Częstotliwość ujemna - Negative frequency

Pojęcie częstotliwości ujemnej i dodatniej może być tak proste, jak koło obracające się w jedną lub drugą stronę: podpisana wartość częstotliwości może wskazywać zarówno prędkość, jak i kierunek obrotu. Szybkość jest wyrażona w jednostkach takich jak obroty (czyli cykle ) na sekundę ( herc ) lub radiany /sekundę (gdzie 1 cykl odpowiada 2 π radianom ).

Sinusoidy

Niech ω będzie nieujemnym parametrem z jednostkami radianów/sekundę. Wtedy funkcja kątowa (kąt w funkcji czasu) − ωt + θ , ma nachylenie − ω , które nazywamy częstotliwością ujemną . Ale gdy funkcja jest używana jako argument operatora cosinus, wynik jest nie do odróżnienia od cos( ωt − θ ) . Podobnie sin(− ωt + θ ) jest nie do odróżnienia od sin( ωt − θ + π ) . Tak więc każdą sinusoidę można przedstawić w postaci częstotliwości dodatnich. Znak bazowego nachylenia fazy jest niejednoznaczny.

Ujemna częstotliwość powoduje, że funkcja sin (fiolet) prowadzi cos (czerwony) o 1/4 cyklu.

Wektor (cos t , sin t ) obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością 1 radiana/sekundę i zatacza okrąg co 2 π sekundy. Wektor (cos − t , sin − t ) obraca się w przeciwnym kierunku (nie pokazano).

Niejednoznaczność jest rozwiązana, gdy operatory cosinus i sinus mogą być obserwowane jednocześnie, ponieważ cos( ωt + θ ) prowadzi sin( ωt + θ ) o 1/4 cyklu (= π /2 radiany) gdy ω > 0 , i opóźnia się o 1 /4 cykl, gdy ω < 0 . Podobnie wektor (cos t , sin t ) obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością 1 radiana/sekundę i zatacza okrąg co 2π sekundy, a wektor (cos -t, sin -t) obraca się w przeciwnym kierunku.

Znak ω jest również zachowany w funkcji o wartościach zespolonych :

{\ Displaystyle e ^ {i \ omega t} = \ underbrace {\ cos (\ omega t)} _ {R (t)} + ja \ cdot \ underbrace {\ sin (\ omega t)} _ {ja (t )},}

( Równanie 1 )

ponieważ R( t ) i I( t ) można wyodrębnić i porównać oddzielnie. Chociaż wyraźnie zawiera więcej informacji niż którykolwiek z jego składników, powszechną interpretacją jest to, że jest to prostsza funkcja, ponieważ: ${\ Displaystyle e ^ {i \ omega t}}$

Upraszcza to wiele ważnych obliczeń trygonometrycznych , co prowadzi do jego formalnym opisem co analitycznej reprezentacji dnia . ${\ Displaystyle \ cos (\ omega t)}$

Następstwem równania 1 jest:

{\ Displaystyle \ cos (\ omega t) = {\ zacząć {macierz} {\ Frac {1} {2}} \ koniec {macierz}} \ lewo (e ^ {i \ omega t} + e ^ {-i \omega t}\prawda),}

( Równanie 2 )

co prowadzi do interpretacji, że cos( ωt ) obejmuje zarówno częstotliwości dodatnie, jak i ujemne. Ale suma jest w rzeczywistości anulowaniem, które zawiera mniej, a nie więcej informacji. Każda miara wskazująca obie częstotliwości zawiera fałszywie dodatnią wartość (lub alias ), ponieważ ω może mieć tylko jeden znak. Na przykład transformacja Fouriera mówi nam jedynie, że cos( ωt ) koreluje krzyżowo równie dobrze z cos( ωt ) + i sin( ωt ) jak z cos( ωt ) − i sin( ωt ) .

Aplikacje

Być może najbardziej znanym zastosowaniem częstotliwości ujemnej jest obliczenie:

{\ Displaystyle X (\ omega ) = \ int _ {a} ^ {b} x (t) \ cdot e ^ {-i \ omega t} dt}

który jest miarą wielkości częstotliwości ω w funkcji x ( t ) w przedziale ( a , b ) . Gdy ocenia się jako ciągłą funkcję Ohm na przedział teoretycznej (-∞, ∞) , jest znany jako transformaty Fouriera z x ( t ). Krótkie wyjaśnienie jest takie, że iloczyn dwóch złożonych sinusoid jest również złożoną sinusoidą, której częstotliwość jest sumą oryginalnych częstotliwości. Zatem gdy ω jest dodatnie, powoduje zmniejszenie wszystkich częstotliwości x ( t ) o wielkość ω . Jakakolwiek część x ( t ), która była przy częstotliwości ω, jest zmieniana na częstotliwość zero, która jest po prostu stałą, której poziom amplitudy jest miarą siły oryginalnej zawartości ω . I jakakolwiek część x ( t ), która była przy częstotliwości zero, jest zamieniana na sinusoidę o częstotliwości − ω . Podobnie wszystkie inne częstotliwości są zmieniane na wartości niezerowe. Wraz ze wzrostem przedziału ( a , b ) udział składnika stałego rośnie proporcjonalnie. Ale wkłady członów sinusoidalnych oscylują tylko wokół zera. Zatem X ( ω ) poprawia się jako względna miara wielkości częstotliwości ω w funkcji x ( t ). ${\ Displaystyle e ^ {-i \ omega t}}$

Transformaty Fouriera z produkuje niezerowy odpowiedzi tylko na częstotliwości Ohm . Transformacji z ma odpowiedzi zarówno Ohm i - Ohm , jak przewidywano przez Eq.2 . ${\ Displaystyle e ^ {i \ omega t}}$ ${\ Displaystyle \ cos (\ omega t)}$

Próbkowanie częstotliwości dodatnich i ujemnych oraz aliasing

Ta figura przedstawia dwie złożone sinusoidy, w kolorze złotym i cyjanowym, które pasują do tych samych zestawów rzeczywistych i urojonych punktów próbkowania. Są zatem aliasami siebie nawzajem, gdy są próbkowane z szybkością ( f _s ) wskazaną przez linie siatki. Funkcja w kolorze złotym przedstawia częstotliwość dodatnią, ponieważ jej część rzeczywista (funkcja cos) prowadzi część urojoną o 1/4 jednego cyklu. Funkcja cyjan przedstawia częstotliwość ujemną, ponieważ jej część rzeczywista pozostaje w tyle za częścią urojoną.

Uwagi

Dalsza lektura

Częstotliwości dodatnie i ujemne
Lyons, Richard G. (11 listopada 2010). Rozdział 8.4. Zrozumienie cyfrowego przetwarzania sygnałów (3rd ed.). Sala Prezydencka. 944 str. ISBN 013727419 .

Languages

In other projects