Suraktiv funksjon - Surjective function

I matematikk er en subjektiv funksjon (også kjent som surjection , eller på funksjon ) en funksjon $f$ som tilordner et element $x$ til hvert element $y$ ; det vil si at for hver $y$ er det en $x$ slik at $f (x) = y$ . Med andre ord er hvert element i funksjonens kodomen et bilde av minst ett element i dets domene . Det kreves ikke at $x$ er unikt ; funksjonen $f$ kan kartlegge ett eller flere elementer av $X$ til det samme element av $Y$ .

En ikke-injektiv subjektiv funksjon (surjection, not a bijection)
En injektiv surjektiv funksjon (vedeksjon)
En injektiv ikke-surjektiv funksjon (injeksjon, ikke en bijeksjon)
En ikke-injektiv ikke-surjektiv funksjon (heller ikke en bijeksjon)

Begrepet surjektiv og de relaterte begrepene injektiv og bijektiv ble introdusert av Nicolas Bourbaki , en gruppe hovedsakelig franske matematikere fra 1900-tallet som under dette pseudonymet skrev en serie bøker som presenterte en utstilling av moderne avansert matematikk, som begynte i 1935. Franskmennene word sur betyr over eller over , og forholder seg til det faktum at bildet av domenet til en surjektiv funksjon fullstendig dekker funksjonens kodomen.

Enhver funksjon induserer en innsigelse ved å begrense kodenavnet til bildet av domenet. Hver surjektiv funksjon har en rett invers , og hver funksjon med en rett invers er nødvendigvis en innsigelse. Den sammensetningen av surjektiv funksjoner er alltid surjektiv. Enhver funksjon kan dekomponeres til en innsigelse og en injeksjon.

Definisjon

En surjektiv funksjon er en funksjon hvis bilde er lik kododomenet . Tilsvarende er en funksjon med domenet og kodomenet subjektiv hvis det finnes minst én i med for hver in . Overraskelser er noen ganger markert med en tohodet pil mot høyre ( U+ 21A0 ↠ RIGHTWARDS TO HEADED PIL ), som i . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f (x) = y}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ twoheadrightarrow Y}$

Symbolsk,

Hvis , så sies det å være subjektivt hvis

{\ displaystyle f \ kolon X \ høyre pil Y}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle \ forall y \ i Y, \, \ eksisterer x \ i X, \; \; f (x) = y}

.

Eksempler

En ikke-Surjektiv fra domene X til verdiområde Y . Den mindre gule ovalen inne i Y er bildet (også kalt område ) av f . Denne funksjonen er ikke subjektiv, fordi bildet ikke fyller hele kodomenet. Med andre ord er Y farget i en totrinns prosess: For det første, for hver x i X , er punktet f ( x ) farget gult; For det andre er alle resten av punktene i Y , som ikke er gule, farget blå. Funksjonen f ville bare være subjektiv hvis det ikke var blå punkter.

For ethvert sett X er identitetsfunksjonen id _X på X surjektiv.
Funksjonen $f : Z \to {0, 1}$ er definert ved f ( n ) = n mod 2 (det vil si, til og med hele tall er tilordnet til 0 og odde heltall på 1) er surjektiv.
Funksjonen $f : R \to R$ definert av f ( x ) = 2 x + 1 er surjektiv (og til og med bijektiv ), for for hvert reelt tall y har vi et x slik at f ( x ) = y : et passende x er ( y - 1)/2.
Funksjonen $f : R \to R$ definert ved f ( x ) = x ^3- - 3- x IS surjektiv, fordi den pre-bilde av et hvilket som helst reelt tall y er løsningen sett av den kubiske polynomiske ligning x ^3- - 3- x - y = 0 , og hvert kubikkpolynom med reelle koeffisienter har minst en ekte rot. Denne funksjonen er imidlertid ikke injektiv (og dermed ikke bijektiv ), siden for eksempel forbildet til y = 2 er { x = −1, x = 2}. (Faktisk har forhåndsbildet til denne funksjonen for hver y , −2 ≤ y ≤ 2 mer enn ett element.)
Funksjonen $g : R \to R$ definert av g ( x ) = x ² er ikke subjektiv, siden det ikke er et reelt tall x slik at x ² = −1 . Funksjonen $g : R \to R \geq0$ definert av $g (x) = x 2$ (med det begrensede kodomenet) er imidlertid subjektiv, siden for hvert y i det ikke -negative virkelige kodomenet Y er det minst ett x i det virkelige domenet X slik at x ² = y .
Den naturlige logaritme funksjon $ln: (0, + \infty) \to R$ er en surjektiv og til og med bijektiv (kartlegging fra settet av positive reelle tall for mengden av alle reelle tall). Den inverse, den eksponentielle funksjonen , hvis den er definert med settet med reelle tall som domenet, er ikke surjektiv (ettersom området er settet med positive reelle tall).
Den matrise eksponensielle er ikke surjektiv når den ses som et kart fra den plass av alle n x n matriser til seg selv. Det er imidlertid vanligvis definert som et kart fra rommet til alle n × n -matriser til den generelle lineære gruppen av grad n (det vil si gruppen av alle n × n inverterbare matriser ). Under denne definisjonen er matrisens eksponensial subjektiv for komplekse matriser, selv om den fremdeles ikke er subjektiv for ekte matriser.
Den fremspring fra et kartesisk produkt $A x B$ til en av dens faktorer er surjektiv, med mindre den andre faktor er tom.
I et 3D -videospill projiseres vektorer på en 2D flatskjerm ved hjelp av en surjektiv funksjon.

