Funzioni di test per l'ottimizzazione - Test functions for optimization

In matematica applicata, le funzioni di test , note come paesaggi artificiali , sono utili per valutare le caratteristiche degli algoritmi di ottimizzazione, quali:

Tasso di convergenza.
Precisione.
Robustezza.
Prestazioni generali.

Di seguito vengono presentate alcune funzioni di test con lo scopo di dare un'idea delle diverse situazioni che gli algoritmi di ottimizzazione devono affrontare quando affrontano questo tipo di problemi. Nella prima parte vengono presentate alcune funzioni obiettivo per casi di ottimizzazione a singolo obiettivo. Nella seconda parte vengono fornite le funzioni test con i rispettivi fronti di Pareto per problemi di ottimizzazione multi-obiettivo (MOP).

I paesaggi artificiali presentati qui per problemi di ottimizzazione a singolo obiettivo sono presi da Bäck, Haupt et al. e dal software Rody Oldenhuis. Dato il numero di problemi (55 in totale), ne vengono presentati solo alcuni.

Le funzioni di test utilizzate per valutare gli algoritmi per MOP sono state prese da Deb, Binh et al. e Binh. È possibile scaricare il software sviluppato da Deb, che implementa la procedura NSGA-II con GA, oppure il programma pubblicato su Internet, che implementa la procedura NSGA-II con ES.

Qui vengono fornite solo una forma generale dell'equazione, un grafico della funzione obiettivo, i confini delle variabili oggetto e le coordinate dei minimi globali.

Funzioni di test per l'ottimizzazione di un singolo obiettivo

Nome	Formula	minimo globale Global	Cerca nel dominio
Funzione Rastrigin	$f(\mathbf {x} )=An+\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\ giusto]$ ${\text{dove: }}A=10$	$f(0,\dots ,0)=0$	$-5.12\leq x_{i}\leq 5.12$
Funzione Ackley	$f(x,y)=-20\exp \left[-0.2{\sqrt {0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\right]$ $-\exp \left[0.5\left(\cos 2\pi x+\cos 2\pi y\right)\right]+e+20$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Funzione sfera	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$	$f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(0,\dots ,0)=0$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Funzione Rosenbrock	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2} \right)^{2}+\left(1-x_{i}\right)^{2}\right]$	${\text{Min}}={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1) =0,\\n>3&\rightarrow \quad f(\underbrace {1,\dots ,1} _{n{\text{ volte}}})=0\\\end{casi}}$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Funzione Beale	$f(x,y)=\left(1.5-x+xy\right)^{2}+\left(2.25-x+xy^{2}\right)^{2}$ $+\sinistra(2.625-x+xy^{3}\destra)^{2}$	$f(3,0.5)=0$	$-4.5\leq x,y\leq 4.5$
Goldstein–Funzione prezzo	$f(x,y)=\sinistra[1+\sinistra(x+y+1\destra)^{2}\sinistra(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{ 2}\destra)\destra]$ $\left[30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right]$	$f(0,-1)=3$	$-2\leq x,y\leq 2$
Funzione stand	$f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2}$	$f(1,3)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funzione Bukin N.6	$f(x,y)=100{\sqrt {\left\|y-0.01x^{2}\right\|}}+0.01\left\|x+10\right\|.\quad$	$f(-10,1)=0$	$-15\leq x\leq -5$ , $-3\leq y\leq 3$
funzione Matyas	$f(x,y)=0.26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0.48xy$	$f(0,0)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Lévi funzione N.13	$f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right )$ $+\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\right)$	$f(1,1)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
La funzione di Himmelblau	$f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad$	${\text{Min}}={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\ left(-3.779310, -3.283186\right)&=0.0\\f\left(3.584428,-1.848126\right)&=0.0\\\end{casi}}$	$-5\leq x,y\leq 5$
Funzione cammello a tre gobbe	$f(x,y)=2x^{2}-1,05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Funzione Easom	$f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{ 2}+\sinistra(y-\pi \destra)^{2}\destra)\destra)$	$f(\pi,\pi)=-1$	$-100\leq x,y\leq 100$
Funzione cross-in-tray	$f(x,y)=-0,0001\left[\left\|\sin x\sin y\exp \left(\left\|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{ 2}}}{\pi }}\right\|\right)\right\|+1\right]^{0.1}$	${\text{Min}}={\begin{cases}f\left(1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\ f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{casi}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funzione portauova	$f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left\|{\frac {x}{2}}+\left(y+47\right)\ right\|}}-x\sin {\sqrt {\left\|x-\left(y+47\right)\right\|}}$	$f(512,404.2319)=-959.6407$	$-512\leq x,y\leq 512$
Funzione tavolo portaoggetti	$f(x,y)=-\left\|\sin x\cos y\exp \left(\left\|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}} {\pi }}\right\|\right)\right\|$	${\text{Min}}={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\ f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{casi}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funzione McCormick	$f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(xy\right)^{2}-1.5x+2.5y+1$	$f(-0.54719,-1.54719)=-1.9133$	$-1.5\leq x\leq 4$ , $-3\leq y\leq 4$
Funzione Schaffer N. 2	$f(x,y)=0.5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0.5}{\left[1+0.001\ sinistra(x^{2}+y^{2}\destra)\destra]^{2}}}$	$f(0,0)=0$	$-100\leq x,y\leq 100$
Funzione Schaffer N. 4	$f(x,y)=0.5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left\|x^{2}-y^{2}\right\|\right) \right]-0.5}{\left[1+0.001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2}}}$	${\text{Min}}={\begin{casi}f\left(0,1.25313\right)&=0.292579\\f\left(0,-1.25313\right)&=0.292579\end{casi }}$	$-100\leq x,y\leq 100$
Funzione Styblinski–Tang	$f({\boldsymbol {x}})={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{ io}}{2}}$	$-39.16617n<f(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{n{\text{ volte}}})<-39.16616n$	$-5\leq x_{i}\leq 5$ , .. $1\leq i\leq n$

