Vektor

Grafisk repræsentation af en vektor som et segment orienteret på en ret linje .

I matematik og fysik er en vektor ​ en matematisk enhed såsom en linje eller et plan . En vektor er repræsenteret af et linjestykke, orienteret inden for det tredimensionelle euklidiske rum . En vektor er fuldstændig bestemt i tre dimensioner af tre tal. For eksempel for positionsvektoren i rektangulære koordinater (x,y,z), i cylindriske koordinater (ρ,φ,z) eller i sfæriske koordinater (r,φ,θ). Den almindelige definition af, at en vektor har størrelse (modul) og retning, følger af brugen af ​​sfæriske (med θ=π/2) eller cylindriske (med z=0) koordinater i xy-planet. I dette tilfælde (i xy-planet) svarer modulet nøjagtigt til komponenterne ρ eller (vektorens størrelse), og retningen bestemmes af vinklen φ. Sansen, som insisteres så meget (på spansk) som en karakteristik af en vektor, er overflødig. Fordi vektorens komponent φ dækker fra 0 til 2π, er det derfor ikke nødvendigt at give en betydning. Det ville være tilfældet, hvis det var en ret linje, som hvis den drejes, er π radianer nøjagtig den samme, og det er da, at en retning skal tildeles. ​ Vektorer giver os mulighed for at repræsentere vektorielle fysiske størrelser, såsom dem, der er nævnt nedenfor. I matematik defineres en vektor som et element i et vektorrum . Denne forestilling er mere abstrakt, og for mange vektorrum er det ikke muligt at repræsentere deres vektorer efter modul og retning. Især uendelig-dimensionelle rum uden prikprodukter er ikke repræsentative på denne måde. Vektorer i et euklidisk rum kan repræsenteres geometrisk som linjestykker , i det ( todimensionelle ) plan eller i ( tredimensionelt ) rum. $\R$$\mathbb{R} 2$$\mathbb{R} 3$

I fysik er det defineret som segmentet af en linje , der er placeret i rummet af et plan, uanset om det er todimensionelt eller tredimensionelt. Et eksempel på et fysisk fænomen, der kan beskrives med vektorer, er hastigheden af ​​en bil , det ville ikke være nok at beskrive det med kun et tal , hvilket er hvad speedometeret angiver, men det er påkrævet for at angive retningen (hvor det går). Et andet eksempel er den kraft , der virker på en genstand, da dens virkning, foruden dens størrelse eller modul, afhænger af den retning, den virker i; også forskydningen af ​​en genstand, da det er nødvendigt at definere den afstand, den tilbagelægger, og bevægelsesretningen eller objektets indledende og endelige position.

Grundlæggende begreber i euklidiske vektorer

Dette afsnit forklarer det grundlæggende, behovet for vektorer til at repræsentere bestemte fysiske størrelser, komponenterne i en euklidisk eller geometrisk vektor, samt deres notation osv. Andre mere generelle typer af vektorer diskuteres i et senere afsnit.

Definition

Komponenter af en vektor.

En vektor er et element i et vektorrum. I praksis, når man beskæftiger sig med vektorer, udtrykkes de normalt på en vektorbasis . Således fikserede et specifikt vektorrum og en basis indeni det:

En (virkelig) dimensionsvektor er repræsenteret af en tupel af reelle tal (kaldet komponenter af vektoren). Sættet af alle dimensionsvektorer er repræsenteret som (dannet af det kartesiske produkt ). Således er en vektor, der tilhører et rum , repræsenteret som: $n\,$$? {R} n$$\scriptstyle v$$? {R} n$

$v=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n})$, hvor$v\in {\mathbb {R}}^{n}$

En vektor kan også ses fra et geometris synspunkt som en geometrisk vektor (ofte ved hjælp af tredimensionelt eller todimensionalt rum ). ${\mathbb {R}}^{3}$$? {R} 2$

En fast vektor af det euklidiske plan er et orienteret segment, hvori der skal skelnes mellem tre karakteristika: ]

• Modulus: Længden af ​​segmentet udtrykt i en numerisk værdi og en enhed.
• Retning: Vektorens vinkel i forhold til x-aksen.
• Retning: Orienteringen af ​​segmentet, fra oprindelsen til slutningen af ​​vektoren. Det kan være positivt eller negativt.

