Rozkład prawdopodobieństwa warunkowego - Conditional probability distribution

W teorii prawdopodobieństwa i statystyki , podawana dwa wspólnie rozmieszczone zmiennymi losowymi i The rozkład warunkowy z Y podano X jest rozkład prawdopodobieństwa na gdy znany jest szczególną wartość; W niektórych przypadkach prawdopodobieństwa warunkowego może być wyrażone w funkcji zawierających nieokreślonej wartości w postaci parametru. Gdy obie i są zmiennymi kategorialnymi , tabela prawdopodobieństwa warunkowego jest zwykle używana do reprezentowania prawdopodobieństwa warunkowego. Rozkład warunkowy kontrastuje z rozkładem krańcowym zmiennej losowej, który jest jej rozkładem bez odniesienia do wartości drugiej zmiennej. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

Jeżeli rozkład warunkowy danego jest rozkładem ciągłym , to jego funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest znana jako warunkowa funkcja gęstości . Właściwości rozkładu warunkowego, takie jak momenty , są często określane odpowiednimi nazwami, takimi jak średnia warunkowa i wariancja warunkowa . ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$

Bardziej ogólnie, można odnieść się do warunkowego rozkładu podzbioru zbioru więcej niż dwóch zmiennych; ten rozkład warunkowy jest zależny od wartości wszystkich pozostałych zmiennych, a jeśli więcej niż jedna zmienna jest uwzględniona w podzbiorze, to ten rozkład warunkowy jest warunkowym rozkładem łącznym uwzględnionych zmiennych.

Warunkowe rozkłady dyskretne

Dla dyskretnych zmiennych losowych funkcję masy prawdopodobieństwa warunkowego danego można zapisać zgodnie z jej definicją jako: ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X = x}$

Ze względu na występowanie w mianowniku jest to określone tylko dla wartości niezerowych (a więc ściśle dodatnich)${\ Displaystyle P (X = x)}$${\displaystyle P(X=x).}$

Związek z rozkładem prawdopodobieństwa danego to: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle P (Y = y \ średni X = x) P (X = x) = P (\ {X = x \} \ czapka \ {Y = y \}) = P (X = x \ średni Y = y)P(Y=y).}$

Przykład

Rozważ rzut uczciwą kostką i pozwól, jeśli liczba jest parzysta (tj. 2, 4 lub 6) i inaczej. Ponadto niech, jeśli liczba jest pierwsza (tj. 2, 3 lub 5) i inaczej. ${\ Displaystyle X = 1}$${\ Displaystyle X = 0}$${\ Displaystyle Y = 1}$${\ Displaystyle Y = 0}$

D	1	2	3	4	5	6
x	0	1	0	1	0	1
Tak	0	1	1	0	1	0

Wtedy bezwarunkowe prawdopodobieństwo, które wynosi 3/6 = 1/2 (ponieważ istnieje sześć możliwych rzutów kostką, z czego trzy są parzyste), natomiast prawdopodobieństwo warunkowego wynosi 1/3 (ponieważ możliwe są trzy możliwe rzuty na liczby pierwsze —2, 3 i 5 — z których jeden jest parzysty). ${\ Displaystyle X = 1}$${\ Displaystyle X = 1}$${\ Displaystyle Y = 1}$

Warunkowe rozkłady ciągłe

Podobnie w przypadku ciągłych losowych , warunkowego funkcji gęstości prawdopodobieństwa z uwagi na występowanie wartości od można zapisać ${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$

gdzie daje wspólny gęstość od a , natomiast daje marginalną gęstości dla . Również w tym przypadku konieczne jest . ${\ Displaystyle f_ {X, Y} (x, y)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f_ {X} (x)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f_ {X} (x)> 0}$

Związek z rozkładem prawdopodobieństwa danego wyraża się wzorem: ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle f_ {Y \ mid X} (y \ mid x) f_ {X} (x) = f_ {X, Y} (x, y) = f_ {X | Y} (x \ mid y) f_ { T}(y).}$

Pojęcie rozkładu warunkowego ciągłej zmiennej losowej nie jest tak intuicyjne, jak mogłoby się wydawać: paradoks Borela pokazuje, że funkcje gęstości prawdopodobieństwa warunkowego nie muszą być niezmiennicze przy przekształceniach współrzędnych.

Przykład

Wykres przedstawia dwuwymiarową normalną gęstość stawów dla zmiennych losowych i . Aby zobaczyć rozkład warunkowego na , można najpierw zwizualizować linię w płaszczyźnie , a następnie zwizualizować płaszczyznę zawierającą tę linię i prostopadłą do płaszczyzny. Przecięcie tej płaszczyzny z normalną gęstością połączenia, po przeskalowaniu w celu uzyskania pola powierzchni pod przecięciem, jest odpowiednią gęstością warunkową . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X = 70}$${\ Displaystyle X = 70}$${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X,Y}$${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle Y \ mid X = 70 \ \ sigma \ {\ mathcal {N}} \ lewo (\ mu _ {1} + {\ Frac {\ Sigma _ {1}} {\ Sigma _ {2}}} \rho (70-\mu _{2}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{1}^{2}\right).}$

