DFT matrisi - DFT matrix

Uygulamalı matematikte, bir DFT matrisi , matris çarpımı yoluyla bir sinyale uygulanabilen bir dönüşüm matrisi olarak ayrık bir Fourier dönüşümünün (DFT) ifadesidir .

Tanım

Bir N DFT çarpımı olarak ifade edilir -Point , orijinal giriş sinyali, bir N -by- N kare DFT matris ve sinyalin kalınlığıdır. ${\görüntüleme stili X=Gx}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili W}$ ${\görüntüleme stili X}$

Dönüşüm matrisi şu şekilde veya eşdeğer olarak tanımlanabilir : ${\görüntüleme stili W}$${\displaystyle W=\sol({\frac {\omega ^{jk}}{\sqrt {N}}}\sağ)_{j,k=0,\ldots ,N-1}}$

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\omega ^{3}&\ cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\omega ^{6}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\ 1&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}&\cdots &\omega ^{3(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\omega ^{3(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N -1)(N-1)}\end{bmatris}}}$,

burada a, ilkel N birlik inci kök bölgesindeki . Herhangi bir üs için özdeşliğe sahip olduğumuz gerçeğini kullanmak için büyük üsler yazmaktan kaçınabiliriz. Bu, normalizasyon faktörüne kadar birliğin kökleri için Vandermonde matrisidir . Toplamın ( ) önündeki normalleştirme faktörünün ve ω'deki üs işaretinin yalnızca geleneksel olduğunu ve bazı işlemlerde farklılık gösterdiğini unutmayın. Aşağıdaki tartışmaların tümü, en küçük düzeltmelerle, sözleşmeden bağımsız olarak geçerlidir. Önemli olan tek şey, ileri ve ters dönüşümlerin zıt işaretli üslere sahip olması ve normalleştirme faktörlerinin çarpımının 1/ N olmasıdır . Bununla birlikte, buradaki seçim , birçok durumda uygun olan, sonuçtaki DFT matrisini üniter yapar . ${\displaystyle \omega =e^{-2\pi i/N}}$${\displaystyle ben^{2}=-1}$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle \omega ^{x}=\omega ^{x\mod N}.}$${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$

Hızlı Fourier dönüşüm algoritmaları, bir vektörü bu matrisle çarpma süresini normalden azaltmak için matrisin simetrilerini kullanır . Hadamard matrisi ve Walsh matrisi gibi matrislerle çarpmalar için benzer teknikler uygulanabilir . ${\ Displaystyle O(N^{2})}$

Örnekler

iki nokta

İki noktalı DFT, ilk girişin DC (toplam) ve ikinci girişin AC (fark) olduğu basit bir durumdur .

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$

İlk satır toplamı gerçekleştirir ve ikinci satır farkı gerçekleştirir.

faktörü , dönüşümü üniter hale getirmektir (aşağıya bakınız). ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

dört nokta

Dört noktalı saat yönünde DFT matrisi aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {4}}}{\begin{bmatrix}\omega ^{0}&\omega ^{0}&\omega ^{0}&\omega ^{ 0}\\\omega ^{0}&\omega ^{1}&\omega ^{2}&\omega ^{3}\\\omega ^{0}&\omega ^{2}&\omega ^ {4}&\omega ^{6}\\\omega ^{0}&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}\\\end{bmatrix}}={\ frac {1}{\sqrt {4}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\end{bmatrix}}}$

nerede . ${\displaystyle \omega =e^{-{\frac {2\pi i}{4}}}=-i}$

sekiz nokta

İki durumun önemsiz olmayan ilk tamsayı gücü sekiz nokta içindir:

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {8}}}{\begin{bmatrix}\omega ^{0}&\omega ^{0}&\omega ^{0}&\omega ^{ 0}&\omega ^{0}&\omega ^{0}&\omega ^{0}&\omega ^{0}\\\omega ^{0}&\omega ^{1}&\omega ^{ 2}&\omega ^{3}&\omega ^{4}&\omega ^{5}&\omega ^{6}&\omega ^{7}\\\omega ^{0}&\omega ^{ 2}&\omega ^{4}&\omega ^{6}&\omega ^{8}&\omega ^{10}&\omega ^{12}&\omega ^{14}\\\omega ^{ 0}&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}&\omega ^{12}&\omega ^{15}&\omega ^{18}&\omega ^{21 }\\\omega ^{0}&\omega ^{4}&\omega ^{8}&\omega ^{12}&\omega ^{16}&\omega ^{20}&\omega ^{24 }&\omega ^{28}\\\omega ^{0}&\omega ^{5}&\omega ^{10}&\omega ^{15}&\omega ^{20}&\omega ^{25 }&\omega ^{30}&\omega ^{35}\\\omega ^{0}&\omega ^{6}&\omega ^{12}&\omega ^{18}&\omega ^{24 }&\omega ^{30}&\omega ^{36}&\omega ^{42}\\\omega ^{0}&\omega ^{7}&\omega ^{14}&\omega ^{21 }&\omega ^{28}&\omega ^{35}&\omega ^{42}&\omega ^{49}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {8} }}{\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&\omega &-i&-i\omega &-1&-\omega &i&i\omega \\1&-i&-1&i&1&-i&-1&i\\1 &-i\omega &i&\omega &-1&i\omega &-i&-\omega \\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&-\omega &-i&i\omega &-1&\omega &i&-i\ omega \\1&i&-1&-i&1&i&-1&-i\\1&i\omega &i&-\omega &-1&-i\omega &-i&\omega \\\end{bmatrix}}}$

nerede

${\displaystyle \omega =e^{-{\frac {2\pi i}{8}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}-{\frac {i}{\sqrt { 2}}}}$

(Buna dikkat edin .) ${\displaystyle \omega ^{8+n}=\omega ^{n}}$

Aşağıdaki görüntü, DFT'yi, karmaşık üstel örnekleriyle gösterilen matris öğeleriyle birlikte bir matris çarpımı olarak gösterir:

Gerçek kısım (kosinüs dalgası) düz bir çizgi ile ve hayali kısım (sinüs dalgası) kesikli bir çizgi ile gösterilir.

