Tensor struktury uogólnionej — Generalized structure tensor

Wykrywanie funkcji
Wykrywanie krawędzi
Sprytny Deriche Mechanizm różnicowy Sobel Prewitt Krzyż Robertsa
Wykrywanie narożników
Operator Harris Shi i Tomasi Krzywizna krzywej poziomu Hessian miary siły cech SUSAN SZYBKI
Wykrywanie kropelek
Laplacek Gaussa (LoG) Różnica Gaussa (DoG) Wyznacznik Hesji (DoH) Maksymalnie stabilne regiony ekstremalne PCBR
Wykrywanie grzbietu
Duża transformacja
Duża transformacja Uogólniona transformata Hough
Tensor struktury
Tensor struktury Uogólniony tensor struktury
Wykrywanie cech niezmienniczych affine
Adaptacja kształtu afinicznego Pokrewieństwo Harrisa Heski pokrewieństwo
Opis funkcji
PRZESIAĆ SURFOWAĆ GLOH WIEPRZ
Skaluj przestrzeń
Aksjomaty przestrzeni skali Szczegóły dotyczące wdrożenia Piramidy
v T mi

W analizie obrazu uogólniony tensor struktury (GST) jest rozszerzeniem kartezjańskiego tensora struktury do współrzędnych krzywoliniowych . Służy głównie do wykrywania i przedstawiania parametrów „kierunku” krzywych, podobnie jak tensor struktury kartezjańskiej wykrywa i reprezentuje kierunek we współrzędnych kartezjańskich. Najlepiej zbadano rodziny krzywych generowane przez pary lokalnie ortogonalnych funkcji.

Jest to powszechnie znana metoda w zastosowaniach przetwarzania obrazu i wideo, w tym wizji komputerowej, takich jak identyfikacja biometryczna na podstawie odcisków palców oraz badania skrawków tkanek ludzkich.

GST w 2D i lokalnie ortogonalnych podstawach

Niech termin obraz reprezentuje funkcję, w której są rzeczywiste zmienne, a , i , są funkcjami o wartościach rzeczywistych. GST reprezentuje kierunek, w którym obraz może przejść nieskończenie małe przesunięcie z minimalnym błędem (całkowita liczba najmniejszych kwadratów), wzdłuż „linii” spełniających następujące warunki: ${\displaystyle f(\xi (x,y),\eta (x,y))}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \xi,\eta}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

1. „Linie” to zwykłe linie w krzywoliniowej podstawie współrzędnych ${\displaystyle \xi,\eta}$

${\ Displaystyle \ cos (\ theta ) \ xi (x, y) + \ sin (\ theta ) \ eta (x, y) = {\ tekst {stała}}}$

które są krzywymi we współrzędnych kartezjańskich, jak pokazano w powyższym równaniu. Błąd jest mierzony w sensie, a minimalność błędu nawiązuje tym samym do normy L2 . ${\ Displaystyle L ^ {2}}$

2. Funkcje tworzą parę harmoniczną, czyli spełniają równania Cauchy-Riemanna , ${\ Displaystyle \ xi (x, y), \ eta (x, y)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i {\ Frac {\ częściowy \ X} {\ częściowy x}} = - {\ Frac {\ częściowy \ eta} {\ częściowy y}}, \ \ [4pt] i { \frac {\partial \xi }{\częściowy y}}={\frac {\częściowy \eta }{\częściowy x}}.\end{wyrównany}}}$

W związku z tym takie współrzędne krzywoliniowe są lokalnie ortogonalne. ${\displaystyle \xi,\eta}$

Wtedy GST składa się z

${\ Displaystyle GST = (\ lambda _ {maks} - \ lambda _ {min}) \ int w (\ xi, \ eta) \ lewo [{\ zacząć {tablica} {c} {\ frac {\ częściowe f} {\partial \xi }}\\{\frac {\partial f}{\częściowy \eta }}\\\end{array}}\right][{\frac {\częściowy f}{\częściowy \xi } },{\frac {\częściowy f}{\częściowy \eta }}]d\xi d\eta +\lambda _{min}I}$

