej o nie więcej niż trzech wymiarach wektor jest reprezentowany przez segment zorientowany. Zatem wektor charakteryzują następujące elementy: jego długość lub moduł , z definicji zawsze dodatni, oraz kierunek , który może być reprezentowany przez sumę jego ortogonalnych składowych wektora , równoległych do osi współrzędnych; lub przez współrzędne biegunowe , które określają kąt, jaki wektor tworzy z dodatnimi osiami współrzędnych. ]

Jest reprezentowany jako segment zorientowany, z jednym kierunkiem, narysowany podobnie do „strzałki”. Jego długość reprezentuje moduł wektora, linia wskazuje kierunek, a „grot” wskazuje jego sens. ]

notacja

Wielkości wektorowe są reprezentowane w tekstach drukowanych pogrubionymi literami , aby odróżnić je od wielkości skalarnych reprezentowanych kursywą . W tekstach rękopisów wielkości wektorowe są reprezentowane przez umieszczenie strzałki nad literą, która oznacza ich moduł (który jest skalarem ).

przykłady

• ${\mathbf A},\ {\mathbf a},\ {\boldsymbol {\omega }},$… reprezentują odpowiednio wielkości wektorów modułów A , a , ω , … Moduł wielkości wektorów jest również reprezentowany przez zawarcie zapisu odpowiadającego wektorowi między słupkami: …$|{\mathbf A}|,\ |{\mathbf a}|,\ |{\boldsymbol {\omega }}|,$
• W tekstach odręcznych jest napisane: …dla wektorów i …lub …dla modułów.${\vec A},\ {\vec a},\ {\vec {\omega }},$$|{\vec A}|,\ |{\vec a}|,\ |{\vec {\omega }}|,$$A,\ a,\ {\omega},$

W stosownych przypadkach wielkość wektora jest reprezentowana przez odniesienie do początku i punktu końcowego zorientowanego segmentu, który reprezentuje go geometrycznie; w związku z tym wektory przedstawione na rysunku 2 są oznaczone w postaci , … notacja ta jest bardzo przydatna dla wektorów reprezentujących przemieszczenie. ${\mathbf A}=\overrightarrow {MN},{\mathbf B}=\overrightarrow {OP}\,$

Oprócz tych konwencji wektory jednostkowe lub wersory, których moduł jest jednością, są często reprezentowane przez cyrkumfleks nad nimi, na przykład . ${\mathbf {{\kapelusz {u}}}},{\mathbf {{\kapelusz {v}}}}$

Klasyfikacja wektorów

W zależności od kryteriów użytych do określenia równości lub ekwiwalencji dwóch wektorów można wyróżnić:

• Swobodne wektory: nie są stosowane w pewnym momencie.
• Przesuwające się wektory: punkt aplikacji może przesuwać się wzdłuż linii działania.
• Stałe lub połączone wektory: są stosowane w określonym punkcie.

Możemy również odwołać się do:

• Wektory jednostkowe: wektory modułu pierwszego.
• Wektory współbieżne lub kątowe: wektory, których kierunki lub linie działania przechodzą przez ten sam punkt. Są one również często nazywane kątowymi, ponieważ tworzą między nimi kąt.
• Przeciwne wektory: wektory o jednakowej wielkości i kierunku, ale przeciwnych kierunkach. W języku angielskim mówi się, że są one równej wielkości, ale przeciwne kierunki, ponieważ kierunek wskazuje również kierunek.
• Wektory współliniowe: wektory, które mają tę samą linię działania.
• Wektory równoległe: wektory, których linie działania są równoległe.
• Wektory współpłaszczyznowe: wektory, których linie działania są współpłaszczyznowe (umieszczone na tej samej płaszczyźnie).

Komponenty wektora

Komponenty wektorowe.

Wektor w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej można wyrazić jako kombinację liniową trzech wersorów jednostkowych lub wersorów, które są do siebie prostopadłe i stanowią wektor bazowy .

