Sériový vztah - Serial relation

V teorii množin je obor matematiky, sériový vztah , nazývaný také celkový nebo konkrétněji vztah levý-celkový , binární relací R, pro kterou má každý prvek domény odpovídající prvek rozsahu (∀ x ∃ y   x R y ).

Úvod

V ℕ = přirozená čísla je vztah „méně než“ (<) pořadový. V jeho doméně je funkce sériová.

Reflexivní relace je sériový vztah, ale hovořit je ne pravdivý. Sériový vztah, který je symetrický a tranzitivní, však může být ukázán jako reflexivní. V tomto případě je vztah vztahem ekvivalence .

Pokud je přísná objednávka sériová, pak nemá žádný maximální prvek .

Pro vztah R nechť { y : xRy } označuje „sousedské sousedství“ x . Sériový vztah lze ekvivalentně charakterizovat jako každý prvek mající neprázdné nástupnické sousedství. Podobně inverzní sériový vztah je vztah, ve kterém má každý prvek neprázdné „sousedství předchůdce“. Běžněji se inverzní sériový vztah nazývá surjektivní vztah a je specifikován vztahem sériové konverze .

V normální modální logiky , rozšíření základní axiom nastavena K sériovými výsledky vlastnictví axiom set D .

Algebraická charakteristika

Sériové vztahy lze algebraicky charakterizovat rovnostmi a nerovnostmi ohledně relačních skladeb . Pokud a jsou dva binární vztahy, pak jejich složení R  ; S je definován jako vztah${\ displaystyle R \ subseteq X \ times Y}$${\ displaystyle S \ subseteq Y \ times Z}$${\ Displaystyle R \ {;} \ S = \ {(x, z) \ in X \ times Z \ mid \ existuje y \ in Y: (x, y) \ in R \ land (y, z) \ in S \}.}$

• Pokud R je sériový vztah, pak S  ; R = ∅ znamená S = ∅, pro všechny množiny W a vztahy S ⊆ W × X , kde ∅ označuje prázdný vztah .
• Nechť L je univerzální vztah : . Charakteristika sériového relace R je .${\ Displaystyle \ forall y \ forall z.yLz}$${\ displaystyle R; L = L}$
• Další algebraická charakterizace sériového vztahu zahrnuje komplementy vztahů: Pro jakýkoli vztah S , pokud R je sériové, pak , kde označuje doplněk . Tato charakteristika vyplývá z rozdělení kompozice na svaz.${\ displaystyle {\ overline {R; S}} \ subseteq R; {\ bar {S}}}$${\ displaystyle {\ bar {S}}}$${\ displaystyle S}$
• Sériový vztah R je v kontrastu k prázdnému vztahu ∅ v tom smyslu, že zatímco${\ displaystyle {\ overline {\ emptyset; L}} = L}$${\ displaystyle {\ overline {R; L}} = \ emptyset.}$

Další charakterizace pomocí vztahu identity a Opačný vztah z : ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R^{T}}$${\ displaystyle R}$

• ${\ Displaystyle I \ subseteq R; R^{T}}$
• ${\ displaystyle {\ bar {R}} \ subseteq R; {\ bar {I}}.}$

Russellova série

Vztahy se používají k vývoji sérií v Principech matematiky . Prototyp je nástupnickou funkcí Peana jako relace jedna k přirozeným číslům . Russellova řada může být konečná nebo může být generována relací dávající cyklický řád . V takovém případě je pro popis použit vztah separace bod-pár . Aby definoval progresi , vyžaduje, aby generující relace byla relací spojenou . Pak jsou pořadové čísla odvozeny z průběhů, konečná jsou konečná pořadová čísla . (Kapitola 28: Progrese a pořadová čísla) Rozlišením otevřených a uzavřených řad (str. 234) vzniknou celkem čtyři řády: konečný, jeden konec, žádný konec a otevřený a žádný konec a uzavřený. (str. 202)

Na rozdíl od jiných spisovatelů Russell připouští negativní pořadové číslo. Pro motivaci zvažte měřítka měření pomocí vědecké notace, kde síla deseti představuje desetiletí míry. Neformálně tento parametr odpovídá řádům použitým ke kvantifikaci fyzických jednotek. Parametr nabývá záporných i kladných hodnot.

Protáhne se

Russell přijal termín úsek od Alexia Meinonga, který přispěl k teorii vzdálenosti. Odkazuje na přechodné členy mezi dvěma body v řadě a „počet výrazů měří vzdálenost a dělitelnost celku“. (str. 181) Pro vysvětlení Meinonga se Russell odvolává na Cayley-Kleinovu metriku, která používá úseky souřadnic v anharmonických poměrech, které určují vzdálenost pomocí logaritmu. (strana 255)

Reference

• Jing Tao Yao a Davide Ciucci a Yan Zhang (2015). „Zobecněné hrubé sady“ . In Janusz Kacprzyk a Witold Pedrycz (ed.). Příručka výpočetní inteligence . Springer. s. 413–424. ISBN 9783662435052. Zde: strana 416.
• Yao, YY; Wong, SKM (1995). „Zobecnění hrubých množin pomocí vztahů mezi hodnotami atributů“ (PDF) . Sborník příspěvků z 2. výroční společné konference o informačních vědách : 30. – 33..