Testfunksjoner for optimalisering - Test functions for optimization

I anvendt matematikk er testfunksjoner , kjent som kunstige landskap , nyttige for å evaluere egenskapene til optimaliseringsalgoritmer, for eksempel:

Konvergensrate.
Presisjon.
Robusthet.
Generell ytelse.

Her presenteres noen testfunksjoner med sikte på å gi en ide om de forskjellige situasjonene som optimaliseringsalgoritmer må møte når de takler denne typen problemer. I den første delen presenteres noen objektive funksjoner for enkeltmålsoptimaliseringssaker. I den andre delen er det gitt testfunksjoner med sine respektive Pareto-fronter for multi-objektive optimaliseringsproblemer (MOP).

De kunstige landskapene som presenteres her for enkelt-objektive optimaliseringsproblemer er hentet fra Bäck, Haupt et al. og fra Rody Oldenhuis-programvaren. Gitt antall problemer (totalt 55), presenteres bare noen få her.

Testfunksjonene som ble brukt til å evaluere algoritmene for MOP ble hentet fra Deb, Binh et al. og Binh. Du kan laste ned programvaren utviklet av Deb, som implementerer NSGA-II-prosedyren med GA, eller programmet som er lagt ut på Internett, som implementerer NSGA-II-prosedyren med ES.

Bare en generell form for ligningen, et diagram over den objektive funksjonen, grensene til objektvariablene og koordinatene til globale minima er gitt her.