På engelsk angiver ordet retning både retningen og retningen af ​​vektoren, hvilket definerer vektoren med kun to karakteristika: modul og retning. ]

Faste vektorer af planet er angivet med to store bogstaver (og en højre pil over dem), for eksempel , der angiver deres oprindelse og endepunkt. Det vil sige, punkt A er oprindelsen eller anvendelsespunktet, og punkt B er slutningen af ​​vektoren , hvis koordinater er: ${\overrightarrow {AB}}$${\overrightarrow {AB}}$

$\overrightarrow {AB}=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})\,$

Karakteristika for en vektor

Cartesiske koordinater .

En vektor kan defineres ved dens koordinater , hvis vektoren er i xy-planet, er den repræsenteret:

${\textstyle {\vec {V}}={\boldsymbol {V}}=(V_{x},V_{y})}$

er dets koordinater:

$V_{x},\;V_{y}$

Hvis vi betragter trekanten dannet af komponenterne (som ben) og (som hypotenuse): den kan beregnes ved at gange med cosα (er α vinklen dannet af og ) eller ved at gange med sinβ (er β vinklen dannet af og ). På samme måde kan det beregnes ved at gange med sinα eller gange med cosβ (i betragtning af positionerne af α og β nævnt ovenfor). $V_{x},V_{y}$$v$$V_{x}$$v$$V_{x}$$v$$v$$V_{y}$$v$$V_{y}$$v$$v$

Som vektor er vektorsummen af ​​dens koordinater:

${\vec {V}}={\vec {V_{x}}}+{\vec {V_{y}}}$

Tredimensionelle koordinater .

Hvis en vektor har tre reelle dimensioner, repræsenteret på akserne x, y, z, kan den repræsenteres:

${\vec {V}}={\boldsymbol {V}}=(V_{x},V_{y},V_{z})$

er dets koordinater:

$V_{x},\;V_{y},\;V_{z}$

Hvis vi repræsenterer vektoren grafisk, kan vi skelne mellem følgende elementer:

Linjestøtten eller retningen , som vektoren er tegnet på.

Modulet eller amplituden med en længde proportional med værdien af ​​vektoren.

Retningen , angivet med pilespidsen, er en af ​​de to mulige på støttelinjen .

Det påføringspunkt, der svarer til det sted, som vektorkarakteristikken repræsenteret af vektoren svarer til.

Navnet eller betegnelsen er bogstavet, tegnet eller sekvensen af ​​tegn, der definerer vektoren.

Derfor kan vi i en vektor differentiere:

Navn

Adresse

Følelse

modul

ansøgningspunkt

Vektorstørrelser

Grafisk repræsentation af vektorstørrelse, der angiver dets anvendelsespunkt og de kartesiske versors.

Repræsentation af vektorer.

Mod disse fysiske størrelser, såsom masse , tryk , volumen , energi , temperatur osv.; der er fuldstændigt defineret af et tal og de enheder, der bruges i dets måling, andre vises, såsom forskydning , hastighed , acceleration , kraft , elektrisk felt osv., som ikke er fuldstændigt defineret ved at give numeriske data, men som har en adresse tilknyttet med dem. Disse sidstnævnte størrelser kaldes vektor i modsætning til førstnævnte kaldet skalar .

Vektorstørrelser er repræsenteret af en matematisk enhed kaldet en vektor. I et euklidisk rum , med højst tre dimensioner, er en vektor repræsenteret af et orienteret segment. En vektor er således karakteriseret ved følgende elementer: dens længde eller modul , altid positiv pr. definition, og dens retning , som kan repræsenteres af summen af ​​dens ortogonale vektorkomponenter , parallelt med koordinatakserne; eller ved polære koordinater , som bestemmer den vinkel som vektoren laver med de positive koordinatakser. ]

Det er repræsenteret som et orienteret segment, med én retning, tegnet svarende til en "pil". Dens længde repræsenterer vektorens modul, linjen angiver retningen, og "pilespidsen" angiver dens betydning. ]

