Zobecněný tenzor struktury - Generalized structure tensor

Detekce funkcí
Detekce hrany
Mazaný Deriche Rozdíl Sobel Prewitt Roberts kříž
Detekce rohů
Harrisův operátor Shi a Tomasi Zakřivení křivky úrovně Hesenské míry síly rysů SUSAN RYCHLE
Detekce blobů
Laplacián z Gaussova (LoG) Rozdíl Gaussů (DoG) Determinant Hessian (DoH) Maximálně stabilní extrémní oblasti PCBR
Detekce hřebene
Tvrdá transformace
Tvrdá transformace Zobecněná Houghova transformace
Tenzor struktury
Tenzor struktury Zobecněný tenzor struktury
Detekce afinně invariantních funkcí
Afinní přizpůsobení tvaru Harris affine Pytlovina afinní
Popis funkce
PROSÍT SURFOVAT GLOH PRASE
Měřítko prostoru
Axiomy v měřítku prostoru Podrobnosti o implementaci Pyramidy
proti t E

V obrazové analýze je zobecněný strukturní tenzor (GST) rozšířením tenzoru karteziánské struktury na křivočaré souřadnice . Používá se hlavně k detekci a reprezentaci „směrových“ parametrů křivek, stejně jako tenzátor karteziánské struktury detekuje a představuje směr v karteziánských souřadnicích. Nejlépe byly studovány rodiny křivek generované dvojicemi lokálně ortogonálních funkcí.

Je to široce známá metoda v aplikacích zpracování obrazu a videa včetně počítačového vidění, jako je biometrická identifikace pomocí otisků prstů a studie řezů lidské tkáně.

GST ve 2D a lokálně ortogonálních základnách

Nechť výraz obrázek představuje funkci, kde jsou skutečné proměnné a , a , jsou funkce s reálnou hodnotou. GST představuje směr, ve kterém může obraz procházet nekonečně malým překladem s minimální chybou (celkem nejmenších čtverců), podél „čar“ splňujících následující podmínky: ${\ Displaystyle f (\ xi (x, y), \ eta (x, y))}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle \ xi, \ eta}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

1. "Čáry" jsou obyčejné čáry na křivočarém základě souřadnic ${\ displaystyle \ xi, \ eta}$

${\ Displaystyle \ cos (\ theta) \ xi (x, y)+\ sin (\ theta) \ eta (x, y) = {\ text {konstanta}}}$

což jsou křivky v karteziánských souřadnicích, jak je znázorněno výše uvedenou rovnicí. Chyba se měří ve smyslu a minimalita chyby se tím vztahuje k normě L2 . ${\ displaystyle L^{2}}$

2. Funkce tvoří harmonický pár, tj. Splňují Cauchy -Riemannovy rovnice , ${\ Displaystyle \ xi (x, y), \ eta (x, y)}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {\ částečné \ xi} {\ částečné x}} =-{\ frac {\ částečné \ eta} {\ částečné y}}, \\ [4pt] & { \ frac {\ částečné \ xi} {\ částečné y}} = {\ frac {\ částečné \ eta} {\ částečné x}}. \ konec {zarovnáno}}}$

V souladu s tím jsou takové křivočaré souřadnice lokálně ortogonální. ${\ displaystyle \ xi, \ eta}$

Pak GST spočívá v

${\ Displaystyle GST = (\ lambda _ {max}-\ lambda _ {min}) \ int w (\ xi, \ eta) \ left [{\ begin {array} {c} {\ frac {\ partial f} {\ částečné \ xi}} \\ {\ frac {\ částečné f} {\ částečné \ eta}} \\\ konec {pole}} \ vpravo] [{\ frac {\ částečné f} {\ částečné \ xi} }, {\ frac {\ částečná f} {\ částečná \ eta}}] d \ xi d \ eta +\ lambda _ {min} I}$

kde jsou chyby (nekonečně) překladu v nejlepším směru (označeném úhlem ) a nejhorším směru (označeno ). Funkce je funkce okna definující "vnější měřítko", ve kterém bude prováděna detekce vůle, kterou lze vynechat, pokud je již zahrnuta nebo je -li úplným obrazem (spíše než lokálním). Matice je matice identity. Pomocí řetězového pravidla lze ukázat, že výše uvedenou integraci lze implementovat jako konvoluce v karteziánských souřadnicích aplikované na tenzor běžné struktury při spárování skutečné a imaginární části analytické funkce , ${\ Displaystyle 0 \ leq \ lambda _ {min} \ leq \ lambda _ {max}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ theta +\ pi /2}$${\ Displaystyle w (\ xi, \ eta)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ xi, \ eta}$${\ displaystyle g (z)}$