gdzie są błędy (nieskończonego) przesunięcia w najlepszym kierunku (oznaczonym przez kąt ) i najgorszym kierunku (oznaczonym przez ). Funkcja jest funkcją okna definiującą „zewnętrzną skalę”, w której przeprowadzane jest wykrywanie , co można pominąć, jeśli jest już zawarte w pełnym obrazie lub jeśli jest to pełny obraz (zamiast lokalnego). Macierz jest macierzą tożsamości. Korzystając z reguły łańcucha, można wykazać, że powyższa integracja może być zaimplementowana jako sploty we współrzędnych kartezjańskich zastosowane do zwykłego tensora struktury, gdy sparuje się części rzeczywiste i urojone funkcji analitycznej , ${\ Displaystyle 0 \ leq \ lambda _ {min} \ leq \ lambda _ {maks}}$${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle \ theta + \ pi /2}$${\displaystyle w(\xi ,\eta )}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle I}$${\displaystyle \xi,\eta}$${\displaystyle g(z)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {c} \ xi (x, y) = \ Re g (z) \ \ \ eta (x, y) = \ im g (z) \ \ \ koniec {tablica}} }$

gdzie . Przykłady funkcji analitycznych obejmują , a także jednomiany , , gdzie jest dowolną dodatnią lub ujemną liczbą całkowitą. Jednomiany są również określane jako funkcje harmoniczne w widzeniu komputerowym i przetwarzaniu obrazu. ${\displaystyle z=x+iy}$${\ Displaystyle g (z) = \ log z = \ log (x + iy)}$${\ Displaystyle g (z) = z ^ {n} = (x + iy) ^ {n}}$${\ Displaystyle g (z) = z ^ {n/2} = (x + iy) ^ {n/2}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle g (z) = z ^ {n}}$

Tym samym tensor struktury kartezjańskiej jest szczególnym przypadkiem GST, gdzie , i , tj. funkcja harmoniczna to po prostu . Zatem wybierając funkcję harmoniczną , można wykryć wszystkie krzywe, które są liniowymi kombinacjami jej części rzeczywistych i urojonych, poprzez sploty tylko na (prostokątnych) siatkach obrazu, nawet jeśli nie są kartezjańskie. Co więcej, obliczenia splotu można wykonać za pomocą złożonych filtrów zastosowanych do złożonej wersji tensora struktury. Dlatego implementacje GST często były wykonywane przy użyciu złożonej wersji tensora struktury, zamiast używania tensora (1,1). ${\ Displaystyle \ xi = x}$${\displaystyle \eta =y}$${\ Displaystyle g (z) = z = (x + iy)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \xi,\eta}$

Złożona wersja GST

Ponieważ istnieje złożona wersja zwykłego [tensora struktury], istnieje również złożona wersja GST

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablic} {c} \ kappa _ {20} = (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}) \ exp (i2 \ theta) & = i w * (h * f) ^{2}\\\kappa _{11}=\lambda _{1}+\lambda _{2}&=&|w|*|h*f|^{2}\\\end{array}} }$

który jest identyczny ze swoim kuzynem, z tą różnicą, że jest złożonym filtrem. Należy przypomnieć, że zwykły tensor struktury jest prawdziwym filtrem, zwykle definiowanym przez próbkowany i skalowany Gauss w celu wyznaczenia sąsiedztwa, znany również jako skala zewnętrzna. Ta prostota jest powodem, dla którego implementacje GST wykorzystują głównie powyższą złożoną wersję. Dla rodzin krzywych zdefiniowanych przez funkcje analityczne można wykazać, że funkcja definiująca sąsiedztwo ma wartość zespoloną, ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$${\displaystyle \xi,\eta}$${\displaystyle g}$

${\ Displaystyle w = (x \ pm iy) ^ {n} \ exp (- (x ^ {2} + Y ^ {2}) / (2 \ sigma ^ {2})) \ propto (D_ {x} \pm iD_{y})^{n}\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))}$,

tak zwana pochodna symetrii Gaussa. Zatem zmiana orientacji poszukiwanego wzoru jest bezpośrednio włączana do funkcji definiującej sąsiedztwo, a detekcja następuje w przestrzeni (zwykłego) tensora struktury.

Podstawowa koncepcja jego zastosowania w przetwarzaniu obrazu i wizji komputerowej

Skuteczne wykrywanie w obrazach jest możliwe dzięki obróbce obrazu dla pary , . Złożone sploty (lub odpowiadające im operacje na macierzach) i nieliniowe odwzorowania punktowe są podstawowymi elementami obliczeniowymi implementacji GST. Następnie otrzymuje się oszacowanie całkowitego błędu metodą najmniejszych kwadratów wraz z dwoma błędami, oraz . Analogicznie do tensora struktury kartezjańskiej , szacowany kąt jest reprezentowany w postaci podwójnego kąta, tj. jest dostarczany przez obliczenia i może być używany jako cecha kształtu, podczas gdy sam lub w połączeniu z może być używany jako miara jakości (pewności, pewności) dla oszacowanie kąta. ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle 2\theta}$${\ Displaystyle \ lambda _ {maks.}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {min}}$${\displaystyle 2\theta}$${\ Displaystyle \ lambda _ {maks} - \ lambda _ {min}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {maks} + \ lambda _ {min}}$