Notation

Vektormængder er repræsenteret i trykte tekster med fede bogstaver for at adskille dem fra skalære mængder, der er repræsenteret i kursiv . I manuskripttekster er vektorstørrelser repræsenteret ved at placere en pil over bogstavet, der angiver deres modul (som er en skalar ).

eksempler

• ${\mathbf A},\ {\mathbf a},\ {\boldsymbol {\omega }},$… repræsenterer henholdsvis vektorstørrelserne af modulerne A , a , ω , … Modulet med en vektorstørrelser repræsenteres også ved at omslutte notationen svarende til vektoren mellem søjler: …$|{\mathbf A}|,\ |{\mathbf a}|,\ |{\boldsymbol {\omega }}|,$
• I håndskrevne tekster står der: … for vektorer og … eller … for moduler.${\vec A},\ {\vec a},\ {\vec {\omega }},$$|{\vec A}|,\ |{\vec a}|,\ |{\vec {\omega }}|,$$A,\ a,\ {\omega },$

Hvor det er relevant, repræsenteres vektorstørrelsen ved at henvise til oprindelsen og endepunktet af det orienterede segment, der repræsenterer det geometrisk; således er vektorerne repræsenteret i figur 2 betegnet i formen , … denne notation er meget nyttig for de vektorer, der repræsenterer forskydningen. ${\mathbf A}=\overrightarrow {MN},{\mathbf B}=\overrightarrow {OP}\,$

Ud over disse konventioner er enhedsvektorer eller versorer, hvis modul er enhed, ofte repræsenteret med en cirkumfleks over dem, f.eks . ${\mathbf {{\hat {u}}}},{\mathbf {{\hat {v}}}}$

Klassificering af vektorer

Afhængigt af de kriterier, der bruges til at bestemme ligheden eller ækvivalenten af ​​to vektorer, kan følgende skelnes:

• Frie vektorer: de anvendes ikke på et bestemt tidspunkt.
• Glidende vektorer: dit anvendelsespunkt kan glide langs dets handlingslinje.
• Faste eller forbundne vektorer: de anvendes på et bestemt tidspunkt.

Vi kan også henvise til:

• Enhedsvektorer: vektorer af modul et.
• Samtidige eller vinkelvektorer: vektorer, hvis retninger eller handlingslinjer går gennem det samme punkt. De kaldes også ofte kantede, fordi de danner en vinkel mellem dem.
• Modsatte vektorer: Vektorer af samme størrelse og retning, men modsatte retninger. På engelsk siges de at være af samme størrelse, men modsatte retninger, da retningen også angiver retningen.
• Kollineære vektorer: vektorer, der deler den samme handlingslinje.
• Parallelle vektorer: Vektorer, hvis handlingslinjer er parallelle.
• Koplanære vektorer: vektorer, hvis handlingslinjer er koplanære (placeret i samme plan).

Komponenter af en vektor

Vektor komponenter.

En vektor i tredimensionelt euklidisk rum kan udtrykkes som en lineær kombination af tre enhedsvektorer eller versorer, som er vinkelrette på hinanden og udgør en basisvektor .

I kartesiske koordinater er enhedsvektorer repræsenteret af , , , ( eller u , v , w ) parallelt med de tilsvarende , , akser . Komponenterne i vektoren i en standardbasis kan skrives i parentes og adskilles med kommaer: ${\mathbf {i}}\,$${\mathbf {j}}$${\mathbf {k}}$$x$$Y$$z$

${\mathbf {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$

eller udtrykkes som en kombination af enhedsvektorerne defineret i vektorgrundlaget. I et kartesisk koordinatsystem vil det således være

${\mathbf {a}}=a_{x}\,{\mathbf {i}}+a_{y}\,{\mathbf {j}}+a_{z}\,{\mathbf {k}}$

Disse repræsentationer er ækvivalente med hinanden, og værdierne , , , er komponenterne i en vektor, der, medmindre andet er angivet, er reelle tal . $a_{x}$$a_{y}$$a_{z}$

