Dekker plass - Covering space

Et dekkekart tilfredsstiller den lokale trivialitetsbetingelsen. Intuitivt slike kart lokalt projisere en "stabel av pannekaker" over et åpent område , U , til U .

I matematikk , spesielt algebraisk topologi , er et dekkekart (som også dekker projeksjon ) en kontinuerlig funksjon fra et topologisk rom til et topologisk rom slik at hvert punkt i har et åpent nabolag jevnt dekket av (som vist på bildet). I dette tilfelle kalles en dekker plass og den basis plass av dekk projeksjon. Definisjonen innebærer at hvert dekkende kart er en lokal homeomorfisme . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$

Dekningsrom spiller en viktig rolle i homotopiteori , harmonisk analyse , Riemannian geometri og differensial topologi . I Riemannian-geometri er forgrening for eksempel en generalisering av forestillingen om å dekke kart. Dekningsrom er også dypt flettet med studiet av homotopigrupper og spesielt den grunnleggende gruppen . En viktig anvendelse kommer fra resultatet at dersom er en "god nok" topologisk rom , er det en Bijeksjon mellom samlingen av alle isomorphism klasser av tilkoblede gulvbelegg av og conjugacy klasser av undergrupper av den grunnleggende enhet av . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Formell definisjon

La være et topologisk rom . En dekker plass av en topologisk plass sammen med et kontinuerlig surjektiv kart ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle p \ kolon C \ til X}$

slik at for hver , eksisterer det et åpent nabolag av , slik at (den pre-bilde av i henhold ) er en forening av disjunkte åpne settene i , som hver er tilordnet homeomorphically på ved . ${\ displaystyle x \ i X}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p ^ {- 1} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$

Tilsvarende kan et dekkingsrom defineres som en fiberbunt med diskrete fibre. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p \ kolon C \ til X}$

Kartet er kalt den dekker kartet , plassen er ofte kalt basis plass av belegget, og den plass som kalles den totale plass av kledningen. For ethvert punkt i basen er det omvendte bildet av in nødvendigvis et diskret rom som kalles fiberen over .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x}$

De spesielle åpne nabolag av gitt i definisjonen kalles jevnt dekket nabolag . De jevnt dekkede nabolagene danner et åpent deksel av rommet . De homøomorfiske kopier i en jevnt dekket nabolag kalles ark løpet . Man ser vanligvis som "svevende over" , med kartlegging "nedover", hvor arkene er stablet horisontalt over hverandre og over , og fiberen består av de punktene som ligger "vertikalt over" . Spesielt er dekning av kart lokalt trivielt. Dette betyr at lokalt, som hver dekker kart er 'isomorf' til et fremspring i den forstand at det er en homeomorfi, , fra pre-bilde , av en jevnt dekket området , på , der er fiberen, som tilfredsstiller den lokale trivia tilstand , som sier følgende: hvis er projeksjonen på den første faktoren, så er sammensetningen lik lokalt (innenfor ).${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle p ^ {- 1} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U \ times F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ pi \ kolon U \ ganger F \ til U}$${\ displaystyle \ pi \ circ h: p ^ {- 1} (U) \ til U}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p ^ {- 1} (U)}$

Alternative definisjoner

Mange forfattere pålegger noen tilkoblingsforhold på rommene og i definisjonen av et dekkekart. Spesielt krever mange forfattere at begge mellomrom skal være banekoblet og lokalt banekoblet . Dette kan vise seg å være nyttig fordi mange teoremer bare holder hvis de aktuelle områdene har disse egenskapene. Noen forfattere utelater antagelsen om surjektivitet, for hvis det er koblet sammen og ikke er frivillig, følger surjektiviteten til dekkekartet faktisk fra de andre aksiomene. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$