Testfunksjoner for optimalisering av enkeltmål

Navn	Formel	Globalt minimum	Søk domenet
Rastrigin-funksjon	${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = En + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ venstre [x_ {i} ^ {2} -A \ cos (2 \ pi x_ {i}) \ Ikke sant]}$ ${\ displaystyle {\ text {where:}} A = 10}$	${\ displaystyle f (0, \ dots, 0) = 0}$	${\ displaystyle -5.12 \ leq x_ {i} \ leq 5.12}$
Ackley-funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = - 20 \ exp \ left [-0.2 {\ sqrt {0.5 \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)}} \ right]}$ ${\ displaystyle - \ exp \ left [0.5 \ left (\ cos 2 \ pi x + \ cos 2 \ pi y \ right) \ right] + e + 20}$	${\ displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ displaystyle -5 \ leq x, y \ leq 5}$
Sfærefunksjon	${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}$	${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f (0, \ dots, 0) = 0}$	${\ displaystyle - \ infty \ leq x_ {i} \ leq \ infty}$ , ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$
Rosenbrock-funksjon	${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ left [100 \ left (x_ {i + 1} -x_ {i} ^ {2} \ høyre) ^ {2} + \ venstre (1-x_ {i} \ høyre) ^ {2} \ høyre]}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} n = 2 & \ rightarrow \ quad f (1,1) = 0, \\ n = 3 & \ rightarrow \ quad f (1,1,1) = 0, \\ n> 3 & \ rightarrow \ quad f (\ underbrace {1, \ dots, 1} _ {n {\ text {times}}}) = 0 \\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle - \ infty \ leq x_ {i} \ leq \ infty}$ , ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$
Beale-funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = \ left (1.5-x + xy \ right) ^ {2} + \ left (2.25-x + xy ^ {2} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle + \ left (2.625-x + xy ^ {3} \ right) ^ {2}}$	${\ displaystyle f (3,0.5) = 0}$	${\ displaystyle -4.5 \ leq x, y \ leq 4.5}$
Goldstein – prisfunksjon	${\ displaystyle f (x, y) = \ left [1+ \ left (x + y + 1 \ right) ^ {2} \ left (19-14x + 3x ^ {2} -14y + 6xy + 3y ^ { 2} \ høyre) \ høyre]}$ ${\ displaystyle \ left [30+ \ left (2x-3y \ right) ^ {2} \ left (18-32x + 12x ^ {2} + 48y-36xy + 27y ^ {2} \ right) \ right]}$	${\ displaystyle f (0, -1) = 3}$	${\ displaystyle -2 \ leq x, y \ leq 2}$
Båsfunksjon	${\ displaystyle f (x, y) = \ left (x + 2y-7 \ right) ^ {2} + \ left (2x + y-5 \ right) ^ {2}}$	${\ displaystyle f (1,3) = 0}$	${\ displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
Bukin-funksjon N.6	${\ displaystyle f (x, y) = 100 {\ sqrt {\ left \| y-0.01x ^ {2} \ right \|}} + 0.01 \ left \| x + 10 \ right \|. \ quad}$	${\ displaystyle f (-10,1) = 0}$	${\ displaystyle -15 \ leq x \ leq -5}$ , ${\ displaystyle -3 \ leq y \ leq 3}$
Matyas funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = 0,26 \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) -0.48xy}$	${\ displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
Lévi-funksjon N.13	${\ displaystyle f (x, y) = \ sin ^ {2} 3 \ pi x + \ left (x-1 \ right) ^ {2} \ left (1+ \ sin ^ {2} 3 \ pi y \ right )}$ ${\ displaystyle + \ left (y-1 \ right) ^ {2} \ left (1+ \ sin ^ {2} 2 \ pi y \ right)}$	${\ displaystyle f (1,1) = 0}$	${\ displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
Himmelblaus funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = (x ^ {2} + y-11) ^ {2} + (x + y ^ {2} -7) ^ {2}. \ quad}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} f \ left (3.0,2.0 \ right) & = 0.0 \\ f \ left (-2.805118,3.131312 \ right) & = 0.0 \\ f \ venstre (-3.779310, -3.283186 \ høyre) & = 0.0 \\ f \ venstre (3.584428, -1.848126 \ høyre) & = 0.0 \\\ slutt {saker}}}$	${\ displaystyle -5 \ leq x, y \ leq 5}$