We współrzędnych kartezjańskich wektory jednostkowe są reprezentowane przez , , , ( lub u , v , w ) równolegle do odpowiednich osi , , . Domyślne składowe wektora można zapisać w nawiasach i oddzielić przecinkami: ${\mathbf {i}}\,$${\mathbf {j}}$${\mathbf {k}}$$x$$Tak$$z$

${\mathbf {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$

lub być wyrażona jako kombinacja wektorów jednostkowych określonych w bazie wektorowej. Zatem w kartezjańskim układzie współrzędnych będzie to

${\mathbf {a}}=a_{x}\,{\mathbf {i}}+a_{y}\,{\mathbf {j}}+a_{z}\,{\mathbf {k}}$

Reprezentacje te są sobie równoważne, a wartości , , , są składnikami wektora, które, o ile nie zaznaczono inaczej, są liczbami rzeczywistymi . $a_{x}$$a_{y}$$a_{z}$

Wygodną reprezentacją wielkości wektorowych jest wektor kolumnowy lub wektor wierszowy , szczególnie gdy w grę wchodzą operacje na macierzach (takie jak zmiana bazy), jak następuje:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ zacząć {bmatrix} a_ {x} \ \ a_ {y} \ \ a_ {z} \ \ \ koniec {bmatrix}} \ qquad \ mathbf {a} = [a_ { x}\ a_{y}\ a_{z}]}$

Na przykład wektory jednostkowe byłyby wyrażone w następujący sposób:

${{\mathbf i}}=[1\ 0\ 0],\ {{\mathbf j}}=[0\ 1\ 0],\ {{\mathbf k}}=[0\ 0\ 1]$

Lemat Zorna , będący konsekwencją aksjomatu wyboru , pozwala stwierdzić , że każda przestrzeń wektorowa dopuszcza bazę wektorową , tak że każdy wektor jest reprezentowalny jako iloczyn pewnych składowych względem tej bazy . Biorąc pod uwagę wektor, istnieje tylko skończona liczba niezerowych składowych.

Graficzna reprezentacja wektorów

Są osoby, które nie zalecają używania grafiki , aby uniknąć pomyłek pojęć i wprowadzania w błąd, bez badań, które to potwierdzają, prawdą jest również, że pamięć jest stymulowana z lepszymi wynikami. Dla tego:

• Wizualna reprezentacja z symbolem strzałki (segment i trójkąt na jednym końcu) nazywana jest wektorem .
• Wizualna prostoliniowość strzały lub jej krzywizna nie odróżniają jej w symbolu, jeśli oba końce pozostają w tym samym miejscu i kolejności.
• Fakt, że strzałka sama się zamyka, wskazuje na brak efektów algebraicznych .
• Aby zwizualizować sumę wektorów, zostanie to zrobione poprzez ich łańcuchowanie, czyli połączenie końca, który ma trójkąt (koniec) pierwszego wektora z końcem, który nie ma jednego (początku) drugiego wektora, zachowując właściwy dla przestrzeni kierunek i odległość obu końców, ponieważ te dwie cechy wizualnie odróżniają je od innych wektorów.
• Skalary będą przedstawiane linią przerywaną wyłącznie jako rozróżnienie, ponieważ nie zawsze należą do przestrzeni wektorów .

Każdy z przypadków występujących w definicji sumy operacji wektorów i iloczynu przez skalar jest badany:

Dodawanie wektorów

Definicja sumy wektorów w porządku u + v daje inny wektor, to jest jak łączenie, zawsze wizualnie, wektora u , a następnie wektora v . Powiemy, że u + v upraszcza się jako wektor w lub że w rozkłada się jako suma wektorów u i v .

1) Powiedzieć, że u + v = v + u , to wymagać, aby dwie sumy uprościć do tego samego wektora, na czarno. Zauważ, że w fizyce wektory w kolorze czerwonym symulują rozkład sił wywieranych przez czarny wektor w jego początku i są reprezentowane przez równoległobok .

2) Powiedzieć, że u +( v + w )=( u + v )+ w , to wymagać, aby uproszczenia sum wektorowych mogły być opcjonalne w dowolnym łańcuchu sum.

