Distribuția probabilității condiționată - Conditional probability distribution

În teoria probabilităților și statistica , având în vedere două distribuite în comun variabile aleatoare și , distribuția de probabilitate condiționată de Y dată X este distribuția de probabilitate de când este cunoscută ca fiind o anumită valoare; în unele cazuri probabilitățile condiționate pot fi exprimate ca funcții care conțin valoarea nespecificată a ca parametru. Când ambele și sunt variabile categorice , un tabel de probabilitate condițională este de obicei folosit pentru a reprezenta probabilitatea condițională. Distribuția condițională contrastează cu distribuția marginală a unei variabile aleatorii, care este distribuția acesteia fără referire la valoarea celeilalte variabile. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Dacă distribuția condițională a datului este o distribuție continuă , atunci funcția sa de densitate de probabilitate este cunoscută sub numele de funcția de densitate condițională . Proprietățile unei distribuții condiționate, cum ar fi momentele , sunt adesea menționate prin nume corespunzătoare, cum ar fi media condițională și varianța condițională . ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

Mai general, se poate face referire la distribuția condiționată a unui subset al unui set de mai mult de două variabile; această distribuție condiționată este condiționată de valorile tuturor variabilelor rămase și, dacă mai multe variabile sunt incluse în subset, atunci această distribuție condițională este distribuția condiționată comună a variabilelor incluse.

Distribuții discrete condiționate

Pentru variabilele aleatorii discrete , funcția de probabilitate condiționată a masei date poate fi scrisă conform definiției sale ca: ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X = x}$

Datorită apariției unui numitor, aceasta este definită numai pentru non-zero (deci strict pozitiv)${\ displaystyle P (X = x)}$${\ displaystyle P (X = x).}$

Relația cu distribuția probabilității date este: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle P (Y = y \ mid X = x) P (X = x) = P (\ {X = x \} \ cap \ {Y = y \}) = P (X = x \ mid Y = y) P (Y = y).}$

Exemplu

Luați în considerare rolul unei matrițe corecte și lăsați dacă numărul este par (adică 2, 4 sau 6) și altfel. Mai mult, permiteți dacă numărul este prim (adică 2, 3 sau 5) și altfel. ${\ displaystyle X = 1}$${\ displaystyle X = 0}$${\ displaystyle Y = 1}$${\ displaystyle Y = 0}$

D	1	2	3	4	5	6
X	0	1	0	1	0	1
Da	0	1	1	0	1	0

Atunci probabilitatea necondiționată care este 3/6 = 1/2 (deoarece există șase aruncări posibile ale matriței, dintre care trei sunt pare), în timp ce probabilitatea ca condiționată să fie 1/3 (deoarece există trei aruncări posibile cu număr prim —2, 3 și 5 — dintre care unul este egal). ${\ displaystyle X = 1}$${\ displaystyle X = 1}$${\ displaystyle Y = 1}$

Distribuții continue condiționate

În mod similar pentru variabile aleatoare continue , condițional funcția de densitate de probabilitate a dat apariția valorii de poate fi scrisă ca ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$

unde dă densitatea comună a și , în timp ce dă densitatea marginală pentru . De asemenea , în acest caz, este necesar ca . ${\ displaystyle f_ {X, Y} (x, y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f_ {X} (x)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f_ {X} (x)> 0}$

Relația cu distribuția probabilității date este dată de: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle f_ {Y \ mid X} (y \ mid x) f_ {X} (x) = f_ {X, Y} (x, y) = f_ {X | Y} (x \ mid y) f_ { Y} (y).}$

Conceptul de distribuție condițională a unei variabile aleatoare continue nu este atât de intuitiv pe cât s-ar putea părea: paradoxul lui Borel arată că funcțiile densității probabilității condiționate nu trebuie să fie invariante sub transformări de coordonate.

Exemplu

Graficul prezintă o densitate articulară normală bivariantă pentru variabilele aleatoare și . Pentru a vedea distribuția condițională pe , se poate vizualiza mai întâi linia în plan , apoi vizualiza planul care conține acea linie și perpendicular pe plan. Intersecția acelui plan cu densitatea normală comună, odată redefinită pentru a da suprafața unității sub intersecție, este densitatea condițională relevantă a . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X = 70}$${\ displaystyle X = 70}$${\ displaystyle X, Y}$ ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle Y \ mid X = 70 \ \ sim \ {\ mathcal {N}} \ left (\ mu _ {1} + {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ sigma _ {2}}} \ rho (70- \ mu _ {2}), \, (1- \ rho ^ {2}) \ sigma _ {1} ^ {2} \ right).}$