Tre-pukkel kamel funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = 2x ^ {2} -1.05x ^ {4} + {\ frac {x ^ {6}} {6}} + xy + y ^ {2}}$	${\ displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ displaystyle -5 \ leq x, y \ leq 5}$
Easom-funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = - \ cos \ left (x \ right) \ cos \ left (y \ right) \ exp \ left (- \ left (\ left (x- \ pi \ right) ^ { 2} + \ venstre (y- \ pi \ høyre) ^ {2} \ høyre) \ høyre)}$	${\ displaystyle f (\ pi, \ pi) = - 1}$	${\ displaystyle -100 \ leq x, y \ leq 100}$
Kryss-i-skuff-funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = - 0.0001 \ left [\ left \| \ sin x \ sin y \ exp \ left (\ left \| 100 - {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ { 2}}} {\ pi}} \ right \| \ right) \ right \| +1 \ right] ^ {0.1}}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} f \ left (1.34941, -1.34941 \ right) & = - 2.06261 \\ f \ left (1.34941,1.34941 \ right) & = - 2.06261 \\ f \ left (-1.34941,1.34941 \ right) & = - 2.06261 \\ f \ left (-1.34941, -1.34941 \ right) & = - 2.06261 \\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
Eggholder-funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = - \ left (y + 47 \ right) \ sin {\ sqrt {\ left \| {\ frac {x} {2}} + \ left (y + 47 \ right) \ høyre \|}} - x \ sin {\ sqrt {\ left \| x- \ left (y + 47 \ right) \ right \|}}}$	${\ displaystyle f (512,404.2319) = - 959,6407}$	${\ displaystyle -512 \ leq x, y \ leq 512}$
Hölder-bordfunksjon	${\ displaystyle f (x, y) = - \ left \| \ sin x \ cos y \ exp \ left (\ left \| 1 - {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\ pi}} \ right \| \ right) \ right \|}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} f \ left (8.05502,9.66459 \ right) & = - 19.2085 \\ f \ left (-8.05502,9.66459 \ right) & = - 19.2085 \\ f \ left (8.05502, -9.66459 \ right) & = - 19.2085 \\ f \ left (-8.05502, -9.66459 \ right) & = - 19.2085 \ end {cases}}}$	${\ displaystyle -10 \ leq x, y \ leq 10}$
McCormick-funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = \ sin \ left (x + y \ right) + \ left (xy \ right) ^ {2} -1.5x + 2.5y + 1}$	${\ displaystyle f (-0.54719, -1.54719) = - 1.9133}$	${\ displaystyle -1.5 \ leq x \ leq 4}$ , ${\ displaystyle -3 \ leq y \ leq 4}$
Schaffer-funksjon N. 2	${\ displaystyle f (x, y) = 0,5 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right) -0.5} {\ left [1 + 0.001 \ venstre (x ^ {2} + y ^ {2} \ høyre) \ høyre] ^ {2}}}}$	${\ displaystyle f (0,0) = 0}$	${\ displaystyle -100 \ leq x, y \ leq 100}$
Schaffer-funksjon N.4	${\ displaystyle f (x, y) = 0,5 + {\ frac {\ cos ^ {2} \ left [\ sin \ left (\ left \| x ^ {2} -y ^ {2} \ right \| \ right) \ høyre] -0.5} {\ venstre [1 + 0,001 \ venstre (x ^ {2} + y ^ {2} \ høyre) \ høyre] ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ text {Min}} = {\ begin {cases} f \ left (0,1.25313 \ right) & = 0.292579 \\ f \ left (0, -1.25313 \ right) & = 0.292579 \ end {cases }}}$	${\ displaystyle -100 \ leq x, y \ leq 100}$
Styblinski – Tang-funksjon	${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}}) = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {4} -16x_ {i} ^ {2} + 5x_ { i}} {2}}}$	${\ displaystyle -39.16617n <f (\ underbrace {-2.903534, \ ldots, -2.903534} _ {n {\ text {times}}}) <- 39.16616n}$	${\ displaystyle -5 \ leq x_ {i} \ leq 5}$ , .. ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$