En bekvem repræsentation af vektormængder er ved hjælp af en kolonnevektor eller en rækkevektor , især når matrixoperationer (såsom baseændring) er involveret, som følger:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}\qquad \mathbf {a} =[a_{ x}\ a_{y}\ a_{z}]$

For eksempel vil enhedsvektorer blive udtrykt som følger:

${{\mathbf i}}=[1\ 0\ 0],\ {{\mathbf j}}=[0\ 1\ 0],\ {{\mathbf k}}=[0\ 0\ 1]$

Zorns lemma , en konsekvens af valgaksiomet , giver os mulighed for at fastslå, at hvert vektorrum tillader en vektorbasis , således at hver vektor kan repræsenteres som produktet af nogle komponenter i forhold til nævnte basis. Givet en vektor er der kun et begrænset antal komponenter, der ikke er nul.

Grafisk repræsentation af vektorer

Der er folk, der ikke anbefaler at bruge grafik for at undgå forvirring af begreber og vildledende, uden forskning for at bekræfte det, er det også rigtigt, at hukommelsen stimuleres med bedre resultater. For det:

• Den visuelle repræsentation med pilesymbolet (et segment og en trekant i den ene ende) kaldes en vektor .
• Den visuelle rethed af en pil eller dens krumning gør den ikke anderledes i symbol, hvis de to ender forbliver på samme sted og rækkefølge.
• Det faktum, at en pil lukker i sig selv, indikerer fraværet af algebraiske effekter .
• For at visualisere summen af ​​vektorer, vil det blive gjort ved at kæde dem sammen, det vil sige at forbinde den ende, der har en trekant (ende) af den første vektor med den ende, der ikke har en (oprindelse) af den anden vektor, ved at opretholde retning og afstand, passende til rummet, af begge ender, da disse to kvaliteter visuelt adskiller dem fra andre vektorer.
• Skalarer vil blive repræsenteret med en stiplet linje udelukkende som en distinktion, da de ikke altid hører til vektorrummet .

Hvert af de tilfælde, der optræder i definitionen af ​​operationssummen af ​​vektorer og produkt ved en skalar, undersøges:

Vektortilføjelse

Definitionen af ​​summen af ​​vektorer i rækkefølgen u + v producerer en anden vektor, det er som at kæde, altid visuelt, en vektor u og derefter en vektor v . Vi vil sige, at u + v simplificeres som en vektor w eller at w nedbrydes som summen af ​​vektorerne u og v .

1) At sige, at u + v = v + u , er at kræve, at de to summer simplificeres til den samme vektor, med sort. Bemærk, at i fysik simulerer vektorerne i rødt nedbrydningen af ​​kræfter, der udøves af den sorte vektor ved dens oprindelse, og er repræsenteret af et parallelogram .

2) At sige, at u +( v + w )=( u + v )+ w , er at kræve, at forenklinger af vektorsummer kan være valgfrie i enhver kæde af summer.

3) At sige, at der er en nulvektor ( neutralt element ), således at u + 0= u , svarer til at kræve, at der er en vektor, der ikke er i stand til at bevirke, gennem addition, nogen modifikation af alle vektorerne.

4) At sige at u +(- u )=0, er at kræve eksistensen af ​​et modsat element , - u , som når det lægges til u simplificeres til en nulvektor .

Produkt gange en skalar

Definitionsproduktet ved en skalar producerer en anden vektor; det er som at ændre endepunktet for vektoren u , altid visuelt. $a\cdot u$

På den ene side modificerer repræsentationen af ​​produktet i tilfælde af, at kroppen af ​​skalarerne er visuelt længden af ​​vektorbilledet, idet begge altid er overlejret; på den anden side anses repræsentationerne i tilfælde af, at udover at ændre længden, også tilføje rotationer , for at lette dem visuelt, centreret om vektorens oprindelse, idet disse modifikationer er lidt mere ekspressive, visuelt, men ikke nemmere end i det rigtige tilfælde: $K={\mathbb {R}}$$K={\mathbb {C}}$

a) At sige, at a ( bu )=( ab ) u , er at kræve, at de kædede produkter a ( b ( u )) kan simplificeres som ét, c = ab , så forbliver ( ab ) u som cu .

b) At sige, at skalar 1 eksisterer sådan, at 1 u = u , svarer til at sige, at der eksisterer en skalar, der ikke er i stand til ved hjælp af et produkt at udføre nogen modifikation af alle vektorerne.

c) At sige at a ( u + v )= au + av , er at kræve den fordelende egenskab med hensyn til vektoraddition .

d) At sige, at ( a + b ) u = au + bu , er at kræve den fordelende egenskab med hensyn til den skalære sum.