Relația cu independența

Variabile aleatoare , sunt independente dacă și numai în cazul în care distribuția condiționată de date este, pentru toate posibile realizări de , egal cu distribuția necondiționată a . Pentru variabilele aleatorii discrete acest lucru înseamnă pentru tot posibilul și cu . Pentru variabile aleatoare continue și , având o funcție de densitate articulară , înseamnă pentru tot posibilul și cu . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle P (Y = y | X = x) = P (Y = y)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P (X = x)> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f_ {Y} (y | X = x) = f_ {Y} (y)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f_ {X} (x)> 0}$

Proprietăți

Văzut ca o funcție de pentru dat , este o funcție de masă de probabilitate și astfel suma peste toate (sau integrală dacă este o densitate de probabilitate condiționată) este 1. Văzut ca o funcție de pentru dat , este o funcție de probabilitate , astfel încât suma peste toate nu trebuie să fie 1. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P (Y = y | X = x)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

În plus, un marginal al unei distribuții comune poate fi exprimat ca așteptarea distribuției condiționale corespunzătoare. De exemplu ,. ${\ displaystyle p_ {X} (x) = E_ {Y} [p_ {X | Y} (X \ | \ Y)]}$

Formulare măsură-teoretică

Fie un spațiu de probabilitate, un câmp în . Dat fiind , teorema Radon-Nikodym implică faptul că există o variabilă aleatorie -măsurabilă , numită probabilitatea condițională , astfel încât${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle P (A \ mid {\ mathcal {G}}): \ Omega \ to \ mathbb {R}}$

pentru fiecare , și o astfel de variabilă aleatorie este definită în mod unic până la seturi de probabilitate zero. O probabilitate condiționată se numește regulat în cazul în care este o măsură de probabilitate pe pentru toate ae ${\ displaystyle G \ in {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle \ operatorname {P} (\ cdot \ mid {\ mathcal {B}}) (\ omega)}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$

Cazuri speciale:

• Pentru algebra sigma trivială , probabilitatea condițională este funcția constantă${\ displaystyle {\ mathcal {G}} = \ {\ emptyset, \ Omega \}}$${\ displaystyle \ operatorname {P} \! \ left (A \ mid \ {\ emptyset, \ Omega \} \ right) = \ operatorname {P} (A).}$
• Dacă , atunci , funcția indicator (definită mai jos).${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle \ operatorname {P} (A \ mid {\ mathcal {G}}) = 1_ {A}}$

Fie o variabilă aleatorie -evaluată. Pentru fiecare , definiți${\ displaystyle X: \ Omega \ to E}$${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {E}}}$

$${\ displaystyle \ mu _ {X \, | \, {\ mathcal {G}}} (B \, | \, {\ mathcal {G}}) = \ mathrm {P} (X ^ {- 1} ( B) \, | \, {\ mathcal {G}}).}$$

Pentru orice , funcția se numește probabilitate condiționată distribuția de date . Dacă este o măsură de probabilitate activată , atunci se numește regulată . ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ displaystyle \ mu _ {X \, | {\ mathcal {G}}} (\ cdot \, | {\ mathcal {G}}) (\ omega): {\ mathcal {E}} \ to \ mathbb { R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$

Pentru o variabilă aleatorie cu valoare reală (cu privire la Borel -field activat ), fiecare distribuție de probabilitate condiționată este regulată. În acest caz, aproape sigur. ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle E [X \ mid {\ mathcal {G}}] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \, \ mu (dx, \ cdot)}$

Relația cu așteptarea condiționată

Pentru orice eveniment , definiți

funcția indicator : ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (\ omega) = {\ begin {cases} 1 \; & {\ text {if}} \ omega \ în A, \\ 0 \; & {\ text { if}} \ omega \ notin A, \ end {cases}}}$

care este o variabilă aleatorie. Rețineți că așteptarea acestei variabile aleatorii este egală cu probabilitatea lui A în sine:

${\ displaystyle \ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A}) = \ operatorname {P} (A). \;}$

Dat fiind un câmp , probabilitatea condițională este o versiune a

așteptării condiționate a funcției indicator pentru : ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ operatorname {P} (A \ mid {\ mathcal {G}})}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} (A \ mid {\ mathcal {B}}) = \ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A} \ mid {\ mathcal {B}}) \;}$

O așteptare a unei variabile aleatorii în raport cu o probabilitate condiționată regulată este egală cu așteptarea ei condiționată.

Vezi si

• Condiționare (probabilitate)
• Probabilitate condițională
• Probabilitate condiționată regulată
• Teorema lui Bayes

Note

Referințe

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilitate și măsură (ediția a 3-a). New York: John Wiley și Sons.