Testfunksjoner for begrenset optimalisering

Navn	Formel	Globalt minimum	Søk domenet
Rosenbrock-funksjon begrenset med en kubikk og en linje	${\ displaystyle f (x, y) = (1-x) ^ {2} +100 (yx ^ {2}) ^ {2}}$ , utsatt for: ${\ displaystyle (x-1) ^ {3} -y + 1 \ leq 0 {\ text {and}} x + y-2 \ leq 0}$	${\ displaystyle f (1.0,1.0) = 0}$	${\ displaystyle -1.5 \ leq x \ leq 1.5}$ , ${\ displaystyle -0.5 \ leq y \ leq 2.5}$
Rosenbrock-funksjonen begrenset til en disk	${\ displaystyle f (x, y) = (1-x) ^ {2} +100 (yx ^ {2}) ^ {2}}$ , utsatt for: ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 2}$	${\ displaystyle f (1.0,1.0) = 0}$	${\ displaystyle -1.5 \ leq x \ leq 1.5}$ , ${\ displaystyle -1.5 \ leq y \ leq 1.5}$
Mishras fuglefunksjon - begrenset	${\ displaystyle f (x, y) = \ sin (y) e ^ {\ left [(1- \ cos x) ^ {2} \ right]} + \ cos (x) e ^ {\ left [(1 - \ sin y) ^ {2} \ right]} + (xy) ^ {2}}$ , utsatt for: ${\ displaystyle (x + 5) ^ {2} + (y + 5) ^ {2} <25}$	${\ displaystyle f (-3.1302468, -1.5821422) = - 106.7645367}$	${\ displaystyle -10 \ leq x \ leq 0}$ , ${\ displaystyle -6.5 \ leq y \ leq 0}$
Townsend-funksjon (modifisert)	${\ displaystyle f (x, y) = - [\ cos ((x-0.1) y)] ^ {2} -x \ sin (3x + y)}$ , utsatt for: der: $t$ $= Atan2 (x, y)$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} <\ left [2 \ cos t - {\ frac {1} {2}} \ cos 2t - {\ frac {1} {4}} \ cos 3t - {\ frac {1} {8}} \ cos 4t \ right] ^ {2} + [2 \ sin t] ^ {2}}$	${\ displaystyle f (2.0052938,1.1944509) = - 2.0239884}$	${\ displaystyle -2.25 \ leq x \ leq 2.25}$ , ${\ displaystyle -2,5 \ leq y \ leq 1,75}$
Gomez and Levy-funksjon (modifisert)	${\ displaystyle f (x, y) = 4x ^ {2} -2.1x ^ {4} + {\ frac {1} {3}} x ^ {6} + xy-4y ^ {2} + 4y ^ { 4}}$ , utsatt for: ${\ displaystyle - \ sin (4 \ pi x) +2 \ sin ^ {2} (2 \ pi y) \ leq 1.5}$	${\ displaystyle f (0.08984201, -0.7126564) = - 1.031628453}$	${\ displaystyle -1 \ leq x \ leq 0,75}$ , ${\ displaystyle -1 \ leq y \ leq 1}$
Simionescu-funksjon	${\ displaystyle f (x, y) = 0.1xy}$ , utsatt for: ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} \ leq \ left [r_ {T} + r_ {S} \ cos \ left (n \ arctan {\ frac {x} {y}} \ right) \ høyre] ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ text {where:}} r_ {T} = 1, r_ {S} = 0.2 {\ text {and}} n = 8}$	${\ displaystyle f (\ pm 0.84852813, \ mp 0.84852813) = - 0.072}$	${\ displaystyle -1.25 \ leq x, y \ leq 1.25}$