For det virkelige tilfælde skal rotationerne fra de foregående eksempler elimineres.

Operationer med euklidiske vektorer

Vektortilføjelse

For at tilføje to frie vektorer (vektor og vektor) vælges to vektorer som repræsentanter, således at det endelige endepunkt for den ene falder sammen med oprindelsesendepunktet for den anden vektor.

Tilføjelse af vektorer over samme punkt

Tilføjelsen af ​​vektorer er veldefineret, hvis begge vektorer tilhører det samme vektorrum, i fysik, så to vektorer kan tilføjes, skal de anvendes på samme punkt. Sammensætningen af ​​kræfter på et stivt legeme, når påføringspunkterne ikke er sammenfaldende, fører til begrebet kraftmoment givet to kræfter med påføringspunkter, den resulterende kraft defineres som parret: ^{[ citat nødvendig ]}$\scriptstyle {\mathbf {F}}_{1},{\mathbf {F}}_{2}$$\scriptstyle {\mathrm {P}}_{1},{\mathrm {P}}_{2}$

$({\mathrm {P}}_{R},{\mathbf {F}}_{R})=({\mathrm {P}}_{1},{\mathbf {F}}_{1} )\boxplus ({\mathrm {P}}_{2},{\mathbf {F}}_{2})$

hvor er den generaliserede sum til vektorer anvendt på forskellige punkter. Anvendelsespunktet er skæringspunktet mellem kræfternes handlingslinjer. Komponenterne i den resulterende kraftvektor er faktisk summen af ​​almindelige komponenter af vektorer: $\boxplus$$\scriptstyle {\mathrm {P}}_{R}$

$({\mathrm {P}}_{R},{\mathbf {F}}_{R})=({\mathrm {P}}_{R},{\mathbf {F}}_{1} +{\mathbf {F}}_{2})$

Det resulterende moment er kraftmomentet for sættet af kræfter omkring det beregnede punkt for den resulterende kraft.

Parallelogrammetode

Parallelogram metode.

Denne metode giver dig kun mulighed for at tilføje vektorer to og to. Den består af grafisk at arrangere de to vektorer, så begges oprindelse falder sammen i et punkt, idet der tegnes linjer parallelt med hver af vektorerne, for enden af ​​den anden og af samme længde, og derved dannes et parallelogram (se graf). Vektoren, der kommer fra summen, er diagonalen af ​​parallelogrammet, der starter fra begge vektorers fælles oprindelse.

Trekantmetode eller polygonmetode

Trekant metode.

Det består af grafisk at arrangere den ene vektor efter den anden på en ordnet måde: oprindelsen af ​​hver af vektorerne vil falde sammen med slutningen af ​​den næste. Den resulterende vektor er den, hvis oprindelse falder sammen med den for den første vektor og ender i slutningen af ​​den sidste.

Analysemetode for summen og forskellen af ​​vektorer

Givet to frie vektorer,

$\mathbf {a} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )$

$\mathbf {b} =(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )$

Resultatet af deres sum eller deres forskel udtrykkes i formen

${\mathbf {a}}\pm {\mathbf {b}}=(a_{x}{\mathbf {i}}+a_{y}{\mathbf {j}}+a_{z}{\mathbf { k}})\pm (b_{x}{\mathbf {i}}+b_{y}{\mathbf {j}}+b_{z}{\mathbf {k}})$

og bestilling af komponenterne,

$\mathbf {a} \pm \mathbf {b} =(a_{x}\pm b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}\pm b_{y})\mathbf {j } +(a_{z}\pm b_{z})\mathbf {k}$