Eksempler

• Hvert rom dekker seg trivielt.
• Et tilkoblet og lokalt banekoblet topologisk rom har et universalt deksel hvis og bare hvis det bare er semi-lokalt koblet til .${\ displaystyle X}$
• ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ er det universelle dekselet til sirkelen ${\ displaystyle S ^ {1}.}$
• Den spin-gruppen er en dobbel dekning av spesielle ortogonale gruppe og en universell dekning når . Tilfeldige, eller eksepsjonelle isomorfismer for løgngrupper, gir deretter isomorfier mellom spinngrupper i lavdimensjon og klassiske løgngrupper.${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (n)}$${\ displaystyle n> 2}$
• Den enhetlige gruppe har universell deksel .${\ displaystyle \ operatorname {U} (n)}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n) \ times \ mathbb {R}}$
• Den n-sfæren er en dobbelt dekning av fast projeksjonsrommet og er en universell deksel for .${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle P_ {n} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle n> 1}$
• Hver manifold har et orienterbart dobbeltdeksel som er koblet til hvis og bare hvis manifolden ikke kan orienteres.
• Den uniformization teorem hevder at hver Riemann overflate har en universell deksel konformt tilsvarer Riemann sfære , det komplekse plan, eller den enhet platen.
• Det universelle dekselet til en kil av sirkler er Cayley-grafen til den gratis gruppen på generatorer, dvs. et Bethe-gitter .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$
• Den torus er en dobbelt dekning av Klein flasken . Dette kan sees ved hjelp av polygonene for torus og Klein-flasken, og observerer at det doble dekselet til sirkelen (innebygd i sending ).${\ displaystyle S ^ {1} \ til S ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle z \ mapsto z ^ {2}}$
• Hver graf har et todelt dobbeltomslag . Siden hver graf er homotopisk til en kilekrets, er dens universelle deksel en Cayley-graf.
• Hver nedsenking fra en kompakt manifold til en manifold med samme dimensjon er et tildekking av bildet.
• Et annet effektivt verktøy for å konstruere tildekking av rom er å bruke kvotienter ved gratis endelige gruppeaksjoner.
• For eksempel er rommet definert av kvotienten til (innebygd i ) via -aksjonen . Dette rommet, kalt et linserom , har grunnleggende gruppe og har universelt deksel .${\ displaystyle L_ {p / q}}$${\ displaystyle S ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / q}$${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}) \ mapsto (e ^ {2 \ pi i / q} z_ {1}, e ^ {2 \ pi ip / q} z_ {2})}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / q}$${\ displaystyle S ^ {3}}$
• Kartet over affine-ordninger danner et dekkerom med sin gruppe av dekktransformasjoner. Dette er et eksempel på et syklisk Galois-deksel .${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x, t, t ^ {- 1}] / (x ^ {n} -t)) \ to \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [t, t ^ {- 1}])}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n}$

Eiendommer

Vanlige lokale eiendommer

• Hvert deksel er en lokal homeomorfisme ; det vil si for hver , eksisterer det et nabolag av c og et nabolag av slik at begrensningen av p til U gir et homeomorfi fra U til V . Dette innebærer at C og X deler alle lokale eiendommer. Hvis X er enkelt forbindes og C er koblet, så denne holder globalt også, og overtrekket p er et homeomorfi.${\ displaystyle p \ kolon C \ til X}$${\ displaystyle c \ in C}$${\ displaystyle U \ subseteq C}$${\ displaystyle V \ subseteq X}$${\ displaystyle p (c)}$
• Hvis og dekker kart, så er også kartet gitt av .${\ displaystyle p \ kolon E \ til B}$${\ displaystyle p '\ colon E' \ to B '}$${\ displaystyle p \ times p '\ colon E \ times E' \ to B \ times B '}$${\ displaystyle (p \ times p ') (e, e') = (p (e), p '(e'))}$

Homeomorfisme av fibrene

For hver x i X , fiberen i løpet av x er en diskret undergruppe av C . På alle tilkoblede komponenter i X er fibrene homeomorfe.

Hvis X er tilkoblet, er det en diskret plass F slik at for hvert x i X fiberen i løpet av x er homøomorfiske til F , og dessuten for hver x i X er et nabolag U av x , slik at dens fulle pre-bilde p ^-1 ( U ) er homøomorfiske til U x F . Spesielt er cardinality av fiberen i løpet av x er lik Kardinaliteten for F , og det kalles graden av dekslet p  : C → X . Dermed, hvis hver fiber har n elementer, snakker vi om en n- folding (for tilfellet n = 1 er belegget trivielt; når n = 2 er belegget et dobbelt deksel ; når n = 3 er belegget et tredobbelt deksel og så videre).