Testfunksjoner for multi-objektiv optimalisering

Navn	Funksjoner	Begrensninger	Søk domenet
Binh og Korn funksjon :	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = 4x ^ {2} + 4y ^ {2} \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = \ left (x-5 \ right) ^ {2} + \ left (y-5 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = \ left (x-5 \ right) ^ {2} + y ^ {2} \ leq 25 \\ g_ {2} \ left (x, y \ right) = \ left (x-8 \ right) ^ {2} + \ left (y + 3 \ right) ^ {2} \ geq 7.7 \ \\ slutt {cases}}}$	${\ displaystyle 0 \ leq x \ leq 5}$ , ${\ displaystyle 0 \ leq y \ leq 3}$
Chankong og Haimes-funksjonen :	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = 2 + \ left (x-2 \ right) ^ {2} + \ left ( y-1 \ høyre) ^ {2} \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = 9x- \ left (y-1 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 225 \\ g_ {2 } \ left (x, y \ right) = x-3y + 10 \ leq 0 \\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle -20 \ leq x, y \ leq 20}$
Fonseca – Fleming-funksjon :	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 1- \ exp \ left [- \ sum _ {i = 1 } ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ right) ^ {2} \ right] \\ f_ {2} \ left ({\ boldsymbol { x}} \ høyre) = 1- \ exp \ left [- \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} + {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ høyre) ^ {2} \ right] \\\ end {cases}}}$		${\ displaystyle -4 \ leq x_ {i} \ leq 4}$ , ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$
Testfunksjon 4:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = x ^ {2} -y \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = - 0.5xy-1 \\ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = 6.5 - {\ frac {x} {6}} - y \ geq 0 \\ g_ {2} \ left (x, y \ right) = 7.5-0.5xy \ geq 0 \\ g_ {3} \ left (x, y \ right) = 30-5x-y \ geq 0 \\\ end { saker}}}$	${\ displaystyle -7 \ leq x, y \ leq 4}$
Kursawe-funksjon :	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {2} \ left [ -10 \ exp \ left (-0.2 {\ sqrt {x_ {i} ^ {2} + x_ {i + 1} ^ {2}}} \ right) \ right] \\ & \\ f_ {2} \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ venstre [\ venstre \| x_ {i} \ høyre \| ^ {0.8} +5 \ sin \ venstre (x_ {i} ^ {3} \ right) \ right] \\\ end {cases}}}$		${\ displaystyle -5 \ leq x_ {i} \ leq 5}$ , . ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq 3}$
Schaffer-funksjon N. 1:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x \ right) = x ^ {2} \\ f_ {2} \ left (x \ right) = \ left (x-2 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$		${\ displaystyle -A \ leq x \ leq A}$ . Verdier av fra å ha vært brukt med hell. Høyere verdier øker vanskeligheten med problemet. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle 10}$ ${\ displaystyle 10 ^ {5}}$ ${\ displaystyle A}$
Schaffer-funksjon N. 2:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x \ right) = {\ begin {cases} -x, & {\ text {if}} x \ leq 1 \\ x-2, & {\ text {if}} 1 <x \ leq 3 \\ 4-x, & {\ text {if}} 3 <x \ leq 4 \\ x-4, & {\ text {if}} x> 4 \\\ end {cases}} \\ f_ {2} \ left (x \ right) = \ left (x-5 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}} }$		${\ displaystyle -5 \ leq x \ leq 10}$ .
Polonis to objektive funksjoner:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = \ left [1+ \ left (A_ {1} -B_ {1} \ left (x, y \ høyre) \ høyre) ^ {2} + \ venstre (A_ {2} -B_ {2} \ venstre (x, y \ høyre) \ høyre) ^ {2} \ høyre] \\ f_ { 2} \ left (x, y \ right) = \ left (x + 3 \ right) ^ {2} + \ left (y + 1 \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ text {where}} = {\ begin {cases} A_ {1} = 0,5 \ sin \ left (1 \ right) -2 \ cos \ left (1 \ right) + \ sin \ left (2 \ høyre) -1,5 \ cos \ venstre (2 \ høyre) \\ A_ {2} = 1,5 \ sin \ venstre (1 \ høyre) - \ cos \ venstre (1 \ høyre) +2 \ sin \ venstre (2 \ høyre) -0,5 \ cos \ venstre (2 \ høyre) \\ B_ {1} \ venstre (x, y \ høyre) = 0,5 \ sin \ venstre (x \ høyre) -2 \ cos \ venstre (x \ høyre) + \ sin \ left (y \ right) -1.5 \ cos \ left (y \ right) \\ B_ {2} \ left (x, y \ right) = 1.5 \ sin \ left (x \ right) - \ cos \ left (x \ right) +2 \ sin \ left (y \ right) -0.5 \ cos \ left (y \ right) \ end {cases}}}$		${\ displaystyle - \ pi \ leq x, y \ leq \ pi}$
Zitzler – Deb – Thieles funksjon N. 1:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} \\ f_ {2} \ left ({\ fet skrift {x}} \ høyre) = g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) h \ venstre (f_ {1} \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre), g \ venstre ({ \ boldsymbol {x}} \ høyre) \ høyre) \\ g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) = 1 + {\ frac {9} {29}} \ sum _ {i = 2} ^ {30} x_ {i} \\ h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) = 1 - {\ sqrt {\ frac {f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}}} \\\ end {cases }}}$		${\ displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq 1}$ , . ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq 30}$
Zitzler – Deb – Thieles funksjon N. 2:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} \\ f_ {2} \ left ({\ fettsymbol {x}} \ høyre) = g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) h \ venstre (f_ {1} \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre), g \ venstre ({ \ boldsymbol {x}} \ høyre) \ høyre) \\ g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) = 1 + {\ frac {9} {29}} \ sum _ {i = 2} ^ {30} x_ {i} \\ h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) = 1 - \ left ({\ frac {f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}} \ right) ^ {2} \\\ slutt {saker}}}$		${\ displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq 1}$ , . ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq 30}$