Med matrixnotation ville det være

$\mathbf {a} \pm \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}\pm {\ start{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}\pm b_{x}\\a_{y }\pm b_{y}\\a_{z}\pm bz\\\end{bmatrix}}$

At kende modulerne af to givne vektorer, og såvel som vinklen mellem dem, er modulet af : ${\mathbf {a}}$${\mathbf{b}}$$\theta$${\mathbf {a}}\pm {\mathbf {b}}$

$|{\mathbf {a}}\pm {\mathbf {b}}|={\sqrt {a^{2}+b^{2}\pm 2ab\cos \theta }}\leq {\sqrt {a 2 +b 2 +2ab\cos θ }}$

Afledningen af ​​dette udtryk kan findes i afledning af additionsmodulet .

Produkt af en vektor og en skalar

Produkt gange en skalar.

Produktet af en vektor ved en skalar er en anden vektor, hvis modul er produktet af skalaren gange vektorens modul, hvis retning er lig med vektorens, og hvis retning er modsat denne, hvis skalaren er negativ.

Startende fra den grafiske repræsentation af vektoren, på samme linje i dens retning, tager vi så mange gange vektorens modul, som skalaren angiver.

Uanset om de er en skalar og en vektor, er produktet af by repræsenteret og gøres ved at gange hver af komponenterne i vektoren med skalaren; det er, $p\,$${\mathbf {a}}$$p\,$${\mathbf {a}}$$p\,{\mathbf {a}}$

$p\,{\mathbf {a}}=pa_{x}{\mathbf {i}}+pa_{y}{\mathbf {j}}+pa_{z}{\mathbf {k}}$

Med matrixnotation ville det være

$p\,\mathbf {a} =p\,{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{ bmatrix}p\,a_{x}\\p\,a_{y}\\p\,a_{z}\\\end{bmatrix}}$

Almindelig derivat af en vektor

Givet en vektor, der er en funktion af en uafhængig variabel

${\mathbf {a}}(t)=a_{x}(t){\mathbf {i}}+a_{y}(t){\mathbf {j}}+a_{z}(t){\ mathbf{k}}$

Vi beregner den almindelige afledte af vektoren med hensyn til variablen t , og beregner den afledede af hver af dens komponenter, som om de var skalarer:

${\frac {d}{dt}}{\mathbf {a}}(t)={\frac {d}{dt}}a_{x}(t){\mathbf {i}}+{\frac { d}{dt}}a_{y}(t){\mathbf {j}}+{\frac {d}{dt}}a_{z}(t){\mathbf {k}}$

under hensyntagen til, at enhedsvektorerne er konstante i størrelse og retning.

Med matrixnotation ville det være

${\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)={\frac {d}{dt}}\,{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y} \\a_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {d}{dt}}a_{x}\\{\frac {d}{dt}}a_{y }\\{\frac {d}{dt}}a_{z}\\\end{bmatrix}}$

${\mathbf {r}}(t)=\sin(t){\mathbf {i}}+\cos(t){\mathbf {j}}+5t{\mathbf {k}}$

Lad os se et eksempel på afledning af en vektor, startende fra en vektorfunktion:

${\mathbf {r}}(t)=\sin(t){\mathbf {i}}+\cos(t){\mathbf {j}}+5t{\mathbf {k}}$

Denne funktion repræsenterer en spiralformet kurve omkring z -aksen med enhedsradius, som vist på figuren. Vi kan forestille os, at denne kurve er en partikels bane, og funktionen repræsenterer positionsvektoren som funktion af tiden t . Differentiering vil vi have: ${\mathbf r}(t)\,$

${\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}\sin(t){\mathbf {i}}+{\frac {d} {dt}}\cos(t){\mathbf {j}}+{\frac {d}{dt}}5t{\mathbf {k}}$

Realisering af derivatet:

${\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}=\cos(t){\mathbf {i}}-\sin(t){\mathbf {j}}+5{\ mathbf{k}}$

Den afledte af positionsvektoren med hensyn til tid er hastigheden, så denne anden funktion bestemmer partiklens hastighedsvektor som en funktion af tiden, vi kan skrive:

${\mathbf {v}}(t)=\cos(t){\mathbf {i}}-\sin(t){\mathbf {j}}+5{\mathbf {k}}$

Denne hastighedsvektor er en tangentvektor til banen i det punkt, som partiklen optager på hvert tidspunkt. Fornuften går i retning af at øge værdierne af skalære værdier. ​ Hvis vi differentierede igen, ville vi opnå accelerationsvektoren.