3) Powiedzieć, że istnieje wektor zerowy ( element neutralny ) taki, że u + 0= u , jest równoważne wymaganiu, aby istniał wektor, który nie jest w stanie dokonać, poprzez dodanie, jakiejkolwiek modyfikacji wszystkich wektorów.

4) Powiedzieć, że u +(- u )=0, to wymagać istnienia przeciwnego elementu , - u , który po dodaniu do u upraszcza się do wektora zerowego .

Iloczyn razy skalar

Iloczyn definicji przez skalar daje inny wektor; to jest jak modyfikowanie punktu końcowego wektora u , zawsze wizualnie. $a\cdot u$

Z jednej strony przedstawienie produktu w przypadku, gdy ciało skalarów wizualnie modyfikuje długość obrazu wektorowego, przy czym oba te elementy są zawsze nałożone; z drugiej strony, reprezentacje w przypadku, gdy oprócz modyfikacji długości, dodają również obroty , aby ułatwić wizualnie, są uważane za wyśrodkowane na początku wektora, te modyfikacje są nieco bardziej wyraziste, wizualnie, ale nie łatwiejsze niż w przypadku rzeczywistym: $K={\mathbb {R}}$$K={\mathbb {C}}$

a) Powiedzieć, że a ( bu )=( ab ) u , to wymagać, aby łańcuch produktów a ( b ( u )) mógł być uproszczony jako jeden, c = ab , wtedy ( ab ) u pozostaje jako cu .

b) Powiedzieć, że skalar 1 istnieje w taki sposób, że 1 u = u , jest równoważne stwierdzeniu, że istnieje skalar niezdolny do przeprowadzenia za pomocą iloczynu jakiejkolwiek modyfikacji wszystkich wektorów.

c) Powiedzieć, że a ( u + v )= au + av , to wymagać własności rozdzielczej względem dodawania wektorów .

d) Powiedzieć, że ( a + b ) u = au + bu , to wymagać własności rozdzielczej względem sumy skalarnej.

W prawdziwym przypadku rotacje z poprzednich przykładów muszą zostać wyeliminowane.

Operacje na wektorach euklidesowych

Dodawanie wektorów

Aby dodać dwa wolne wektory (wektor i wektor), dwa wektory są wybierane jako reprezentatywne tak, że końcowy punkt końcowy jednego zbiega się z początkowym punktem końcowym drugiego wektora.

Dodawanie wektorów w tym samym punkcie

Dodawanie wektorów jest dobrze zdefiniowane, jeśli oba wektory należą do tej samej przestrzeni wektorowej, w fizyce, aby można było dodać dwa wektory, muszą one być zastosowane do tego samego punktu. Zestawienie sił na ciele sztywnym, gdy punkty przyłożenia nie pokrywają się, prowadzi do pojęcia momentu siły przy danych dwóch siłach z punktami przyłożenia siła wypadkowa jest definiowana jako para: ^{[ potrzebne źródło ]}$\scriptstyle {\mathbf {F}}_{1},{\mathbf {F}}_{2}$$\scriptstyle {\mathrm {P}}_{1},{\mathrm {P}}_{2}$

$({\mathrm {P}}_{R},{\mathbf {F}}_{R})=({\mathrm {P}}_{1},{\mathbf {F}}_{1} )\boxplus ({\mathrm {P}}_{2},{\mathbf {F}}_{2})$

gdzie jest uogólnioną sumą wektorów zastosowanych w różnych punktach. Punktem zastosowania jest punkt przecięcia linii działania sił. Składowe otrzymanego wektora siły są w rzeczywistości sumą zwykłych składowych wektorów: $\boxplus$$\scriptstyle {\mathrm {P}}_{R}$

$({\mathrm {P}}_{R},{\mathbf {F}}_{R})=({\mathrm {P}}_{R},{\mathbf {F}}_{1} +{\mathbf {F}}_{2})$

Moment wypadkowy to moment siły zbioru sił wokół obliczonego punktu siły wypadkowej.

Metoda równoległoboku

Metoda równoległoboku.