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c} \ xi (x, y) = \ Re g (z) \\\ eta (x, y) = \ Im g (z) \\\ end {array}} }$

kde . Příklady analytických funkcí zahrnují , jakož i monomials , , kde je libovolné kladné nebo záporné celé číslo. Monomialy jsou také označovány jako harmonické funkce v počítačovém vidění a zpracování obrazu. ${\ Displaystyle z = x+iy}$${\ Displaystyle g (z) = \ log z = \ log (x+iy)}$${\ Displaystyle g (z) = z^{n} = (x+iy)^{n}}$${\ Displaystyle g (z) = z^{n/2} = (x+iy)^{n/2}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle g (z) = z^{n}}$

Kartézský tenzor struktury je tedy zvláštním případem GST, kde , a , tj. Harmonická funkce je jednoduše . Volbou harmonické funkce lze tedy detekovat všechny křivky, které jsou lineárními kombinacemi jejích skutečných a imaginárních částí, pomocí konvolucí pouze na (obdélníkových) obrazových mřížkách, i když nejsou nekartézské. Kromě toho lze konvoluční výpočty provádět pomocí komplexních filtrů aplikovaných na komplexní verzi tenzoru struktury. Implementace GST se tedy často prováděly pomocí komplexní verze tenzoru struktury, nikoli pomocí (1,1) tenzoru. ${\ Displaystyle \ xi = x}$${\ Displaystyle \ eta = y}$${\ Displaystyle g (z) = z = (x+iy)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ xi, \ eta}$

Složitá verze GST

Protože existuje složitá verze běžného [tenzoru struktury], existuje také složitá verze GST

${\ Displaystyle {\ begin {array} {c} \ kappa _ {20} = (\ lambda _ {1}-\ lambda _ {2}) \ exp (i2 \ theta) & = & w*(h*f) ^{2} \\\ kappa _ {11} = \ lambda _ {1}+\ lambda _ {2} & = & | w |*| h*f |^{2} \\\ end {array}} }$

který je totožný s jeho bratrancem s tím rozdílem, že jde o komplexní filtr. Je třeba připomenout, že tenzor běžné struktury je skutečný filtr, obvykle definovaný vzorkovaným a zmenšeným Gaussianem pro vymezení sousedství, také známý jako vnější měřítko. Tato jednoduchost je důvodem, proč implementace GST převážně používaly výše uvedenou komplexní verzi. U rodin křivek definovaných analytickými funkcemi lze ukázat, že funkce určující okolí je komplexně hodnocena, ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle w}$${\ displaystyle \ xi, \ eta}$${\ displaystyle g}$

${\ Displaystyle w = (x \ pm iy)^{n} \ exp (-(x^{2}+y^{2})/(2 \ sigma^{2})) \ propto (D_ {x} \ pm iD_ {y})^{n} \ exp (-(x^{2}+y^{2})/(2 \ sigma^{2}))}$,

takzvaný symetrický derivát Gaussova. Variační orientace vzoru, který má být hledán, je tedy přímo začleněna do funkce definující sousedství a detekce probíhá v prostoru (obyčejného) tenzoru struktury.

Základní koncept pro jeho použití při zpracování obrazu a počítačového vidění

Efektivní detekce v obrazech je možné zpracování obrazu pro dvojici , . Složitá konvoluce (nebo odpovídající maticové operace) a bodově nelineární mapování jsou základními výpočetními prvky implementací GST. Celkově alespoň odhad čtvercový chyba se pak získá spolu se dvěma chybami, a . Analogicky s tenzorem karteziánské struktury je odhadovaný úhel v reprezentaci dvojitého úhlu, tj. Je dodáván výpočty, a může být použit jako tvarový prvek, zatímco samostatně nebo v kombinaci s může být použit jako měřítko kvality (spolehlivosti, jistoty) pro odhad úhlu. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle \ lambda _ {max}}$${\ displaystyle \ lambda _ {min}}$${\ Displaystyle 2 \ theta}$${\ Displaystyle \ lambda _ {max}-\ lambda _ {min}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {max}+\ lambda _ {min}}$

Logaritmické spirály, včetně kruhů, lze například detekovat (komplexními) konvolucemi a nelineárními mapováními. Spirály mohou být v šedých (oceňovaných) obrázcích nebo v binárním obrazu, tj. Umístění okrajových prvků příslušných vzorů, jako jsou obrysy kruhů nebo spirál, nesmí být známy ani jinak označeny.

Zobecněný tenzor struktury lze použít jako alternativu k Houghově transformaci při zpracování obrazu a počítačovém vidění k detekci vzorů, jejichž lokální orientace lze modelovat, například spojovací body. Mezi hlavní rozdíly patří:

• Povoleno je záporné i složité hlasování;
• Pomocí jedné šablony lze detekovat více vzorů patřících do stejné rodiny;
• Binarizace obrázků není vyžadována.

Fyzikální a matematická interpretace

Křivkovité souřadnice GST mohou vysvětlovat fyzikální procesy aplikované na obrázky. Dobře známá dvojice procesů spočívá v rotaci a zoomu. Ty souvisejí s transformací souřadnic a . ${\ displaystyle \ xi = \ log ({\ sqrt {x^{2}+y^{2}}})}}$${\ Displaystyle \ eta = \ tan ^{-1} (x, y)}$

Pokud se obrázek skládá z iso-křivek, které lze vysvětlit pouze $ \ xi $, tj. Jeho iso-křivky se skládají z kruhů , kde je jakákoli skutečně hodnotná diferencovatelná funkce definována na 1D, je obraz invariantní vůči rotacím (kolem původu). ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle f (\ xi, \ eta) = g (\ xi)}$${\ displaystyle g}$

Operace zoomu (zahrnující zrušení přiblížení) je modelována podobně. Pokud má obrázek iso-křivky, které vypadají jako „hvězda“ nebo paprsky kola, tj. Pro nějakou diferencovatelnou 1D funkci, pak je obraz invariantní vůči škálování (s původem). ${\ Displaystyle f (\ xi, \ eta) = g (\ eta)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$

V kombinaci,

${\ Displaystyle f (\ xi, \ eta) = g (\ cos (\ theta) \ log ({\ sqrt {x^{2}+y^{2}}})+\ sin (\ theta) \ tan ^{-1} (x, y))}$

je invariantní k určitému množství otáčení v kombinaci se škálováním, kde je částka upřesněna parametrem . ${\ displaystyle \ theta}$

Analogicky je tenzátor kartézské struktury také reprezentací překladu. Zde fyzický proces spočívá v běžném překladu určitého množství spolu s překladem , ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle \ cos (\ theta) x+\ sin (\ theta) y = {\ text {konstantní}}}$

kde je částka určena parametrem . Zde evidentně představuje směr čáry. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$

Odhad obecně představuje směr (v souřadnicích), po kterém nekonečně malé translace ponechávají obraz invariantní, v praxi nejméně variantní. S každým párem křivočarých souřadnicových základen tedy existuje dvojice nekonečně malých translátorů, jejichž lineární kombinace je diferenciálním operátorem . Ty se týkají Lieovy algebry . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ xi, \ eta}$

Smíšený

„Obraz“ v kontextu GST může znamenat jak běžný obraz, tak jeho sousedství s obrazem (místní obrázek), v závislosti na kontextu. Například fotografie je obraz, stejně jako jakékoli její okolí.

Viz také

• Tenzor struktury
• Tvrdá transformace
• Tensor
• Gaussian
• Detekce rohů
• Detekce hrany
• Afinní přizpůsobení tvaru
• Směrový derivát
• Diferenciální operátor
• Lež algebra

Reference