Kovariant afledt af en vektor

Når der i stedet for at bruge en "fast basis" i hele domænet af en vektor, anvendes "bevægelige baser", som når der bruges krumlinjede koordinater , afhænger den totale variation af en tidsafhængig vektor ikke kun af variationen af ​​komponenter som i tilfældet med den almindelige afledte, men også for variationen af ​​orienteringen af ​​basen. Den samlede variation kaldes den kovariante afledte :

${\frac {\delta }{\delta t}}\mathbf {a} (t)=\sum​​k}\left({\dot {a}}^{k}\mathbf {e} k}+a^{k}{\dot {\mathbf {e} }}_{k}\right)={\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)+\mathbf {a } (t)\ gange {\boldsymbol {\omega }}(t)$

Når en fast base (kartesiske koordinater) bruges, falder den kovariante afledede sammen med den almindelige afledte. For eksempel, når man studerer en partikels bevægelse fra en roterende ikke-inertiel referenceramme, skyldes Coriolis- og centripetalaccelerationerne de faktorer, de indeholder , og andre mindre almindelige faktorer. ${\boldsymbol \omega }$

Vinkel mellem to vektorer

Vinklen bestemt af retningerne af to vektorer og er givet af: ${\mathbf {a}}$${\mathbf{b}}$

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}$

Dekomponeringer af en vektor

Givet en vektor og en referenceretning givet af en enhedsvektor , kan den første vektor opdeles i en parallel komponent og en anden komponent vinkelret på referenceretningen: ${\mathbf {a}}$${\mathbf {n}}$

${\mathbf {a}}={\mathbf {a}}_{\|}+{\mathbf {a}}_{\bot }=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {a} }){\mathbf {n}}+({\mathbf {n}}\ gange {\mathbf {a}})\ gange {\mathbf {n}}$

I fysik bruges denne nedbrydning i forskellige sammenhænge, ​​såsom at nedbryde acceleration til en komponent parallelt med hastigheden og en anden komponent vinkelret på den. Også den mekaniske spænding i et punkt på et plan kan opløses i en komponent vinkelret på planet og en anden parallel.

Givet et vektorfelt defineret over et Lipschitz-domæne , afgrænset , simpelt forbundet og kvadratisk integrerbart , indrømmer det den såkaldte Helmholtz-nedbrydning som summen af ​​et konservativt felt og et solenoidfelt : ${\mathbf {u}}({\mathbf {x}})$ ${\mathbf {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{3}$

${\mathbf {u}}={\mathbf {u}}_{C}+{\mathbf {u}}_{S}=({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )+({\boldsymbol { \nabla }}\ gange {\mathbf {A}})$

Vektorbasisskift

Vektorbaseændring.

I matematik er rotationer normbevarende lineære transformationer på vektorrum, hvorpå en indre produktoperation er blevet defineret . Transformationsmatrixen har egenskaben at være en enhedsmatrix , det vil sige, at den er ortogonal og dens determinant er 1. Lad den være en vektor udtrykt i et kartesisk koordinatsystem ( x, y, z ) med en tilknyttet vektorbasis defineret af versors ; det er, $\scriptstyle {\mathbf A}$${\mathcal {B}}$$\left({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k}\,\right)$

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}_{\mathcal {B}}$

Antag nu, at vi roterer systemet af koordinatakser, og holder dets oprindelse fast, så vi opnår en ny ortogonal trihedron af akser ( x′, y′, z′ ), med en tilknyttet vektorbasis defineret af versors . Komponenterne i vektoren i denne nye vektorbasis vil være: ${\mathcal {B}}'$$\left({\mathbf i}',{\mathbf j}',{\mathbf k}'\,\right)$${\mathbf A}\,$

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\\A'_{z}\end{bmatrix}}_{{\mathcal {B }}'}$

Vektorbasisrotationsoperationen kan altid udtrykkes som handlingen af ​​en lineær operator (repræsenteret af en matrix), der virker på vektoren (ved at gange vektoren):

$\mathbb {R} \,\mathbf {A}{\mathcal {B}}=\mathbf {A}{{\mathcal {B}}'}$

som er transformationsmatrixen for vektorbasisændring.

