Relacja szeregowa - Serial relation

W teorii mnogości , dział matematyki , relacja szeregowa , zwana także relacją total lub dokładniej relacją lewo-całkowita , jest relacją binarną R , dla której każdy element dziedziny ma odpowiadający mu element zakresu (∀ x ∃ y   x R y ).

Wstęp

W ℕ = liczbach naturalnych relacja „mniej niż” (<) jest szeregowa. Na swojej domenie , A funkcja jest seryjny.

Relacja zwrotna jest szeregowym relacja ale odwrotne nie jest prawdziwe. Jednak relacja szeregowa, która jest symetryczna i przechodnia, może zostać wykazana jako zwrotna. W tym przypadku relacja jest relacją równoważności .

Jeśli ścisłe zamówienie jest seryjne, to nie ma elementu maksymalnego .

Dla relacji R niech { y : xRy } oznacza "sąsiedztwo następnika" x . Relację szeregową można równoważnie scharakteryzować jako każdy element mający niepuste sąsiedztwo następcze. Podobnie odwrotna relacja szeregowa to relacja, w której każdy element ma niepuste „sąsiedztwo poprzednika”. Częściej odwrotna relacja szeregowa nazywana jest relacją surjektywną i jest określona przez szeregową relację odwrotną .

W normalnej logice modalnej rozszerzenie podstawowego zbioru aksjomatów K o właściwość szeregową daje w wyniku zbiór aksjomatów D .

Charakterystyka algebraiczna

Relacje szeregowe można scharakteryzować algebraicznie przez równości i nierówności dotyczące kompozycji relacji . Jeżeli i są dwiema relacjami binarnymi, to ich złożenie R  ; S jest zdefiniowany jako relacja${\ Displaystyle R \ podseteq X \ razy Y}$${\ Displaystyle S \ podseteq Y \ razy Z}$${\ Displaystyle R \ {;} \ S = \ {(x, z) \ w X \ razy Z \ mid \ istnieje r \ w Y: (x, y) \ w R \ ziemi (y, z) \ w S\}.}$

• Jeśli R jest relacją szeregową, to S  ; R = ∅ implikuje S = ∅, dla wszystkich zbiorów W i relacji S ⊆ W × X , gdzie ∅ oznacza pustą relację .
• Niech L będzie relacją uniwersalną : . Charakterystyka seryjnego relacji R jest .${\displaystyle \forall y\forall z.yLz}$${\ Displaystyle R; L = L}$
• Inna charakterystyka algebraiczna relacji szeregowej obejmuje dopełnienia relacji: Dla dowolnej relacji S , jeśli R jest szeregowe, to , gdzie oznacza dopełnienie . Ta charakterystyka wynika z podziału kompozycji na unię.${\displaystyle {\overline {R;S}}\subseteq R;{\bar {S}}}$${\ Displaystyle {\ bar {S}}}$${\displaystyle S}$
• Relacja szeregowa R stoi w kontraście z pustą relacją ∅ w tym sensie, że while${\displaystyle {\overline {\pusty zestaw;L}}=L}$${\displaystyle {\overline {R;L}}=\pusty zestaw.}$

Inne charakteryzacje użyć relacji tożsamości oraz relację odwrotną o : ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle R ^ {T}}$${\ Displaystyle R}$

• ${\ Displaystyle I \ subseteq R; R ^ {T}}$
• ${\displaystyle {\bar {R}}\subseteq R;{\bar {ja}}.}$

Seria Russella

Relacje służą do tworzenia serii w Zasadach matematyki . Prototyp jest następcą funkcji Peano jako relacja jeden-jedynka na liczbach naturalnych . Szeregi Russella mogą być skończone lub generowane przez relację dającą porządek cykliczny . W takim przypadku do opisu wykorzystywana jest relacja separacji para-punktów . Aby zdefiniować progresję , wymaga, aby relacja generująca była relacją połączoną . Wtedy liczebniki porządkowe są wyprowadzane z progresji, skończone są skończonymi liczbami porządkowymi. (Rozdział 28: Progresje i liczby porządkowe) Rozróżnienie serii otwartych i zamkniętych (s. 234) daje cztery rzędy całkowite: skończone, jeden koniec, bez końca i otwarte oraz bez końca i zamknięte. (s. 202)

W przeciwieństwie do innych pisarzy, Russell przyznaje się do liczb porządkowych ujemnych. Dla motywacji rozważ skale pomiaru za pomocą notacji naukowej, gdzie potęga dziesiątki reprezentuje dekadę pomiaru. Nieformalnie ten parametr odpowiada rzędom wielkości używanym do ilościowego określenia jednostek fizycznych. Parametr przyjmuje zarówno wartości ujemne, jak i dodatnie.

Rozciąga się

Russell przyjął termin odcinek od Aleksego Meinonga, który przyczynił się do powstania teorii odległości. Odnosi się do terminów pośrednich między dwoma punktami w szeregu, a „liczba terminów mierzy odległość i podzielność całości”. (s. 181) Aby wyjaśnić Meinong, Russell odwołuje się do metryki Cayleya-Kleina, która wykorzystuje współrzędne rozciągania w stosunkach anharmonicznych, które określają odległość za pomocą logarytmu. (strona 255)

Bibliografia

• Jing Tao Yao i Davide Ciucci i Yan Zhang (2015). „Uogólnione zbiory wstępne” . U Janusza Kacprzyka i Witolda Pedrycza (red.). Podręcznik inteligencji obliczeniowej . Skoczek. s. 413-424. Numer ISBN 9783662435052. Tutaj: strona 416.
• Tak, YY; Wong, SKM (1995). „Uogólnienie zbiorów przybliżonych przy użyciu relacji między wartościami atrybutów” (PDF) . Materiały z 2. Dorocznej Wspólnej Konferencji Nauk Informacyjnych : 30–33..