Stosunek do niezależności

Zmienne losowe , są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład warunkowy danego jest, dla wszystkich możliwych realizacji , równy bezwarunkowemu rozkładowi . Dla dyskretnych zmiennych losowych to oznacza dla wszystkich możliwych i z . Dla ciągłych losowych oraz , o funkcji stawów gęstości , oznacza to, że dla wszystkich możliwych i z . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle P (Y = y | X = x) = P (Y = y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle P (X = x)> 0}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f_ {Y} (y | X = x) = f_ {Y} (y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle f_ {X} (x)> 0}$

Nieruchomości

Postrzegana jako funkcja dla danego , jest funkcją masy prawdopodobieństwa, a więc suma po wszystkich (lub całka, jeśli jest to gęstość prawdopodobieństwa warunkowego) wynosi 1. Postrzegana jako funkcja dla danego , jest funkcją prawdopodobieństwa , tak że suma nad wszystkimi nie musi wynosić 1. ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle P (Y = y | X = x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Dodatkowo, marginalny rozkład łączny może być wyrażony jako oczekiwanie odpowiedniego rozkładu warunkowego. Na przykład . ${\ Displaystyle p_ {X} (x) = E_ {Y} [p_ {X | Y} (X \ | \ Y)]}$

Formuła teoretyczno-miarowa

Pozwolić być przestrzenią prawdopodobieństwo, -field w . Biorąc pod uwagę , z twierdzenia Radona-Nikodyma wynika, że ​​istnieje mierzalna zmienna losowa , zwana prawdopodobieństwem warunkowym , taka, że${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\ Displaystyle P (A \ mid {\ mathcal {G}}): \ Omega \ do \ mathbb {R}}$

dla każdego , a taka zmienna losowa jest jednoznacznie zdefiniowana do zbiorów o prawdopodobieństwie zerowym. Warunkowe prawdopodobieństwo nazywany jest regularny , jeżeli jest miarą prawdopodobieństwa na wszystkie ae ${\ Displaystyle G \ w {\ Mathcal {G}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {P} (\ cdot \ mid {\ mathcal {B}}) (\ omega)}$${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$${\ Displaystyle \ omega \ w \ omega}$

Przypadki specjalne:

• Dla trywialnej algebry sigma , prawdopodobieństwo warunkowe jest funkcją stałą${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} = \ {\ pusty zestaw \ Omega \}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {P} \! \ lewo (A \ Mid \ {\ Emptyset \ Omega \} \ Right) = \ Operatorname {P} (A).}$
• Jeżeli , to , funkcja wskaźnika (zdefiniowana poniżej).${\ Displaystyle A \ w {\ Mathcal {G}}}$${\ Displaystyle \ Operatorname {P} (A \ Mid {\ Mathcal {G}}) = 1_ {A}}$

Niech będzie zmienną losową o wartościach. Dla każdego zdefiniuj${\ Displaystyle X: \ Omega \ do E}$${\ Displaystyle (E {\ Mathcal {E}})}$${\ Displaystyle B \ w {\ Mathcal {E}}}$

$${\ Displaystyle \ mu _ {X \, | \, {\ mathcal {G}}} (B \, | \, {\ mathcal {G}}) = \ operatorname {P} (X ^ {-1} ( B)\,|\,{\mathcal {G}}).}$$

Dla każdego , funkcja nazywana jest prawdopodobieństwo warunkowe podział na podane . Jeśli jest to miara prawdopodobieństwa na , nazywa się ją regularną . ${\ Displaystyle \ omega \ w \ omega}$${\ Displaystyle \ mu _ {X \, | {\ mathcal {G}}} (\ cdot \, | {\ mathcal {G}}) (\ omega): {\ mathcal {E}} \ do \ mathbb { R} }$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\ Displaystyle (E {\ Mathcal {E}})}$

O wartościach rzeczywistych zmiennej losowej (w stosunku do Borel -field sprawie ), każdy rozkład warunkowy jest regularny. W tym przypadku prawie na pewno. ${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {R}} ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle E [X \ mid {\ mathcal {G}}] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ \ mu (dx \ cdot)}$

Związek z warunkowym oczekiwaniem

Dla dowolnego zdarzenia zdefiniuj funkcję

wskaźnika : ${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (\ omega ) = {\ zacząć {przypadki} 1 \; & {\ tekst {jeśli}} \ omega \ w A \ \ 0 \; & {\ tekst { jeśli }}\omega \notin A,\end{przypadki}}}$

która jest zmienną losową. Zauważ, że oczekiwanie tej zmiennej losowej jest równe prawdopodobieństwu samego A :

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A}) = \ operatorname {P} (A). \;}$

Biorąc pod uwagę -pole , prawdopodobieństwo warunkowe jest wersją

warunkowego oczekiwania funkcji wskaźnika dla : ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {P} (A \ mid {\ mathcal {G}})}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (A \ mid {\ mathcal {B}}) = \ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A} \ mid {\ mathcal {B}}) \;}$

Oczekiwanie zmiennej losowej w odniesieniu do regularnego prawdopodobieństwa warunkowego jest równe jej oczekiwaniu warunkowemu.

Zobacz też

• Kondycjonowanie (prawdopodobieństwo)
• Warunkowe prawdopodobieństwo
• Regularne prawdopodobieństwo warunkowe
• Twierdzenie Bayesa

Uwagi

Bibliografia

• Billingsley, Patrick (1995). Prawdopodobieństwo i miara (wyd. 3). Nowy Jork: John Wiley i synowie.