Vektorbaseændring.

Eksempel

I det simple tilfælde, hvor spin har størrelsen omkring z - aksen , vil vi have transformationen: $\theta\,$

$\mathbb {R} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Ved at anvende operatoren, det vil sige ved at multiplicere matrixen med vektoren, får vi vektorens udtryk i den nye vektorbase: ${\mathbf A}\,$

${\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_ {x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y} \\A'_{z}\end{bmatrix}}_{{\mathcal {B}}'}$

væren

$A'_{x}=A_{x}\cos \theta +A_{y}\sin \theta \,$

$A'_{y}=-A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,$

$A'_{z}=A_{z}\,$

vektorens komponenter i den nye vektorbasis.

Vektorer i det generelle tilfælde

I matematik er vektorrumsstrukturen defineret, og hvert af elementerne eller punkterne i det rum kaldes en vektor . I mange tilfælde kan vektorerne ikke repræsenteres af retnings- og sansemodulet. For eksempel, i et komplekst vektorrum over de komplekse tal er begrebet modul ikke automatisk defineret. Ligeledes er der i et vektorrum med uendelig dimension , som det er tilfældet med Hilbert-rum, ingen grafisk repræsentation af vektorerne som orienterede segmenter.

Fysiske krav til vektormængder

Ikke hver n -tupel af funktioner eller reelle tal udgør en fysisk vektor. For at en n -tupel skal repræsentere en fysisk vektor, skal de numeriske værdier af dens komponenter målt af forskellige observatører transformeres i henhold til visse faste forhold.

I Newtonsk mekanik bruges ægte vektorer, nogle gange kaldet polære vektorer, generelt sammen med pseudovektorer, kaldet aksiale vektorer , som faktisk repræsenterer Hodge-dualen af ​​antisymmetriske tensorstørrelser. Vinkelmomentet , magnetfeltet og alle de størrelser, i hvis definition krydsproduktet griber ind , er faktisk pseudovektorer eller aksiale vektorer .

I speciel relativitetsteori er det kun firedimensionelle vektorer , hvis målinger taget af forskellige iagttagere kan relateres ved en Lorentz-transformation , der udgør vektorstørrelser. Således skal komponenterne af to vektorstørrelser målt af to observatører og relateres i henhold til følgende forhold:$ENTEN\,$${\bar {ELLER}}$

${\bar {V}}^{\beta }=\sum{\alpha =0}}^{3}\Lambda​​\alpha }^{\beta }\ V^{\alpha }$

hvor er komponenterne i matrixen, der giver Lorentz-transformationen. Størrelser som vinkelmomentet , det elektriske felt eller magnetfeltet er faktisk i relativitetsteorien ikke vektorstørrelser, men tensorstørrelser . $λ α } ^ {β }$

Se også

• Skalært produkt
• krydsprodukt
• Dobbelt kryds produkt
• blandet produkt
• tensor produkt
• lineær kombination
• generator system
• Lineær afhængighed og uafhængighed
• basis (algebra)
• Ortogonalitet (matematik)
• ortonormalt grundlag
• Analytisk geometri

Bibliografi

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Fysikforelæsninger (4 bind) . Monytex. ISBN 84-404-4290-4 , ISBN 84-398-9218-7 , ISBN 84-398-9219-5 , ISBN 84-604-4445-7 . 
• Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Fysik (på engelsk) . New York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-32057-9 . 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fysik for forskere og ingeniører ( 6. udgave). Brooks/Cole. ISBN  0-534-40842-7 . 
• Tipler, Paul A. (2000). Fysik for videnskab og teknologi (2 bind) . Barcelona: Red. Jeg vendte om. ISBN  84-291-4382-3 . 

Eksterne links

• Wiktionary har definitioner og anden information om vektor .
• Weisstein, Eric W. "vektor" . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .