Matryca DFT - DFT matrix

W matematyce stosowanej macierz DFT jest wyrazem dyskretnej transformacji Fouriera (DFT) jako macierz transformacji , którą można zastosować do sygnału poprzez mnożenie macierzy .

Definicja

N -punktową DFT wyrażono jako mnożenie , gdzie jest pierwotny sygnał wejściowy, IS N -by- N kwadratowy DFT matrycy i jest DFT sygnału. ${\ Displaystyle X = Wx}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle X}$

Macierz transformacji może być zdefiniowana jako , lub równoważnie: ${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle W = \ lewo ({\ Frac {\ omega ^ {jk}} {\ sqrt {N}}} \ prawej) _ {j, k = 0, \ ldots, N-1}}$

${\ Displaystyle W = {\ Frac {1} {\ sqrt {N}}} {\ zacząć {bmatrix} 1 i 1 i 1 i 1 i \ cdots i 1 \ \ 1 i \ omega i \ omega ^ {2} i \ omega ^ {3} i \ cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\omega ^{6}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\ 1&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}&\cdots &\omega ^{3(N-1)}\\\vkropki &\vkropki &\vkropki &\vkropki & \ddots &\vdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\omega ^{3(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N -1)(N-1)}\koniec{bmatryca}}}$,

gdzie jest pierwotnym N- tym pierwiastkiem jedności w którym . Możemy uniknąć pisania dużych wykładników dla wykorzystania faktu, że dla dowolnego wykładnika mamy tożsamość Jest to macierz Vandermonde'a dla pierwiastków jedności, aż do współczynnika normalizacji. Zwróć uwagę, że współczynnik normalizacji przed sumą ( ) i znak wykładnika merely są jedynie konwencjami i różnią się w niektórych przypadkach. Cała poniższa dyskusja ma zastosowanie bez względu na konwencję, z co najwyżej niewielkimi poprawkami. Jedyną ważną rzeczą jest to, że transformaty do przodu i do tyłu mają wykładniki o przeciwnych znakach, a iloczyn ich współczynników normalizacji wynosi 1/ N . Jednak wybór tutaj sprawia, że ​​wynikowa macierz DFT jest unitarna , co jest wygodne w wielu okolicznościach. ${\ Displaystyle \ omega = e ^ {-2 \ pi i / N}}$${\ Displaystyle i ^ {2} = -1}$${\ Displaystyle \ omega}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ omega ^ {x} = \ omega ^ {x \ mod N}}.$${\ Displaystyle 1/{\ sqrt {N}}}$${\ Displaystyle 1/{\ sqrt {N}}}$

Algorytmy szybkiej transformacji Fouriera wykorzystują symetrie macierzy, aby skrócić czas mnożenia wektora przez tę macierz, od zwykłego . Podobne techniki można zastosować do mnożenia przez macierze, takie jak macierz Hadamarda i macierz Walsha . ${\ Displaystyle O (N ^ {2})}$

Przykłady

Dwupunktowy

Dwupunktowa DFT jest prostym przypadkiem, w którym pierwszy wpis to DC (suma), a drugi wpis to AC (różnica).

${\ Displaystyle W = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ zacząć {bmatrix} 1 i 1 \ \ 1 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$

Pierwszy wiersz wykonuje sumę, a drugi wiersz wykonuje różnicę.

Czynnikiem jest uczynienie przekształcenia jednostkowym (patrz poniżej). ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

Czteropunktowy

Czteropunktowa, prawoskrętna macierz DFT wygląda następująco:

${\ Displaystyle W = {\ Frac {1} {\ sqrt {4}}} {\ zacząć {bmatrix} \ omega ^ {0} i \ omega ^ {0} i \ omega ^ {0} i \ omega ^ { 0}\\\omega ^{0}&\omega ^{1}&\omega ^{2}&\omega ^{3}\\\omega ^{0}&\omega ^{2}&\omega ^ {4}&\omega ^{6}\\\omega ^{0}&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}\\\end{bmatrix}}={\ frac {1}{\sqrt {4}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\end{bmatrix}}}$

gdzie . ${\ Displaystyle \ omega = e ^ {- {\ Frac {2 \ pi i} {4}}} = - i}$

Osiem punktów

Pierwsza nietrywialna potęga liczb całkowitych dwóch przypadków dotyczy ośmiu punktów:

${\ Displaystyle W = {\ Frac {1} {\ sqrt {8}}} {\ zacząć {bmatrix} \ omega ^ {0} i \ omega ^ {0} i \ omega ^ {0} i \ omega ^ { 0}&\omega ^{0}&\omega ^{0}&\omega ^{0}&\omega ^{0}\\\omega ^{0}&\omega ^{1}&\omega ^{ 2}&\omega ^{3}&\omega ^{4}&\omega ^{5}&\omega ^{6}&\omega ^{7}\\\omega ^{0}&\omega ^{ 2}&\omega ^{4}&\omega ^{6}&\omega ^{8}&\omega ^{10}&\omega ^{12}&\omega ^{14}\\\omega ^{ 0}&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}&\omega ^{12}&\omega ^{15}&\omega ^{18}&\omega ^{21 }\\\omega ^{0}&\omega ^{4}&\omega ^{8}&\omega ^{12}&\omega ^{16}&\omega ^{20}&\omega ^{24 }&\omega ^{28}\\\omega ^{0}&\omega ^{5}&\omega ^{10}&\omega ^{15}&\omega ^{20}&\omega ^{25 }&\omega ^{30}&\omega ^{35}\\\omega ^{0}&\omega ^{6}&\omega ^{12}&\omega ^{18}&\omega ^{24 }&\omega ^{30}&\omega ^{36}&\omega ^{42}\\\omega ^{0}&\omega ^{7}&\omega ^{14}&\omega ^{21 }&\omega ^{28}&\omega ^{35}&\omega ^{42}&\omega ^{49}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {8} }}{\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&\omega &-i&-i\omega &-1&-\omega &i&i\omega \\1&-i&-1&i&1&-i&-1&i\\1 &-i\omega &i&\omega &-1&i\omega &-i&-\omega \\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&-\omega &-i&i\omega &-1&\omega &i&-i\ omega \\1&i&-1&-i&1&i&-1&-i\\1&i\omega &i&-\omega &-1&-i\omega &-i&\omega \\\end{bmatrix}}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ omega = e ^ {- {\ Frac {2 \ pi ja} {8}}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} - {\ Frac {i} {\ sqrt { 2}}}}$