Løfteegenskaper

Hvis p  : C → X er et deksel og γ er en bane i X (dvs. et kontinuerlig kart fra enhetsintervallet [0, 1] til X ) og c ∈ C er et punkt "liggende" γ (0) (dvs. p ( c ) = γ (0)) , så eksisterer det en unik bane Γ i C som ligger over γ (dvs. p ∘ Γ = γ ) slik at Γ (0) = c . Kurven Γ kalles heisen til γ. Hvis x og y er to punkter i X forbundet med en bane, gir den banen en sammenheng mellom fiberen over x og fiberen over y via løfteegenskapen.

Mer generelt la f  : Z → X være et sammenhengende kart til X fra en bane tilkoblet og lokalt bane tilkoblet plass Z . Fest et grunnpunkt z ∈ Z , og velg et punkt c ∈ C "liggende" f ( z ) (dvs. p ( c ) = f ( z ) ). Så eksisterer det en løfting av f (det vil si et kontinuerlig kart g  : Z → C som p ∘ g = f og g ( z ) = c ) hvis og bare hvis de induserte homomorfismene f _#  : π ₁ ( Z , z ) → π ₁ ( X , f ( z )) og p _#  : π ₁ ( C , c ) → π ₁ ( X , f ( z )) på nivået med grunnleggende grupper tilfredsstiller

${\ displaystyle f _ {\ #} (\ pi _ {1} (Z, z)) \ subset p _ {\ #} (\ pi _ {1} (C, c)).}$

( ♠ )

Videre, hvis en slik heis g av f eksisterer, er den unik.

Spesielt hvis rommet Z antas å være enkelt forbundet (slik at π ₁ ( Z , z ) er trivielt), blir tilstanden (♠) automatisk oppfylt, og hvert kontinuerlig kart fra Z til X kan løftes. Siden enhetsintervallet [0, 1] enkelt er koblet sammen, er løfteegenskapen for stier et spesielt tilfelle av løfteegenskapen for kart som er angitt ovenfor.

Hvis p  : C → X er et belegg og c ∈ C og x ∈ X er slik at p ( c ) = x , så er p _# injeksjonsdyktig på nivå med grunnleggende grupper , og de induserte homomorfismene p _#  : π _n ( C , c ) → π _n ( X , x ) er isomorfismer for alle n ≥ 2 . Begge disse uttalelsene kan trekkes fra løfteeiendommen for kontinuerlige kart. Surjectivity av p _# for n ≥ 2 følger fra det faktum at for alle slike n , den n -sphere S ⁿ er enkelt forbindes og følgelig enhver kontinuerlig over fra S ⁿ til X kan løftes til C .

Likestilling

La p ₁  : C ₁ → X og p ₂  : C ₂ → X være to belegg. En sier at de to beleggene p ₁ og p ₂ er ekvivalente hvis det eksisterer en homeomorfisme p ₂₁  : C ₂ → C ₁ og slik at p ₂ = p ₁ ∘ p ₂₁ . Ekvivalens klasser av gulvbelegg tilsvarer conjugacy klasser av undergrupper av den grunnleggende enhet av X , som omtalt nedenfor. Hvis p ₂₁  : C ₂ → C ₁ er et dekke (i stedet for en homeomorfisme) og p ₂ = p ₁ ∘ p ₂₁ , så sier man at p ₂ dominerer p ₁ .

Dekking av en manifold

Siden dekkplater er lokale homeomorphisms , et dekke av et topologisk n - manifolden er en n -manifold. (Man kan bevise at tildekkingsrommet er nummerert fra det faktum at den fundamentale gruppen til en manifold alltid er tellbar .) Imidlertid kan et rom som dekkes av en n -manifold være en ikke-Hausdorff-manifold . Et eksempel er gitt ved å la C være planet med opprinnelsen slettet og X kvotens mellomrom oppnådd ved å identifisere hvert punkt ( x , y ) med (2 x , y / 2) . Hvis p  : C → X er kvotientkartet, er det en dekning siden handlingen av Z på C generert av f ( x , y ) = (2 x , y / 2) er riktig diskontinuerlig . Punktene p (1, 0) og p (0, 1) har adskilte nabolagene i X .

Ethvert dekkområde til et differensierbart manifold kan være utstyrt med en (naturlig) differensierbar struktur som gjør p (det aktuelle dekkekartet) til en lokal diffeomorfisme - et kart med konstant rang n .

Universelle deksler

Et dekkerom er et universelt dekkerom hvis det bare er koblet sammen . Navnet universell deksel kommer fra den følgende viktige egenskap: dersom avbildningen q : D → X er en universell dekslet på plass X og kartlegging p  : C → X er en hvilken som helst dekslet på plass X hvor den dekker plass C er tilkoblet, så eksisterer det et dekkekart f  : D → C slik at p ∘ f = q . Dette kan formuleres som

Universaldekselet (av rommet X ) dekker ethvert tilkoblet deksel (av rommet X ).

Kartet f er unikt i følgende forstand: hvis vi fikser et punkt x i rommet X og et punkt d i rommet D med q ( d ) = x og et punkt c i rommet C med p ( c ) = x , så eksisterer det et unikt dekkekart f  : D → C slik at p ∘ f = q og f ( d ) = c .

Hvis rommet X har et universelt deksel, er det universelle dekselet i det vesentlige unikt: hvis kartleggingen q ₁  : D ₁ → X og q ₂  : D ₂ → X er to universelle deksler av rommet X , eksisterer det en homeomorfisme f  : D ₁ → D ₂ slik at q ₂ ∘ f = q ₁ .

Rommet X har et universalt deksel hvis det er koblet sammen , lokalt stiforbundet og semi-lokalt enkelt koblet til . Den universelle dekselet på plass X kan være utformet som en viss plass av baner i mellomrommet X . Mer eksplisitt danner den en hovedbunt med den grunnleggende gruppen π ₁ ( X ) som strukturgruppe.

Eksemplet R → S ¹ gitt ovenfor er et universelt deksel. Kartet S ³ → SO (3) fra enhetskvadernjoner til rotasjoner av 3D-rom beskrevet i kvartærrom og romlig rotasjon er også et universelt dekke.

Hvis rommet har en ekstra struktur, arver dets universelle deksel vanligvis strukturen: ${\ displaystyle X}$

• Dersom plassen er en manifold , så er også dens universelle deksel D .${\ displaystyle X}$
• Hvis rommet er en Riemann-overflate , så er dets universelle deksel D det også , og er et holomorfisk kart.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$
• Hvis rommet er et Riemann-manifold , så er dets universelle deksel det også, og det er en lokal isometri .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$
• Hvis rommet er en lorentzisk manifold , så er det også dets universelle deksel. Videre antar at delsettet p ⁻¹ ( U ) er en usammenhengende forening av åpne sett som hver er diffeomorf med U ved kartleggingen . Dersom plassen inneholder en lukket timelike kurve (CTC), så plassen er timelike multiplisere tilkoblet (ikke CTC kan være timelike homotopic til et punkt, så som punktet ville ikke være kausalt vel artet), er dens universelle (diffeomorphic) deksel timelike ganske enkelt tilkoblet (den inneholder ikke CTC).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Hvis X er en Lie-gruppe (som i de to eksemplene ovenfor), så er dens universelle deksel D også , og kartleggingen p er en homomorfisme av Lie-grupper. I dette tilfellet kalles universaldekselet også den universelle dekkgruppen . Dette har særlig anvendelse på representasjonsteori og kvantemekanikk , siden vanlige representasjoner av den universelle dekkgruppen ( D ) er prosjektive representasjoner av den opprinnelige (klassiske) gruppen ( X ).

Det universelle dekselet oppsto først i teorien om analytiske funksjoner som det naturlige domenet til en analytisk fortsettelse .

G-belegg

La G være en diskret gruppe som virker på det topologiske plass X . Dette betyr at hvert element g av G er knyttet til en homeomorfi H _g av X på seg selv, på en slik måte at H _{g h} er alltid lik H _g ∘ H _h for en hvilken som helst av to elementer g og h i G . (Eller med andre ord, en gruppehandling av gruppen G på rommet X er bare en gruppehomomorfisme av gruppen G i gruppen Homeo ( X ) av selvhomeomorfier av X. ) Det er naturlig å spørre under hvilke forhold projeksjon fra X til baneområdet X / G er et dekkekart. Dette er ikke alltid sant siden handlingen kan ha faste punkter. Et eksempel på dette er den sykliske gruppen av rekkefølge 2 som virker på et produkt X × X ved vrihandlingen der ikke-identitetselementet virker ved ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Dermed er ikke studien av forholdet mellom de grunnleggende gruppene X og X / G så grei.