Zitzler – Deb – Thieles funksjon N. 3:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} \\ f_ {2} \ left ({\ fettsymbol {x}} \ høyre) = g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) h \ venstre (f_ {1} \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre), g \ venstre ({ \ boldsymbol {x}} \ høyre) \ høyre) \\ g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) = 1 + {\ frac {9} {29}} \ sum _ {i = 2} ^ {30} x_ {i} \\ h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) = 1 - {\ sqrt {\ frac {f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}}} - \ left ({\ frac {f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}} \ right) \ sin \ left (10 \ pi f_ { 1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) \ end {cases}}}$		${\ displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq 1}$ , . ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq 30}$
Zitzler – Deb – Thieles funksjon N.4:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} \\ f_ {2} \ left ({\ fet skrift {x}} \ høyre) = g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) h \ venstre (f_ {1} \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre), g \ venstre ({ \ boldsymbol {x}} \ høyre) \ høyre) \\ g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) = 91 + \ sum _ {i = 2} ^ {10} \ venstre (x_ {i} ^ {2} -10 \ cos \ venstre (4 \ pi x_ {i} \ høyre) \ høyre) \\ h \ venstre (f_ {1} \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre), g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) \ høyre) = 1 - {\ sqrt {\ frac {f_ {1} \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre)} {g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ right)}}} \ end {cases}}}$		${\ displaystyle 0 \ leq x_ {1} \ leq 1}$ , , ${\ displaystyle -5 \ leq x_ {i} \ leq 5}$ ${\ displaystyle 2 \ leq i \ leq 10}$
Zitzler – Deb – Thieles funksjon N. 6:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 1- \ exp \ left (-4x_ {1} \ right) \ sin ^ {6} \ left (6 \ pi x_ {1} \ right) \\ f_ {2} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) h \ venstre (f_ {1} \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre), g \ venstre ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) \ høyre) \\ g \ venstre ({\ fettsymbol {x}} \ høyre) = 1 + 9 \ venstre [{\ frac {\ sum _ {i = 2} ^ {10} x_ {i}} {9}} \ høyre] ^ {0,25} \\ h \ left (f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right), g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) \ right) = 1- \ left ({\ frac {f_ { 1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)} {g \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right)}} \ right) ^ {2} \\\ end {cases}}}$		${\ displaystyle 0 \ leq x_ {i} \ leq 1}$ , . ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq 10}$
Osyczka og Kundu-funksjon:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = - 25 \ left (x_ {1} -2 \ right) ^ {2} - \ left (x_ {2} -2 \ right) ^ {2} - \ left (x_ {3} -1 \ right) ^ {2} - \ left (x_ {4} -4 \ right) ^ {2} - \ left (x_ {5} -1 \ right) ^ {2} \\ f_ {2} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {6} x_ {i} ^ {2} \\\ slutt {saker}}}$	${\ displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = x_ {1} + x_ {2} -2 \ geq 0 \ \ g_ {2} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 6-x_ {1} -x_ {2} \ geq 0 \\ g_ {3} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ høyre) = 2-x_ {2} + x_ {1} \ geq 0 \\ g_ {4} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 2-x_ {1} + 3x_ {2} \ geq 0 \\ g_ {5} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = 4- \ left (x_ {3} -3 \ right) ^ {2} -x_ {4} \ geq 0 \\ g_ {6} \ left ({\ boldsymbol {x}} \ right) = \ left (x_ {5} -3 \ right) ^ {2} + x_ {6} -4 \ geq 0 \ end {cases}}}$	${\ displaystyle 0 \ leq x_ {1}, x_ {2}, x_ {6} \ leq 10}$ , , . ${\ displaystyle 1 \ leq x_ {3}, x_ {5} \ leq 5}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x_ {4} \ leq 6}$
CTP1-funksjon (2 variabler):	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = x \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = \ left (1 + y \ right) \ exp \ left (- {\ frac {x} {1 + y}} \ right) \ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = {\ frac {f_ {2} \ left (x, y \ right)} { 0,885 \ exp \ left (-0,541f_ {1} \ left (x, y \ right) \ right)}} \ geq 1 \\ g_ {2} \ left (x, y \ right) = {\ frac {f_ {2} \ left (x, y \ right)} {0.728 \ exp \ left (-0.295f_ {1} \ left (x, y \ right) \ right)}} \ geq 1 \ end {cases}}}$	${\ displaystyle 0 \ leq x, y \ leq 1}$ .
Constr-Ex-problem:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = x \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = {\ frac {1 + y} {x}} \\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ text {st}} = {\ begin {cases} g_ {1} \ left (x, y \ right) = y + 9x \ geq 6 \\ g_ {2} \ left (x, y \ høyre) = - y + 9x \ geq 1 \\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle 0.1 \ leq x \ leq 1}$ , ${\ displaystyle 0 \ leq y \ leq 5}$
Viennet-funksjon:	${\ displaystyle {\ text {Minimize}} = {\ begin {cases} f_ {1} \ left (x, y \ right) = 0.5 \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + \ sin \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) \\ f_ {2} \ left (x, y \ right) = {\ frac {\ left (3x-2y + 4 \ right) ^ {2}} {8}} + {\ frac {\ left (x-y + 1 \ right) ^ {2}} {27}} + 15 \\ f_ {3} \ left (x, y \ right ) = {\ frac {1} {x ^ {2} + y ^ {2} +1}} - 1.1 \ exp \ left (- \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) \ høyre) \\\ slutt {cases}}}$		${\ displaystyle -3 \ leq x, y \ leq 3}$ .