Tolkning for surjektive funksjoner i det kartesiske planet, definert av kartleggingen f : X → Y , hvor y = f ( x ), X = funksjonsdomene, Y = funksjonsområde. Hvert element i området kartlegges fra et element i domenet, med regelen f . Det kan være en rekke domenelementer som tilordnes det samme områdeelementet. Det vil si at hvert y i Y er kartlagt fra et element x i X , mer enn ett x kan kartlegge det samme y . Venstre: Bare ett domene vises som gjør f surjektivt. Høyre: to mulige domener X ₁ og X ₂ vises.

Ikke-surjektive funksjoner i det kartesiske planet. Selv om noen deler av funksjonen er subjektiv, der elementene y i Y har en verdi x i X slik at y = f ( x ), er det ikke noen deler. Venstre: Det er y ₀ i Y , men det er ingen x ₀ i X slik at y ₀ = f ( x ₀ ). Høyre: Det er y ₁ , y ₂ og y ₃ i Y , men det er ingen x ₁ , x ₂ og x ₃ i X slik at y ₁ = f ( x ₁ ), y ₂ = f ( x ₂ ), og y ₃ = f ( x ₃ ).

Egenskaper

En funksjon er bijektiv hvis og bare hvis den er både subjektiv og injektiv .

Hvis (som ofte gjøres) en funksjon identifiseres med grafen , er ikke surjektivitet en egenskap av selve funksjonen, men snarere en egenskap for kartleggingen . Dette er funksjonen sammen med dens kodomene. I motsetning til injektivitet kan surjektivitet ikke leses av grafen for funksjonen alene.

Observasjoner som riktige inverterbare funksjoner

Funksjonen g : Y → X sies å være en høyre invers av funksjonen f : X → Y hvis f ( g ( y )) = y for hver y i Y ( g kan angres med f ). Med andre ord, g er en rett invers av f hvis sammensetningen f o g av g og f i den rekkefølgen er identitetsfunksjonen på domenet Y til g . Funksjonen g trenger ikke å være en fullstendig invers av f fordi sammensetningen i den andre rekkefølgen, g o f , kanskje ikke er identitetsfunksjonen på domenet X til f . Med andre ord, f kan angre eller " reversere " g , men kan ikke nødvendigvis reverseres av det.

Hver funksjon med en rett invers er nødvendigvis en innsigelse. Påstanden om at hver surjektiv funksjon har en rett invers tilsvarer valgaksiomet .

Hvis f : X → Y er surjektiv og B er en undergruppe av Y , så f ( f ^-1 ( B )) = B . Dermed kan B gjenvinnes fra forbildet f ⁻¹ ( B ) .

For eksempel, i den første illustrasjonen ovenfor, er det noen funksjon g slik at g ( C ) = 4. Det er også en funksjon f slik at f (4) = C . Det spiller ingen rolle at g ( C ) også kan være lik 3; det betyr bare at f "reverserer" g .