Imidlertid virker gruppe G på den fundamentale groupoid av X , og studien håndteres best ved å vurdere grupper som virker på groupoids, og tilsvarende bane groupoids . Teorien for dette er nedfelt i kapittel 11 i boka Topology and groupoids referert til nedenfor. Hovedresultatet er at for diskontinuerlige handlinger av en gruppe G på et Hausdorff-rom X som innrømmer et universelt deksel, så er den fundamentale groupoid av baneområdet X / G isomorf til bane groupoid av den fundamentale groupoid av X , dvs. kvotienten av det groupoid ved virkningen av gruppen G . Dette fører til eksplisitte beregninger, for eksempel av den grunnleggende gruppen av det symmetriske kvadratet i et rom.

Dekk (dekker) transformasjonsgruppe, vanlige omslag

En dekker transformasjon eller dekk transformasjon eller automorphism av et deksel er en homeomorfi slik at . Settet med alle dekktransformasjoner av danner en gruppe under sammensetning , dekktransformasjonsgruppen . Dekktransformasjoner kalles også dekningstransformasjoner . Hver dekktransformasjon tillater elementene i hver fiber. Dette definerer en gruppehandling av dekktransformasjonsgruppen på hver fiber. Legg merke til at av den unike løfteegenskapen, hvis den ikke er identiteten og er banetilknyttet, ikke har noen faste punkter . ${\ displaystyle p: C \ til X}$ ${\ displaystyle f: C \ til C}$${\ displaystyle p \ circ f = p}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (p)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle f}$

Anta nå at det er et dekkekart og (og derfor også ) er koblet sammen og lokalt stiforbundet. Handlingen på hver fiber er gratis . Hvis denne handlingen er transitiv på en eller annen fiber, så er den transitiv på alle fibre, og vi kaller dekselet vanlig (eller normalt eller Galois ). Hver slik vanlig deksel er en hoved -bundle , der er ansett som en diskret topologisk gruppe. ${\ displaystyle p: C \ til X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (p)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G = \ operatorname {Aut} (p)}$

Hvert universelt deksel er vanlig, med dekktransformasjonsgruppen som isomorf for den grunnleggende gruppen .${\ displaystyle p: D \ til X}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Som et annet viktig eksempel kan du vurdere det komplekse planet og det komplekse planet minus opprinnelsen. Da er kartet med et vanlig omslag. Dekktransformasjonene er multiplikasjoner med -th røtter av enhet, og dekktransformasjonsgruppen er derfor isomorf for den sykliske gruppen . På samme måte er kartet med det universelle dekselet. ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$${\ displaystyle p \ colon \ mathbb {C} ^ {\ times} \ to \ mathbb {C} ^ {\ times}}$${\ displaystyle p (z) = z ^ {n}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ exp \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} ^ {\ times}}$${\ displaystyle \ exp (z) = e ^ {z}}$

Monodromy handling

Anta igjen at det er et dekkekart og C (og derfor også X ) er koblet sammen og lokalt stiforbundet. Hvis x er i X og c tilhører fiberen over x (dvs., ), og er en bane med , løfter denne banen seg til en unik bane i C med startpunkt c . Endepunktet til denne løftede banen trenger ikke å være c , men den må ligge i fiberen over x . Det viser seg at dette sluttpunktet bare avhenger av klassen av γ i den grunnleggende gruppen π ₁ ( X , x ) . På denne måten får vi en riktig gruppehandling av π ₁ ( X , x ) på fiberen over x . Dette er kjent som monodromi-handlingen . ${\ displaystyle p \ kolon C \ til X}$${\ displaystyle p (c) = x}$${\ displaystyle \ gamma \ colon [0,1] \ til X}$${\ displaystyle \ gamma (0) = \ gamma (1) = x}$

Det er to handlinger på fiberen over x  : Aut ( p ) virker på venstre og π ₁ ( X , x ) virker på høyre side. Disse to handlingene er kompatible i følgende betydning: for alle f i Aut ( p ), c i p ⁻¹ ( x ) og γ i π ₁ ( X , x ) . ${\ displaystyle f \ cdot (c \ cdot \ gamma) = (f \ cdot c) \ cdot \ gamma}$

Hvis p er et universalt deksel, kan Aut ( p ) naturlig identifiseres med motsatt gruppe av π ₁ ( X , x ) slik at venstre handling av motsatt gruppe av π ₁ ( X , x ) sammenfaller med handlingen av Aut ( p ) på fiberen over x . Merk at Aut ( p ) og π ₁ ( X , x ) er naturlig isomorf i dette tilfellet (da en gruppe alltid er naturlig isomorf til det motsatte gjennom g ↦ g ⁻¹ ) .