Funzioni di test per l'ottimizzazione vincolata

Nome	Formula	minimo globale Global	Cerca nel dominio
Funzione di Rosenbrock vincolata con una cubica e una retta	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2}$ , soggetto a: $(x-1)^{3}-y+1\leq 0{\text{ e }}x+y-2\leq 0$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1.5\leq x\leq 1.5$ , $-0.5\leq y\leq 2.5$
Funzione di Rosenbrock vincolata a un disco	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2}$ , soggetto a: $x^{2}+y^{2}\leq 2$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1.5\leq x\leq 1.5$ , $-1.5\leq y\leq 1.5$
Funzione Bird di Mishra - vincolata	$f(x,y)=\sin(y)e^{\left[(1-\cos x)^{2}\right]}+\cos(x)e^{\left[(1 -\sin y)^{2}\right]}+(xy)^{2}$ , soggetto a: $(x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25$	$f(-3.1302468,-1.5821422)=-106.7645367$	$-10\leq x\leq 0$ , $-6.5\leq y\leq 0$
Funzione Townsend (modificata)	$f(x,y)=-[\cos((x-0.1)y)]^{2}-x\sin(3x+y)$ , soggetto a: dove: $t$ $= Atan2(x,y)$ $x^{2}+y^{2}<\left[2\cos t-{\frac {1}{2}}\cos 2t-{\frac {1}{4}}\cos 3t -{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}$	$f(2.0052938,1.1944509)=-2.0239884$	$-2.25\leq x\leq 2.25$ , $-2.5\leq y\leq 1.75$
Funzione Gomez e Levy (modificata)	$f(x,y)=4x^{2}-2.1x^{4}+{\frac {1}{3}}x^{6}+xy-4y^{2}+4y^{ 4}$ , soggetto a: $-\sin(4\pi x)+2\sin ^{2}(2\pi y)\leq 1.5$	$f(0.08984201,-0.7126564)=-1.031628453$	$-1\leq x\leq 0,75$ , $-1\leq y\leq 1$
Funzione Simionescu	$f(x,y)=0.1xy$ , soggetto a: $x^{2}+y^{2}\leq \left[r_{T}+r_{S}\cos \left(n\arctan {\frac {x}{y}}\right)\ a destra]^{2}$ ${\text{dove:}}r_{T}=1,r_{S}=0.2{\text{ e }}n=8$	$f(\pm 0.84852813,\mp 0.84852813)=-0.072$	$-1.25\leq x,y\leq 1.25$