Ta metoda pozwala tylko na dodawanie wektorów dwa na dwa. Polega na graficznym rozmieszczeniu dwóch wektorów w taki sposób, że początki obu wektorów pokrywają się w punkcie, rysując linie równoległe do każdego z wektorów, na końcu drugiego i równej długości, tworząc w ten sposób równoległobok (patrz wykres). Wektor wynikający z sumy jest przekątną tego równoległoboku, która rozpoczyna się od wspólnego początku obu wektorów.

Metoda trójkąta lub metoda wielokąta

Metoda trójkąta.

Polega na graficznym rozmieszczeniu jednego wektora po drugim, w uporządkowany sposób: początek każdego z wektorów pokrywa się z końcem następnego. Otrzymany wektor to taki, którego początek pokrywa się z pierwszym wektorem i kończy się na końcu ostatniego.

Metoda analityczna dla sumy i różnicy wektorów

Biorąc pod uwagę dwa wolne wektory,

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {x} \ mathbf {i} + a_ {y} \ mathbf {j} + a_ {z} \ mathbf {k})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {x} \ mathbf {i} + b_ {y} \ mathbf {j} + b_ {z} \ mathbf {k})}$

Wynik ich sumy lub ich różnicy wyraża się w postaci

${\mathbf {a}}\pm {\mathbf {b}}=(a_{x}{\mathbf {i}}+a_{y}{\mathbf {j}}+a_{z}{\mathbf { k}})\pm (b_{x}{\mathbf {i}}+b_{y}{\mathbf {j}}+b_{z}{\mathbf {k}})$

i zamawianie komponentów,

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ pm \ mathbf {b} = (a_ {x} \ pm b_ {x}) \ mathbf {i} + (a_ {y} \ pm b_ {y}) \ mathbf {j } +(a_{z}\pm b_{z})\mathbf {k} }$

Z notacją macierzową byłoby to

${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ pm \ mathbf {b} = {\ zacząć {bmatrix} a_ {x} \ \ a_ {y} \ \ a_ {z} \ \ \ koniec {bmatrix}} \ pm {\ begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}\pm b_{x}\\a_{y }\pm b_{y}\\a_{z}\pm bz\\\end{bmatrix}}}$

Znając moduły dwóch danych wektorów i , a także kąt między nimi, moduł wynosi: ${\mathbf {a}}$${\mathbf{b}}$$\theta$${\mathbf {a}}\pm {\mathbf {b}}$

$|{\mathbf {a}}\pm {\mathbf {b}}|={\sqrt {a^{2}+b^{2}\pm 2ab\cos \theta}}\leq {\sqrt {a 2 +b 2 +2ab\cos θ }}$

Wyprowadzenie tego wyrażenia można znaleźć w wyprowadzeniu modułu dodawania .

Iloczyn wektora i skalara

Iloczyn razy skalar.

Iloczyn wektora przez skalar to inny wektor, którego moduł jest iloczynem skalara razy moduł wektora, którego kierunek jest równy kierunkowi wektora i którego kierunek jest przeciwny do tego, jeśli skalar jest ujemny.

Zaczynając od graficznej reprezentacji wektora, w tej samej linii jego kierunku przyjmujemy tyle razy moduł wektora, ile wskazuje skalar.

Niezależnie od tego , czy są skalarem, czy wektorem, iloczyn by jest reprezentowany i wykonywany przez pomnożenie każdego ze składników wektora przez skalar; to znaczy, $p\,$${\mathbf {a}}$$p\,$${\mathbf {a}}$$p\,{\mathbf {a}}$

$p\,{\mathbf {a}}=pa_{x}{\mathbf {i}}+pa_{y}{\mathbf {j}}+pa_{z}{\mathbf {k}}$

Z notacją macierzową byłoby to

${\ Displaystyle p \, \ mathbf {a} = p \, {\ zacząć {bmatrix} a_ {x} \ \ a_ {y} \ \ a_ {z} \ \ \ koniec {bmatrix}} = {\ zacząć { bmatrix}p\,a_{x}\\p\,a_{y}\\p\,a_{z}\\\end{bmatrix}}}$