Hvis p er et vanlig deksel, er Aut ( p ) naturlig isomorf til en kvotient på π ₁ ( X , x ) .

Generelt (for gode mellomrom) er Aut ( p ) naturlig isomorf til kvotienten til normaliseringen av p _* ( π ₁ ( C , c )) i π ₁ ( X , x ) over p _* ( π ₁ ( C , c )) , hvor p ( c ) = x .

Mer om gruppestrukturen

La p  : C → X være et dekkekart der både X og C er banekoblet. La x ∈ X være et grunnpunkt for X og la c ∈ C være et av forhåndsbildene i C , det vil si p ( c ) = x . Det er en indusert homomorfisme av grunnleggende grupper p _#  : π ₁ ( C , c ) → π ₁ ( X , x ) som er injiserende av løfteegenskapene til belegg. Spesielt hvis γ er en lukket sløyfe ved c slik at p _# ([ γ ]) = 1 , det vil si p ∘ γ er null-homotopisk i X , så betrakt en null-homotopi av p ∘ γ som et kart f  : D ² → X fra den to-plate D- ² til X , slik at begrensningen av f til grensen S ¹ av D ² er lik p ∘ -y . Ved hjelp av løfte egenskapen kartet f heiser til et sammenhengende kart g  : D ² → C, slik at begrensningen av g til grensen S ¹ av D ² er lik γ . Derfor γ er null-homotopic i C , slik at kjernen av p _#  : π _en ( C , c ) ditt → π ₁ ( x , x ) er triviell og således p _#  : π _en ( C , c ) ditt → π ₁ ( X , x ) er en injiserende homomorfisme.

Derfor er π ₁ ( C , c ) isomorf til undergruppen p _# ( π ₁ ( C , c )) av π ₁ ( X , x ) . Dersom c ₁ ∈ C er en annen forhånds bilde av x i C, deretter ble undergrupper p _# ( π _en ( C , c )) og p _# ( π _en ( C , c ₁ )) er konjugat i π ₁ ( X , x ) ved p -bilde av en kurve i C som forbinder c til c ₁ . Dermed definerer et dekkekart p  : C → X en bøyningsklasse av undergrupper på π ₁ ( X , x ), og man kan vise at ekvivalente deksler av X definerer samme bøyningsklasse av undergrupper på π ₁ ( X , x ) .

For en dekning p  : C → X kan gruppen p _# ( π ₁ ( C , c )) også sees å være lik

${\ displaystyle \ Gamma _ {p} (c) = \ {[\ gamma]: \ gamma _ {C} {\ text {er en lukket kurve i}} C {\ text {passerer gjennom}} c \ i C \},}$

settet med homotopiklasser for de lukkede kurvene γ basert på x hvis løftene γ _C i C , startende ved c , er lukkede kurver ved c . Hvis X og C er bundetilkoblet, er graden av dekselet p (det vil si kardinaliteten til en hvilken som helst fiber av p ) lik indeksen [ π ₁ ( X , x ): p _# ( π ₁ ( C , c )) av undergruppen p _# ( π ₁ ( C , c )) i π ₁ ( X , x ) .

Et nøkkelresultat av teorien om dekkende rom sier at for et "tilstrekkelig godt" rom X (nemlig hvis X er baneforbundet, lokalt stiforbundet og semi-lokalt rett og slett koblet ), er det faktisk en sammenheng mellom ekvivalensklasser av sti -tilknyttede omslag av X og konjugatklassene til undergrupper i den grunnleggende gruppen π ₁ ( X , x ) . Hovedtrinnet for å bevise dette resultatet er å etablere eksistensen av et universelt deksel, det vil si et deksel som tilsvarer den trivielle undergruppen til π ₁ ( X , x ) . Når det foreligger en universell deksel C for X er etablert, hvis H ≤ ¸ ₁ ( x , x ) er en vilkårlig undergruppe er den plass C / H er dekket av X som svarer til H . Man må også sjekke at to deksler av X som tilsvarer den samme (konjugasjonsklassen av) undergruppe av π ₁ ( X , x ) er ekvivalente. Tilkoblede cellekomplekser og tilkoblede manifolder er eksempler på "tilstrekkelig gode" mellomrom.