Se også

Referanser

^ Bäck, Thomas (1995). Evolusjonære algoritmer i teori og praksis: evolusjonsstrategier, evolusjonær programmering, genetiske algoritmer . Oxford: Oxford University Press. s. 328. ISBN 978-0-19-509971-3.
^ Haupt, Randy L. Haupt, Sue Ellen (2004). Praktiske genetiske algoritmer med CD-Rom (2. utg.). New York: J. Wiley. ISBN 978-0-471-45565-3.
^ Oldenhuis, Rody. "Mange testfunksjoner for globale optimaliserere" . Mathworks . Hentet 1. november 2012 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Deb, Kalyanmoy (2002) Multiojektiv optimalisering ved hjelp av evolusjonære algoritmer (Repr. red.). Chichester [ua]: Wiley. ISBN 0-471-87339-X .
^ ^a ^b Binh T. og Korn U. (1997) MOBES: A Multiobjective Evolution Strategy for Constrained Optimization Problems . I: Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algorithms. Tsjekkisk Republikk. s. 176–182
^ ^a ^b ^c Binh T. (1999) En multiojektiv evolusjonær algoritme. Studien tilfeller. Teknisk rapport. Institutt for automatisering og kommunikasjon. Barleben, Tyskland
^ Deb K. (2011) Programvare for multi-objektiv NSGA-II-kode i C. Tilgjengelig på URL: https://www.iitk.ac.in/kangal/codes.shtml
^ Ortiz, Gilberto A. "Multi-objektiv optimalisering ved bruk av ES som evolusjonær algoritme" . Mathworks . Hentet 1. november 2012 .
^ Vanaret C. (2015) Hybridisering av intervallmetoder og evolusjonære algoritmer for å løse vanskelige optimaliseringsproblemer. PhD-avhandling. Ecole Nationale de l'Aviation Civile. Institut National Polytechnique de Toulouse, Frankrike.
^ Simionescu, PA; Beale, D. (29. september - 2. oktober 2002). Nye konsepter i grafisk visualisering av objektive funksjoner (PDF) . ASME 2002 International Design Engineering Tekniske konferanser og datamaskiner og informasjon i ingeniørkonferanse. Montreal, Canada. s. 891–897 . Hentet 7. januar 2017 .
^ "Løs et begrenset ikke-lineært problem - MATLAB & Simulink" . www.mathworks.com . Hentet 29.08.2017 .
^ "Bird Problem (Constrained) | Phoenix Integration" . Arkivert fra originalen 2016-12-29 . Hentet 29.08.2017 .CS1 maint: bot: original URL status unknown ( link )
^ Mishra, Sudhanshu (2006). "Noen nye testfunksjoner for global optimalisering og ytelse av avstøtende partikkelsvermmetode" . MPRA Paper .
^ Townsend, Alex (januar 2014). "Begrenset optimalisering i Chebfun" . chebfun.org . Hentet 29.08.2017 .
^ Simionescu, PA (2020). "En samling bivariate ikke-lineære optimaliseringstestproblemer med grafiske fremstillinger". International Journal of Mathematical Modelling and Numerical Optimization . 10 (4): 365–398. doi : 10.1504 / IJMMNO.2020.110704 .
^ Simionescu, PA (2014). Computer Aided Graphing and Simulation Tools for AutoCAD Users (1. utgave). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.
^ Chankong, Vira; Haimes, Yacov Y. (1983). Multiobektiv beslutningstaking. Teori og metodikk . ISBN 0-444-00710-5.
^ Fonseca, CM; Fleming, PJ (1995). "En oversikt over evolusjonære algoritmer i multiojektiv optimalisering". Evol Comput . 3 (1): 1–16. CiteSeerX 10.1.1.50.7779 . doi : 10.1162 / evco.1995.3.1.1 . S2CID 8530790 .
^ F. Kursawe, “ En variant av evolusjonsstrategier for vektoroptimalisering ,” i PPSN I, Vol. 496 leksenotater i Comput Sc. Springer-Verlag, 1991, s. 193–197.
^ Schaffer, J. David (1984). "Multiple Objective Optimization with Vector Evalated Genetic Algorithms". I GJE Grefensette; JJ Lawrence Erlbraum (red.). Forhandlingene fra den første internasjonale konferansen om genetiske algoritmer . OCLC 20004572 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Deb, Kalyan; Thiele, L .; Laumanns, Marco; Zitzler, Eckart (2002). "Skalerbare testproblemer med flere måloptimaliseringer". Forhandlingene fra IEEE-kongressen om evolusjonær beregning i 2002 . 1 . s. 825–830. doi : 10.1109 / CEC.2002.1007032 . ISBN 0-7803-7282-4. S2CID 61001583 .
^ Osyczka, A .; Kundu, S. (1. oktober 1995). "En ny metode for å løse generaliserte problemer med multikriterieroptimalisering ved hjelp av den enkle genetiske algoritmen". Strukturell optimalisering . 10 (2): 94–99. doi : 10.1007 / BF01743536 . ISSN 1615-1488 . S2CID 123433499 .
^ Jimenez, F .; Gomez-Skarmeta, AF; Sanchez, G .; Deb, K. (mai 2002). "En evolusjonær algoritme for begrenset multi-objektiv optimalisering". Forhandlinger fra 2002-kongressen om evolusjonær beregning. CEC'02 (kat.nr.02TH8600) . 2 : 1133–1138. doi : 10.1109 / CEC.2002.1004402 . ISBN 0-7803-7282-4. S2CID 56563996 .

[1] Bäck, Thomas (1995). Evolusjonære algoritmer i teori og praksis: evolusjonsstrategier, evolusjonær programmering, genetiske algoritmer . Oxford: Oxford University Press. s. 328. ISBN 978-0-19-509971-3.

[2] Haupt, Randy L. Haupt, Sue Ellen (2004). Praktiske genetiske algoritmer med CD-Rom (2. utg.). New York: J. Wiley. ISBN 978-0-471-45565-3.

[3] Oldenhuis, Rody. "Mange testfunksjoner for globale optimaliserere" . Mathworks . Hentet 1. november 2012 .

[Deb:2002-4] Deb, Kalyanmoy (2002) Multiojektiv optimalisering ved hjelp av evolusjonære algoritmer (Repr. red.). Chichester [ua]: Wiley. ISBN 0-471-87339-X .

[Binh97-5] Binh T. og Korn U. (1997) MOBES: A Multiobjective Evolution Strategy for Constrained Optimization Problems . I: Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algorithms. Tsjekkisk Republikk. s. 176–182

[Binh99-6] Binh T. (1999) En multiojektiv evolusjonær algoritme. Studien tilfeller. Teknisk rapport. Institutt for automatisering og kommunikasjon. Barleben, Tyskland

[Deb_nsga-7] Deb K. (2011) Programvare for multi-objektiv NSGA-II-kode i C. Tilgjengelig på URL: https://www.iitk.ac.in/kangal/codes.shtml

[8] Ortiz, Gilberto A. "Multi-objektiv optimalisering ved bruk av ES som evolusjonær algoritme" . Mathworks . Hentet 1. november 2012 .