Zwykła pochodna wektora

Mając wektor będący funkcją zmiennej niezależnej

${\mathbf {a}}(t)=a_{x}(t){\mathbf {i}}+a_{y}(t){\mathbf {j}}+a_{z}(t){\ matematyka {k}}$

Obliczamy zwykłą pochodną wektora względem zmiennej t , obliczając pochodną każdego z jej składowych tak, jakby były skalarami:

${\frac {d}{dt}}{\mathbf {a}}(t)={\frac {d}{dt}}a_{x}(t){\mathbf {i}}+{\frac { d}{dt}}a_{y}(t){\mathbf {j}}+{\frac {d}{dt}}a_{z}(t){\mathbf {k}}$

biorąc pod uwagę, że wektory jednostkowe są stałe pod względem wielkości i kierunku.

Z notacją macierzową byłoby to

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ mathbf {a} (t) = {\ Frac {d} {dt}} \ {\ rozpocznij {bmatrix} a_ {x} \ \ a_ {y} \\a_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {d}{dt}}a_{x}\\{\frac {d}{dt}}a_{y }\\{\frac {d}{dt}}a_{z}\\\end{bmatrix}}}$

${\mathbf {r}}(t)=\sin(t){\mathbf {i}}+\cos(t){\mathbf {j}}+5t{\mathbf {k}}$

Zobaczmy przykład wyprowadzenia wektora, zaczynając od funkcji wektorowej:

${\mathbf {r}}(t)=\sin(t){\mathbf {i}}+\cos(t){\mathbf {j}}+5t{\mathbf {k}}$

Ta funkcja reprezentuje spiralną krzywą wokół osi z o promieniu jednostkowym, jak pokazano na rysunku. Możemy sobie wyobrazić, że ta krzywa jest trajektorią cząstki, a funkcja reprezentuje wektor położenia w funkcji czasu t . Rozróżniając będziemy mieli: ${\mathbf r}(t)\,$

${\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}\sin(t){\mathbf {i}}+{\frac {d} {dt}}\cos(t){\mathbf {j}}+{\frac {d}{dt}}5t{\mathbf {k}}$

Realizacja pochodnej:

${\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}=\cos(t){\mathbf {i}}-\sin(t){\mathbf {j}}+5{\ matematyka {k}}$

Pochodną wektora położenia względem czasu jest prędkość, więc ta druga funkcja wyznacza wektor prędkości cząstki w funkcji czasu, możemy napisać:

${\mathbf {v}}(t)=\cos(t){\mathbf {i}}-\sin(t){\mathbf {j}}+5{\mathbf {k}}$

Ten wektor prędkości jest wektorem stycznym do trajektorii w punkcie zajmowanym przez cząstkę w każdej chwili. Sens jest w kierunku zwiększania wartości wartości skalarnych. ​ Gdybyśmy ponownie różnicowali, otrzymalibyśmy wektor przyspieszenia.

Kowariantna pochodna wektora

Gdy zamiast używać „stałej bazy” w całej dziedzinie wektora, stosuje się „ruchome bazy”, jak w przypadku współrzędnych krzywoliniowych , całkowita zmienność wektora zależnego od czasu zależy nie tylko od zmienności składowych, jak w przypadku zwykłej pochodnej, ale także zmienności orientacji bazy. Całkowita zmienność nazywana jest pochodną kowariantną :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta} {\ delta t}} \ mathbf {a} (t) = \ suma​​k} \ lewo ({\ kropka {a}} ^ {k} \ mathbf {e} k}+a^{k}{\dot {\mathbf {e} }}_{k}\right)={\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)+\mathbf {a } (t)\times {\boldsymbol {\omega }}(t)}$

Gdy używana jest stała podstawa (współrzędne kartezjańskie), pochodna kowariantna pokrywa się ze zwykłą pochodną. Na przykład podczas badania ruchu cząstki z obracającego się, nieinercyjnego układu odniesienia, przyspieszenia Coriolisa i dośrodkowe wynikają z zawartych w nich czynników i innych mniej powszechnych czynników. ${\boldsymbol \omega}$