La N ( Γ _p ) være normalisering av Γ _p i π ₁ ( X , x ) . Dekktransformasjonsgruppen Aut ( p ) er isomorf til kvotientgruppen N (Γ _p ) / Γ _p . Hvis p er en universell dekning, er Γ _p den trivielle gruppen , og Aut ( p ) er isomorf til π ₁ ( X ).

La oss snu dette argumentet. La N være en normal undergruppe av π ₁ ( X , x ) . Ved de ovenfor angitte argumenter, er dermed gitt en (vanlig) som dekker p  : C → X . La c ₁ i C være i fiberen til x . Så for hver annen c ₂ i fiberen til x er det nøyaktig en dekktransformasjon som tar c ₁ til c ₂ . Denne dekktransformasjonen tilsvarer en kurve g i C som forbinder c ₁ til c ₂ .

Forhold til groupoids

En av måtene å uttrykke det algebraiske innholdet i teorien om å dekke mellomrom er å bruke groupoids og den fundamentale groupoid . Sistnevnte funksjon gir en ekvivalens av kategorier

${\ displaystyle \ pi _ {1}: \ operatorname {TopCov} (X) \ to \ operatorname {GpdCov} (\ pi _ {1} X)}$

mellom kategorien som dekker mellomrom i et rimelig fint rom X og kategorien av gruppoid som dekker morfismer av π ₁ ( X ). Dermed er en bestemt type kart over rom godt modellert av en bestemt type morfisme av groupoids. Kategorien som dekker morfisme av en groupoid G tilsvarer også kategorien handlinger av G på sett, og dette tillater utvinning av mer tradisjonelle klassifiseringer av belegg.

Forhold til klassifisering av rom og gruppes kohomologi

Hvis X er et tilkoblet celle kompleks med homotopigrupper rc _n ( x ) = 0 for alle n ≥ 2 , da den universelle dekkplass T av X er sammentrekkbar, som følger etter påføring av Whitehead teoremet til T . I dette tilfellet er X et klassifiserende mellomrom eller K ( G , 1) for G = π ₁ ( X ) .

Dessuten, for hver n ≥ 0- gruppen av celle n -kjeder C _n ( t ) (dvs. en fri abelsk gruppe med basis gitt av n -cellene i T ) har også en naturlig Z G - modul struktur. Her for en n -celle σ i T og for g i G er cellen g σ nøyaktig oversettelsen av σ ved en dekningstransformasjon av T tilsvarende g . Videre C _n ( T er) en fri Z G -module med fri Z G -basis gitt av representanter for G -orbits av n -cellene i T . I dette tilfellet standard topologisk kjedekompleks

${\ displaystyle \ cdots {\ overset {\ partial} {\ to}} C_ {n} (T) {\ overset {\ partial} {\ to}} C_ {n-1} (T) {\ overset {\ delvis} {\ to}} \ cdots {\ overset {\ partial} {\ to}} C_ {0} (T) {\ overset {\ varepsilon} {\ to}} \ mathbf {Z},}$

der ε er forstørrelseskartet , er en fri Z G- oppløsning av Z (der Z er utstyrt med den trivielle Z G- modulstrukturen, gm = m for hver g ∈ G og hver m ∈ Z ). Denne oppløsningen kan brukes til å beregne gruppes kohomologi av G med vilkårlige koeffisienter.

Metoden til Graham Ellis for databehandling av gruppeoppløsninger og andre aspekter av homologisk algebra, som vist i sin artikkel i J. Symbolic Comp. og hans webside som er oppført nedenfor, er å bygge et universelt omslag av en potensiell K ( G , 1) induktivt samtidig som en kontrakts homotopi av dette universelle omslaget. Det er sistnevnte som gir beregningsmetoden.

Generaliseringer

Som en homotopiteori fungerer forestillingen om å dekke mellomrom bra når dekktransformasjonsgruppen er diskret, eller, ekvivalent, når rommet er lokalt baneforbundet . Imidlertid, når dekktransformasjonsgruppen er en topologisk gruppe hvis topologi ikke er diskret , oppstår det vanskeligheter. Det er gjort noen fremskritt for mer komplekse rom, for eksempel den øreringer i Hawaii ; se referansene der for ytterligere informasjon.