[vanaret2015hybridation-9] Vanaret C. (2015) Hybridisering av intervallmetoder og evolusjonære algoritmer for å løse vanskelige optimaliseringsproblemer. PhD-avhandling. Ecole Nationale de l'Aviation Civile. Institut National Polytechnique de Toulouse, Frankrike.

[10] Simionescu, PA; Beale, D. (29. september - 2. oktober 2002). Nye konsepter i grafisk visualisering av objektive funksjoner (PDF) . ASME 2002 International Design Engineering Tekniske konferanser og datamaskiner og informasjon i ingeniørkonferanse. Montreal, Canada. s. 891–897 . Hentet 7. januar 2017 .

[11] "Løs et begrenset ikke-lineært problem - MATLAB & Simulink" . www.mathworks.com . Hentet 29.08.2017 .

[12] "Bird Problem (Constrained) | Phoenix Integration" . Arkivert fra originalen 2016-12-29 . Hentet 29.08.2017 .CS1 maint: bot: original URL status unknown ( link )

[13] Mishra, Sudhanshu (2006). "Noen nye testfunksjoner for global optimalisering og ytelse av avstøtende partikkelsvermmetode" . MPRA Paper .

[14] Townsend, Alex (januar 2014). "Begrenset optimalisering i Chebfun" . chebfun.org . Hentet 29.08.2017 .

[15] Simionescu, PA (2020). "En samling bivariate ikke-lineære optimaliseringstestproblemer med grafiske fremstillinger". International Journal of Mathematical Modelling and Numerical Optimization . 10 (4): 365–398. doi : 10.1504 / IJMMNO.2020.110704 .

[16] Simionescu, PA (2014). Computer Aided Graphing and Simulation Tools for AutoCAD Users (1. utgave). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.

[17] Chankong, Vira; Haimes, Yacov Y. (1983). Multiobektiv beslutningstaking. Teori og metodikk . ISBN 0-444-00710-5.

[FonzecaFleming:1995-18] Fonseca, CM; Fleming, PJ (1995). "En oversikt over evolusjonære algoritmer i multiojektiv optimalisering". Evol Comput . 3 (1): 1–16. CiteSeerX 10.1.1.50.7779 . doi : 10.1162 / evco.1995.3.1.1 . S2CID 8530790 .

[Kursawe:1991-19] F. Kursawe, “ En variant av evolusjonsstrategier for vektoroptimalisering ,” i PPSN I, Vol. 496 leksenotater i Comput Sc. Springer-Verlag, 1991, s. 193–197.

[Schaffer:1984-20] Schaffer, J. David (1984). "Multiple Objective Optimization with Vector Evalated Genetic Algorithms". I GJE Grefensette; JJ Lawrence Erlbraum (red.). Forhandlingene fra den første internasjonale konferansen om genetiske algoritmer . OCLC 20004572 .

[Debetal2002testpr-21] Deb, Kalyan; Thiele, L .; Laumanns, Marco; Zitzler, Eckart (2002). "Skalerbare testproblemer med flere måloptimaliseringer". Forhandlingene fra IEEE-kongressen om evolusjonær beregning i 2002 . 1 . s. 825–830. doi : 10.1109 / CEC.2002.1007032 . ISBN 0-7803-7282-4. S2CID 61001583 .

[OsyczkaKundu1995-22] Osyczka, A .; Kundu, S. (1. oktober 1995). "En ny metode for å løse generaliserte problemer med multikriterieroptimalisering ved hjelp av den enkle genetiske algoritmen". Strukturell optimalisering . 10 (2): 94–99. doi : 10.1007 / BF01743536 . ISSN 1615-1488 . S2CID 123433499 .

[Jimenezetal2002-23] Jimenez, F .; Gomez-Skarmeta, AF; Sanchez, G .; Deb, K. (mai 2002). "En evolusjonær algoritme for begrenset multi-objektiv optimalisering". Forhandlinger fra 2002-kongressen om evolusjonær beregning. CEC'02 (kat.nr.02TH8600) . 2 : 1133–1138. doi : 10.1109 / CEC.2002.1004402 . ISBN 0-7803-7282-4. S2CID 56563996 .

Languages

In other projects