Surjektiv sammensetning: den første funksjonen trenger ikke å være subjektiv.
En annen subjektiv funksjon. (Denne er tilfeldigvis en bijeksjon )
En ikke -subjektiv funksjon. (Denne er tilfeldigvis en injeksjon )

Observasjoner som epimorfismer

En funksjon f : X → Y er subjektiv hvis og bare hvis den er høyrekansellativ : gitt noen funksjoner g , h : Y → Z , når g o f = h o f , så g = h . Denne egenskapen er formulert når det gjelder funksjoner og sammensetning og kan generaliseres til den mer generelle oppfatningen om morfisme i en kategori og deres sammensetning. Høyre-kansellerende morfisme kalles epimorfismer . Spesielt er surjektive funksjoner nettopp epimorfismene i kategorien sett . Prefikset epi er avledet fra den greske preposisjonen ἐπί som betyr over , over , på .

Enhver morfisme med en rett invers er en epimorfisme, men det motsatte er ikke sant generelt. En høyre invers g av en morfisme f kalles en seksjon av f . En morfisme med en rett invers kalles en delt epimorfisme .

Observasjoner som binære relasjoner

Enhver funksjon med domenet X og kodomenet Y kan sees på som et venstre-totalt og høyre-unikt binært forhold mellom X og Y ved å identifisere det med funksjonsgrafen . En surjektiv funksjon med domenet X og kodomenet Y er da et binært forhold mellom X og Y som er høyreunikt og både venstresamtall og høyertotalt .

Kardinalitet av domenet til en innsigelse

Den Kardinaliteten av domenet av en Surjektiv er større enn eller lik den cardinality av dens verdiområde: Hvis f : X → Y er en Surjektiv, da X har minst så mange elementer som Y , i den forstand at kardinaltall . (Beviset appellerer til valgaksiomet for å vise at en funksjon g : Y → X som tilfredsstiller f ( g ( y )) = y for alle y i Y eksisterer. G ses lett som injektiv, og dermed er den formelle definisjonen av | Y | ≤ | X | er fornøyd.)

Spesielt hvis både X og Y er begrenset med samme antall elementer, er f : X → Y surjektiv hvis og bare hvis f er injektiv .

Gitt to sett X og Y , notasjon X ≤ ^* Y blir brukt til å si at enten X er tom eller at det er en surjection fra Y til X . Ved å bruke valgfri aksiom kan man vise at X ≤ ^* Y og Y ≤ ^* X tilsier at | Y | = | X |, en variant av Schröder - Bernstein -teoremet .

Sammensetning og spaltning

Den sammensetning av surjektiv funksjoner er alltid surjektiv: Hvis f og g begge er surjektiv, og den verdiområde av g er lik domenet til f , og f o g IS surjektiv. Omvendt, hvis f o g er subjektiv, så er f surjektiv (men g , funksjonen som brukes først, trenger ikke å være det). Disse egenskapene generaliserer fra surjeksjoner i kategorien sett til epimorfismer i enhver kategori .

Enhver funksjon kan dekomponeres til en injeksjon og en injeksjon : For enhver funksjon h : X → Z eksisterer det en tilnærming f : X → Y og en injeksjon g : Y → Z slik at h = g o f . For å se dette, definer Y til å være settet med forhåndsbilder h ⁻¹ ( z ) hvor z er i h ( X ) . Disse preimages er disjunkte og skillevegg X . Deretter bærer f hvert x til elementet i Y som inneholder det, og g bærer hvert element av Y til punktet i Z som h sender sine punkter til. Da er f surjektivt siden det er et projeksjonskart, og g er injektiv per definisjon.

Indusert innsigelse og indusert bijeksjon

Enhver funksjon induserer en innsigelse ved å begrense kodenavnet til området. Enhver subjektiv funksjon induserer en bijeksjon definert på en kvotient av domenet ved å kollapse alle argumenter som kartlegges til et gitt fast bilde. Nærmere bestemt kan hver innsigelse f : A → B regnes som en projeksjon etterfulgt av en bijeksjon som følger. La A /~ være ekvivalensklassene til A under følgende ekvivalensforhold : x ~ y hvis og bare hvis f ( x ) = f ( y ). Tilsvarende er A /~ settet av alle forhåndsbilder under f . La P (~): A → A /~ være projeksjonskartet som sender hver x i A til sin ekvivalensklasse [ x ] _~ , og la f _P : A /~ → B være den veldefinerte funksjonen gitt av f _P ([ x ] _~ ) = f ( x ). Deretter f = f _P o P (~).

Se også

Referanser

Videre lesning

Bourbaki, N. (2004) [1968]. Settsteori . Elementer i matematikk . 1 . Springer. doi : 10.1007/978-3-642-59309-3 . ISBN 978-3-540-22525-6. LCCN 2004110815 .

Languages

In other projects