Kąt między dwoma wektorami

Kąt określony przez kierunki dwóch wektorów i jest określony wzorem: ${\mathbf {a}}$${\mathbf{b}}$

${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ Frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {| \ mathbf {a} | \, | \ mathbf {b} |}}}$

Rozkłady wektora

Mając wektor i kierunek odniesienia podany przez wektor jednostkowy , pierwszy wektor można rozbić na składową równoległą i inną składową prostopadłą do kierunku odniesienia: ${\mathbf {a}}$${\mathbf {n}}$

${\mathbf {a}}={\mathbf {a}}_{\|}+{\mathbf {a}}_{\bot }=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {a} }){\mathbf {n}}+({\mathbf {n}}\times {\mathbf {a}})\times {\mathbf {n}}$

W fizyce ten rozkład jest używany w różnych kontekstach, takich jak rozkładanie przyspieszenia na składową równoległą do prędkości i inną składową prostopadłą do niej. Również naprężenie mechaniczne w punkcie na płaszczyźnie można rozłożyć na komponent normalny do płaszczyzny i inny równoległy.

Ponadto, biorąc pod uwagę pole wektorowe zdefiniowane nad domeną Lipschitza , ograniczone , po prostu połączone i całkowalne do kwadratu , dopuszcza tak zwaną dekompozycję Helmholtza jako sumę pola konserwatywnego i pola solenoidu : ${\mathbf {u}}({\mathbf {x}})$ ${\mathbf {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{3}$

${\mathbf {u}}={\mathbf {u}}_{C}+{\mathbf {u}}_{S}=({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )+({\boldsymbol { \nabla }}\razy {\mathbf {A}})$

Przesunięcie bazy wektora

Zmiana bazy wektora.

W matematyce rotacje są przekształceniami liniowymi zachowującymi normę na przestrzeniach wektorowych, na których zdefiniowano operację iloczynu skalarnego . Macierz transformacji ma właściwość bycia macierzą unitarną, to znaczy jest ortogonalna , a jej wyznacznikiem jest 1. Niech będzie to wektor wyrażony w kartezjańskim układzie współrzędnych ( x, y, z ) z skojarzoną bazą wektorową określoną przez wersory ; to znaczy, $\scriptstyle {\mathbf A}$${\matematyka {B}}$$\left({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k}\,\right)$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ zacząć {bmatrix} A_ {x} \ \ A_ {y} \ \ A_ {z} \ koniec {bmatrix}} _ {\ mathcal {B}}}$

Załóżmy teraz, że obracamy układ osi współrzędnych, utrzymując jego początek ustalony, tak, że otrzymujemy nowy ortogonalny trójścian osi ( x′, y′, z′ ), z powiązaną bazą wektorową określoną przez wersory . Składowymi wektora w tej nowej bazie wektorowej będą: ${\mathcal {B}}”$$\left({\mathbf i}',{\mathbf j}',{\mathbf k}'\,\right)$${\mathbf A}\,$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ zacznij {bmatrix} A'_ {x} \ \ A'_ {y} \ \ A'_ {z} \ koniec {bmatrix}} _ {\ mathcal {B }}'}}$

Operację obrotu bazy wektora można zawsze wyrazić jako działanie operatora liniowego (reprezentowanego przez macierz) działającego na wektor (poprzez pomnożenie wektora):

${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ \ mathbf {A} {\ mathcal {B}} = \ mathbf {A} {{\ mathcal {B}} '}}$

która jest macierzą transformacji dla zmiany bazy wektora.

Zmiana bazy wektora.

Przykład

W prostym przypadku, gdy spin ma wielkość wokół osi z , otrzymamy transformację: $\theta\,$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} = {\ zacząć {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta & 0 \ \ - \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \ \ 0 i 0 & 1 \ \ \ koniec {bmatrix}}}$

Stosując operator, czyli mnożąc macierz przez wektor, otrzymamy wyrażenie wektora w nowej bazie wektorowej: ${\mathbf A}\,$

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \ 0 \ \ - \ sin \ theta \ cos \ theta \ \ \ 0 i 0 i 1 \ \ \ koniec {bmatrix}} {\ zacząć {bmatrix} A_ {x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y} \\A'_{z}\end{bmatrix}}_{{\mathcal {B}}'}}$

istnienie

${\ Displaystyle A'_ {x} = A_ {x} \ cos \ theta + A_ {y} \ sin \ theta \,}$

$A'_{y}=-A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,$

$A'_{z}=A_{z}\,$

składowe wektora w nowej bazie wektorowej.