En üst sıra hepsi birdir ( birlik için ölçeklenir ), bu nedenle giriş sinyalindeki DC bileşenini "ölçer" . Sonraki satır, karmaşık bir üstel, yani -1/8 kesirli frekansı olan bir sinyalin negatif bir çevriminin sekiz örneğidir, bu nedenle, +1/8 kesirli frekansta ne kadar "kuvvet" olduğunu "ölçer". sinyal. Eşleşen bir filtrenin sinyali, aradığımız şeyin zaman ters çevrilmiş bir versiyonuyla karşılaştırdığını hatırlayın , bu yüzden fracfreq'i aradığımızda. 1/8 frakfreq ile karşılaştırırız. -1/8 bu yüzden bu satır negatif bir frekanstır . Sonraki satır, sekiz yerde örneklenen bir karmaşık üstel eksi iki döngüdür, bu nedenle -1/4 kesirli bir frekansa sahiptir ve böylece sinyalin +1/4'lük bir kesirli frekansa sahip olduğu kapsamı "ölçer". ${\displaystyle 1/{\sqrt {8}}}$

Aşağıdakiler, 8 noktalı DFT'nin kesirli frekans açısından satır satır nasıl çalıştığını özetler:

• 0, sinyalde ne kadar DC olduğunu ölçer
• −1/8, sinyalin ne kadarının +1/8 kesirli frekansına sahip olduğunu ölçer
• −1/4, sinyalin ne kadarının +1/4 kesirli frekansa sahip olduğunu ölçer
• −3/8, sinyalin ne kadarının +3/8 kesirli frekansına sahip olduğunu ölçer
• −1/2, sinyalin ne kadarının +1/2 kesirli frekansına sahip olduğunu ölçer
• -5/8, sinyalin ne kadarının +5/8 kesirli frekansına sahip olduğunu ölçer
• −3/4, sinyalin ne kadarının +3/4 kesirli frekansına sahip olduğunu ölçer
• −7/8, sinyalin ne kadarının +7/8 kesirli frekansına sahip olduğunu ölçer

Eşdeğer olarak, son satırın +1/8'lik bir kesirli frekansa sahip olduğu söylenebilir ve böylece sinyalin ne kadarının -1/8'lik bir kesirli frekansa sahip olduğu ölçülebilir. Bu şekilde, matrisin üst sıralarının sinyaldeki pozitif frekans içeriğini "ölçtüğü" ve alt sıraların sinyaldeki negatif frekans bileşenini ölçtüğü söylenebilir.

üniter dönüşüm

DFT, (veya uygun ölçekleme seçimi yoluyla olabilir), üniter bir dönüşümdür, yani enerjiyi koruyan bir dönüşümdür. Üniterliğe ulaşmak için uygun ölçeklendirme seçimi , fiziksel alandaki enerjinin Fourier alanındaki enerjiyle aynı olacağı, yani Parseval teoremini tatmin edecek şekildedir . (Diğer, üniter olmayan ölçeklendirmeler de hesaplama kolaylığı için yaygın olarak kullanılır; örneğin, evrişim teoremi , ayrık Fourier dönüşümü makalesinde gösterilen ölçeklendirme ile biraz daha basit bir biçim alır .) ${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$

Diğer özellikler

DFT matrisinin özdeğerleri, evrişimlere bağlantı, uygulamalar vb. dahil olmak üzere diğer özellikleri için ayrık Fourier dönüşümü makalesine bakın.

Sınırlayıcı bir durum: Fourier operatörü

Fourier dönüşümü kavramı kolaylıkla genelleştirilebilir . N noktalı DFT'nin böyle bir resmi genellemesi, N'nin keyfi olarak büyük alınmasıyla hayal edilebilir . Sınırda, katı matematiksel makineler bu tür lineer operatörleri sözde integral dönüşümler olarak ele alır . Bu durumda, satırlarda karmaşık üstellerle (yani, kosinüs reel kısımlar ve sinüs sanal kısımlar) çok büyük bir matris yaparsak ve çözünürlüğü sınırsız arttırırsak, 2. tür Fredholm integral denkleminin çekirdeğine yaklaşırız, yani sürekli Fourier dönüşümünü tanımlayan Fourier operatörü . Bu sürekli Fourier operatörünün dikdörtgen bir kısmı, sağda gösterildiği gibi, gri tonlamalı piksel değerinin sayısal miktarı ifade ettiği DFT matrisine benzer bir görüntü olarak görüntülenebilir.

Ayrıca bakınız

• çok boyutlu dönüşüm
• Saat ve kaydırma matrisleri

Referanslar

• PC Yip, K. Ramamohan Rao tarafından hazırlanan Dönüştürme ve Veri Sıkıştırma El Kitabı – DFT'nin büyük ölçüde DFT matrisine dayalı olarak ele alınması için 2. bölüme bakın

Dış bağlantılar

• Fourier Operatörü ve Zaman İçinde Desimasyon (DIT)