Spirale logarytmiczne, w tym okręgi, można na przykład wykryć za pomocą (złożonych) splotów i odwzorowań nieliniowych. Spirale mogą być w szarych (wartościowych) obrazach lub w obrazie binarnym, tzn. położenie elementów krawędziowych danych wzorów, takich jak kontury okręgów lub spiral, nie może być znane ani oznaczone w inny sposób.

Uogólniony tensor struktury może być stosowany jako alternatywa dla transformaty Hougha w przetwarzaniu obrazu i wizji komputerowej do wykrywania wzorów, których lokalne orientacje można modelować, na przykład punktów połączeń. Główne różnice to:

• Dozwolone jest głosowanie zarówno negatywne, jak i złożone;
• Za pomocą jednego szablonu można wykryć wiele wzorów należących do tej samej rodziny;
• Binaryzacja obrazu nie jest wymagana.

Interpretacja fizyczna i matematyczna

Krzywoliniowe współrzędne GST mogą wyjaśniać procesy fizyczne stosowane na obrazach. Dobrze znana para procesów polega na rotacji i powiększaniu. Są one związane z transformacją współrzędnych i . ${\ Displaystyle \ xi = \ log ({\ sqrt {x ^ {2} + Y ^ {2}}})}$${\ Displaystyle \ eta = \ tan ^ {-1} (x, y)}$

Jeśli obraz składa się z izo-krzywych, które można wyjaśnić tylko $\xi$, tj. jego izo-krzywe składają się z okręgów , gdzie jest dowolna funkcja różniczkowalna o rzeczywistej wartości zdefiniowana na 1D, obraz jest niezmienny w obrotach (wokół początku). ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\xi,\eta)=g(\xi)}$${\displaystyle g}$

Operacja powiększania (obejmująca cofanie) jest modelowana w podobny sposób. Jeśli obraz ma izo-krzywe, które wyglądają jak „gwiazda” lub szprychy rowerowe, tj. dla jakiejś różniczkowalnej funkcji 1D , to obraz jest niezmienny w stosunku do skalowania (bez początku). ${\displaystyle f(\xi ,\eta )=g(\eta )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

W połączeniu,

${\ Displaystyle f (\ xi, \eta ) = g (\ cos (\ theta ) \ log ({\ sqrt {x ^ {2} + Y ^ {2}}}) + \ sin (\ theta ) \ tan ^{-1}(x,y))}$

jest niezmienna w stosunku do określonej wielkości rotacji połączonej ze skalowaniem, gdzie wielkość jest sprecyzowana przez parametr . ${\displaystyle \theta}$

Analogicznie, tensor struktury kartezjańskiej jest również reprezentacją translacji. Tutaj proces fizyczny polega na zwykłym tłumaczeniu określonej kwoty wraz z tłumaczeniem wzdłuż , ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle \ cos (\ theta ) x + \ sin (\ theta ) y = {\ tekst {stała}}}$

gdzie kwota jest określona przez parametr . Najwyraźniej tutaj przedstawia kierunek linii. ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta}$

Ogólnie rzecz biorąc, estymacja reprezentuje kierunek (we współrzędnych), wzdłuż którego nieskończenie małe translacje pozostawiają obraz niezmienny, w praktyce najmniej wariantowy. Z każdą parą baz współrzędnych krzywoliniowych istnieje więc para nieskończenie małych translatorów, których kombinacja liniowa jest operatorem różniczkowym . Te ostatnie są związane z algebrą Liego . ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \xi,\eta}$

Różnorodny

„Obraz” w kontekście GST może oznaczać zarówno zwykły obraz, jak i jego otoczenie (obraz lokalny), w zależności od kontekstu. Na przykład zdjęcie jest obrazem, podobnie jak każde jego otoczenie.

Zobacz też

• Tensor struktury
• Duża transformacja
• Napinacz
• Gaussa
• Wykrywanie narożników
• Wykrywanie krawędzi
• Adaptacja kształtu afinicznego
• Kierunkowa pochodna
• Operator różniczkowy
• Algebra kłamstwa

Bibliografia