(Zauważ, że .) ${\ Displaystyle \ omega ^ {8 + n} = \ omega ^ {n}}$

Poniższy obraz przedstawia DFT jako mnożenie macierzy, z elementami macierzy przedstawionymi przez próbki złożonych wykładników:

Część rzeczywista (sinusoida) jest oznaczona linią ciągłą, a część urojona (sinusoida) linią przerywaną.

Górny rząd to same jedynki (skalowane przez dla unitarności), więc „mierzy” składową stałą w sygnale wejściowym. Kolejny rząd to osiem próbek ujemnego jednego cyklu złożonego wykładniczego, tj. sygnału o ułamkowej częstotliwości -1/8, więc „mierzy” ile „siły” jest przy ułamkowej częstotliwości +1/8 w sygnał. Przypomnij sobie, że dopasowany filtr porównuje sygnał z odwróconą w czasie wersją tego, czego szukamy, więc gdy szukamy fracfreq. 1/8 porównujemy z fracfreq. -1/8 więc dlatego ten wiersz jest częstotliwością ujemną . Następny rząd to ujemne dwa cykle złożonego wykładnika, próbkowane w ośmiu miejscach, więc ma ułamkową częstotliwość -1/4, a zatem „mierzy” stopień, w jakim sygnał ma ułamkową częstotliwość +1/4. ${\displaystyle 1/{\sqrt {8}}}$

Poniżej podsumowano, jak działa 8-punktowa DFT, wiersz po wierszu, pod względem częstotliwości ułamkowej:

• 0 mierzy ilość prądu stałego w sygnale
• -1/8 mierzy, jaka część sygnału ma ułamkową częstotliwość +1/8
• −1/4 mierzy, jaka część sygnału ma ułamkową częstotliwość +1/4
• -3/8 mierzy, jaka część sygnału ma ułamkową częstotliwość +3/8
• −1/2 mierzy, jaka część sygnału ma ułamkową częstotliwość +1/2
• -5/8 mierzy, jaka część sygnału ma ułamkową częstotliwość +5/8
• −3/4 mierzy, jaka część sygnału ma ułamkową częstotliwość +3/4
• -7/8 mierzy, jaka część sygnału ma ułamkową częstotliwość +7/8

Równoważnie można powiedzieć, że ostatni rząd ma częstotliwość ułamkową +1/8, a tym samym mierzy, jaka część sygnału ma częstotliwość ułamkową -1/8. W ten sposób można powiedzieć, że górne wiersze macierzy „mierzą” dodatnią zawartość częstotliwości w sygnale, a dolne wiersze mierzą ujemną składową częstotliwości w sygnale.

Transformacja jednostkowa

DFT jest (lub może być, poprzez odpowiedni dobór skalowania) transformacją unitarną, czyli zachowującą energię. Właściwym doborem skalowania do osiągnięcia unitarności jest , aby energia w domenie fizycznej była taka sama jak energia w domenie Fouriera, tj. aby spełnić twierdzenie Parsevala . (Inne, niejednolite skalowania są również powszechnie stosowane dla wygody obliczeniowej; np. twierdzenie o splocie przybiera nieco prostszą formę ze skalowaniem przedstawionym w artykule o dyskretnej transformacji Fouriera ). ${\ Displaystyle 1/{\ sqrt {N}}}$

Inne właściwości

Inne właściwości macierzy DFT, w tym jej wartości własne, połączenia ze splotami, zastosowania itd., można znaleźć w artykule o dyskretnej transformacji Fouriera .

Przypadek graniczny: operator Fouriera

Pojęcie transformacji Fouriera można łatwo uogólnić . Jedno z takich formalnych uogólnień N- punktowej DFT można sobie wyobrazić, przyjmując N arbitralnie duże. W granicy rygorystyczna maszyneria matematyczna traktuje takie operatory liniowe jako tak zwane transformacje całkowe . W tym przypadku, jeśli zrobimy bardzo dużą macierz ze złożonymi wykładnikami w wierszach (tj. części rzeczywiste cosinus i części urojone sinus) i zwiększymy rozdzielczość bez ograniczeń, zbliżymy się do jądra równania całkowego Fredholma drugiego rodzaju, mianowicie operator Fouriera, który definiuje ciągłą transformację Fouriera. Prostokątna część tego ciągłego operatora Fouriera może być wyświetlana jako obraz, analogicznie do macierzy DFT, jak pokazano po prawej stronie, gdzie wartość piksela w skali szarości oznacza wielkość liczbową.

Zobacz też

• Przekształcenie wielowymiarowe
• Macierze zegara i zmiany

Bibliografia

• The Transform and Data Compression Handbook autorstwa PC Yip, K. Ramamohan Rao – patrz rozdział 2, aby zapoznać się z obróbką DFT opartą w dużej mierze na macierzy DFT

Linki zewnętrzne

• Operator Fouriera i dziesiątkowanie w czasie (DIT)