Wektory w ogólnym przypadku

W matematyce struktura przestrzeni wektorowej jest zdefiniowana i każdy z elementów lub punktów tej przestrzeni jest nazywany wektorem . W wielu przypadkach wektory nie mogą być reprezentowane przez moduł kierunku i wykrywania. Na przykład w złożonej przestrzeni wektorowej nad liczbami zespolonymi pojęcie modułu nie jest automatycznie definiowane. Podobnie w przestrzeni wektorowej o nieskończonym wymiarze , jak w przypadku przestrzeni Hilberta, nie ma graficznej reprezentacji wektorów jako segmentów zorientowanych.

Wymagania fizyczne wielkości wektorowych

Nie każda n -krotka funkcji lub liczb rzeczywistych stanowi wektor fizyczny. Aby n - krotka reprezentowała wektor fizyczny, wartości liczbowe jej składników mierzone przez różnych obserwatorów muszą zostać przekształcone zgodnie z pewnymi ustalonymi zależnościami.

W mechanice Newtona wektory oryginalne, czasami nazywane wektorami biegunowymi, są zwykle używane razem z pseudowektorami, zwanymi wektorami osiowymi , które w rzeczywistości reprezentują podwójną wielkość antysymetrycznych tensorów Hodge'a. Moment pędu , pole magnetyczne i wszystkie wielkości , w których definicja produktu krzyżowego interweniuje , są w rzeczywistości pseudowektorami lub wektorami osiowymi .

W szczególnej teorii względności tylko wektory czterowymiarowe , których pomiary dokonywane przez różnych obserwatorów mogą być powiązane jakąś transformacją Lorentza , stanowią wielkości wektorowe. Zatem składowe dwóch wielkości wektorowych mierzone przez dwóch obserwatorów i muszą być powiązane zgodnie z następującą zależnością:$ZARÓWNO\,$${\bar {LUB}}$

${\bar {V}}^{\beta }=\sum{\alpha =0}}^{3}\Lambda​​\alpha }^{\beta }\ V^{\alpha }$

gdzie są składowe macierzy dającej transformację Lorentza. Wielkości takie jak moment pędu , pole elektryczne czy pole magnetyczne w rzeczywistości w teorii względności nie są wielkościami wektorowymi, ale wielkościami tensorowymi . $λ α } ^ {β }$

Zobacz także

• Produkt skalarny
• produkt krzyżowy
• Podwójny produkt krzyżowy
• mieszany produkt
• tensor produkt
• kombinacja liniowa
• system generatora
• Liniowa zależność i niezależność
• podstawa (algebra)
• Ortogonalność (matematyka)
• baza ortonormalna
• Geometria analityczna

Bibliografia

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Wykłady z fizyki (4 tomy) . Monytex. ISBN 84-404-4290-4 , ISBN 84-398-9218-7 , ISBN 84-398-9219-5 , ISBN 84-604-4445-7 . 
• Resnick, Robert i Krane, Kenneth S. (2001). Fizyka (w języku angielskim) . Nowy Jork: John Wiley i synowie. ISBN  0-471-32057-9 . 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fizyka dla naukowców i inżynierów ( wydanie 6). Brooks/Cole. ISBN  0-534-40842-7 . 
• Tipler, Paweł A. (2000). Fizyka dla nauki i techniki (2 tomy) . Barcelona: Wyd. Odwróciłem. ISBN  84-291-4382-3 . 

Linki zewnętrzne

• Wikisłownik zawiera definicje i inne informacje na temat wektora .
• Weisstein, Eric W. «wektor» . W Weisstein, Eric W, wyd. MathWorld (w języku angielskim) . WolframBadania .