Funzioni di test per l'ottimizzazione multi-obiettivo

Nome	Funzioni	vincoli	Cerca nel dominio
Funzione Binh e Korn :	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\left (x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{casi}}$	${\text{st}}={\begin{casi}g_{1}\left(x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+y^{2} \leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\ \\end{casi}}$	$0\leq x\leq 5$ , $0\leq y\leq 3$
Funzione Chankong e Haimes :	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=2+\left(x-2\right)^{2}+\left( y-1\right)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{casi}}$	${\text{st}}={\begin{casi}g_{1}\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{2 }\left(x,y\right)=x-3y+10\leq 0\\\end{casi}}$	$-20\leq x,y\leq 20$
Funzione Fonseca-Fleming :	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left[-\sum _{i=1 }^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right]\\f_{2}\left({\boldsymbol { x}}\right)=1-\exp \left[-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}}}\ a destra)^{2}\right]\\\end{casi}}$		$-4\leq x_{i}\leq 4$ , $1\leq i\leq n$
Funzione di prova 4:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x^{2}-y\\f_{2}\left(x,y \right)=-0.5xy-1\\\end{casi}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\\ g_{2}\left(x,y\right)=7.5-0.5xy\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)=30-5x-y\geq 0\\\end{ casi}}$	$-7\leq x,y\leq 4$
Funzione Kursawe :	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left[ -10\exp \left(-0.2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\right)\right]\\&\\f_{2}\ left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left[\left\|x_{i}\right\|^{0.8}+5\sin \left(x_ {i}^{3}\right)\right]\\\end{casi}}$		$-5\leq x_{i}\leq 5$ , . $1\leq i\leq 3$
Funzione Schaffer N. 1:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)=\left (x-2\right)^{2}\\\end{casi}}$		$-A\leq x\leq A$ . I valori di da a sono stati utilizzati con successo. Valori più alti di aumentano la difficoltà del problema. $A$ $10$ $10^{5}$ $A$
Funzione Schaffer N. 2:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1 \\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\text {if }}x>4\\\end{casi}}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-5\right)^{2}\\\end{casi}}$		$-5\leq x\leq 10$ .
La doppia funzione obiettivo di Poloni:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\left (x,y\right)\right)^{2}+\left(A_{2}-B_{2}\left(x,y\right)\right)^{2}\right]\\f_{ 2}\left(x,y\right)=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{casi}}$ ${\text{dove}}={\begin{casi}A_{1}=0.5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left(2 \right)-1.5\cos \left(2\right)\\A_{2}=1.5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left(2\ destra)-0.5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)=0.5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x\right) +\sin \left(y\right)-1.5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)=1.5\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{casi}}$		${\ Displaystyle -\ pi \ leq x, y \ leq \ pi }$
Funzione di Zitzler–Deb–Thiele N. 1:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\ boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({ \boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^ {30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1 -{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\\\end{casi }}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Funzione di Zitzler–Deb–Thiele N. 2:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\ boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({ \boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^ {30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1 -\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2} \\\end{casi}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Funzione di Zitzler–Deb–Thiele N. 3:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\ boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({ \boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^ {30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1 -{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}-\left({\ frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)\sin \left(10\pi f_{ 1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{casi}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Funzione di Zitzler-Deb-Thiele N. 4:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\ boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({ \boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_{i} ^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\ left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\ grassetto {x}}\right)}}}\end{cases}}$		$0\leq x_{1}\leq 1$ , , $-5\leq x_{i}\leq 5$ $2\leq i\leq 10$
Funzione di Zitzler–Deb–Thiele N. 6:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left(-4x_{1}\right) \sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}} \right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\ grassetto {x}}\right)=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\right]^{0.25}\\h \left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{ 1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{casi}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 10$
Funzione di Osyczka e Kundu:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=-25\left(x_{1}-2\right)^ {2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right) ^{2}-\left(x_{5}-1\right)^{2}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^ {6}x_{i}^{2}\\\end{casi}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}+x_{2}-2\geq 0\ \g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x}}\ destra)=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\sinistra({\boldsymbol {x}}\destra)=2-x_{1}+3x_{2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\geq 0\\g_ {6}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\end{cases}}$	$0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10$ , , . $1\leq x_{3},x_{5}\leq 5$ $0\leq x_{4}\leq 6$
Funzione CTP1 (2 variabili):	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)=\left (1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{casi}}$	${\text{st}}={\begin{casi}g_{1}\left(x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{ 0.858\exp \left(-0.541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{2}\left(x,y\right)={\frac {f_ {2}\left(x,y\right)}{0.728\exp \left(-0.295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases}}$	$0\leq x,y\leq 1$ .
Problema Constr-Ex:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)={\ frac {1+y}{x}}\\\end{casi}}$	${\text{st}}={\begin{casi}g_{1}\left(x,y\right)=y+9x\geq 6\\g_{2}\left(x,y\ destra)=-y+9x\geq 1\\\end{casi}}$	$0.1\leq x\leq 1$ , $0\leq y\leq 5$
Funzione Viennet:	${\text{Riduci a icona}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)+ \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {\left(3x-2y+4\right) ^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y\right) )={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1.1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\right)\ a destra)\\\end{casi}}$		$-3\leq x,y\leq 3$ .

Guarda anche

Riferimenti

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