En rekke av disse vanskelighetene løses med begrepet halvdekning på grunn av Jeremy Brazas, se papiret sitert nedenfor. Hvert dekkekart er en halvdekning, men halvdekkinger tilfredsstiller "2 av 3" -regelen: gitt en sammensetning h = fg av kart over mellomrom, hvis to av kartene er halvdekkende, så er også det tredje. Denne regelen gjelder ikke for dekk, siden sammensetningen av dekkekart ikke trenger å være et dekkekart.

En annen generalisering er til handlinger fra en gruppe som ikke er gratis. Ross Geoghegan i sin 1986-anmeldelse ( MR 0760769 ) av to artikler av MA Armstrong om de grunnleggende gruppene av baneområder skrev: "Disse to papirene viser hvilke deler av elementær dekning av romteori som overføres fra det frie til det ufrie tilfellet. Dette er slags grunnleggende materiale som burde ha vært i standard lærebøker om grunnleggende grupper de siste femti årene. " For tiden synes "Topologi og gruppoider" som er oppført nedenfor å være den eneste grunnleggende topologiteksten som dekker slike resultater.

applikasjoner

Gimbal-lås oppstår fordi et hvilket som helst kart T ³ → RP ³ ikke er et dekkekart. Spesielt, det tilsvarende kart bærer noen del av T ³ , det vil si en ordnet trippel (a, b, c) av vinkler (reelle tall mod 2 π ), til blandingen av de tre -koordinataksesystemet rotasjoner R _x (a) ∘R _y (b) ∘R _z (c) av henholdsvis disse vinklene. Hver av disse rotasjonene, og deres sammensetning, er et element i rotasjonsgruppen SO (3), som er topologisk RP ³ . Denne animasjonen viser et sett med tre gimbaler montert sammen for å tillate tre frihetsgrader. Når alle tre kardanene er stilt opp (i samme plan), kan systemet bare bevege seg i to dimensjoner fra denne konfigurasjonen, ikke tre, og er i kardanlås . I dette tilfellet kan den kaste eller kjipe, men ikke rulle (roter i planet som aksene alle ligger i).

En viktig praktisk anvendelse av å dekke mellomrom forekommer i diagrammer på SO (3) , rotasjonsgruppen . Denne gruppen forekommer mye innen ingeniørarbeid, på grunn av at tredimensjonale rotasjoner er mye brukt i navigasjon , nautikk og luftfartsteknikk , blant mange andre bruksområder. Topologisk er SO (3) det virkelige projiserende rommet RP ³ , med grunnleggende gruppe Z / 2, og bare (ikke-trivielt) som dekker rommet hypersfæren S ³ , som er gruppen Spinn (3) , og representert av enhetens kvartær . Derfor er kvaternioner en foretrukket metode for å representere romlige rotasjoner - se kvaternjoner og romlig rotasjon .

Imidlertid er det ofte ønskelig å representere rotasjoner med et sett med tre tall, kjent som Euler-vinkler (i mange varianter), både fordi dette er konseptuelt enklere for noen som er kjent med plan rotasjon, og fordi man kan bygge en kombinasjon av tre kardanmer for å produsere rotasjoner i tre dimensjoner. Topologisk tilsvarer dette et kart fra 3-torus T ³ av tre vinkler til det virkelige projiserende rommet RP ³ av rotasjoner, og det resulterende kartet har ufullkommenheter på grunn av at dette kartet ikke kan være et dekkekart. Spesielt er feilen på kartet å være en lokal homeomorfisme på visse punkter referert til som kardanlås , og vises i animasjonen til høyre - på noen punkter (når aksene er i samme plan) er kartets rangering 2, i stedet for 3, noe som betyr at bare to dimensjoner av rotasjoner kan realiseres fra det punktet ved å endre vinklene. Dette forårsaker problemer i applikasjoner, og formaliseres av forestillingen om et dekkområde.

Se også

• Bethe gitter er det universelle dekselet til en Cayley-graf
• Dekningsgraf , et dekningsområde for en ikke-rettet graf , og dets spesielle tilfelle dobbeltpartiet omslag
• Dekningsgruppe
• Galois-forbindelse
• Kvotens rom (topologi)

Merknader

Referanser

• Brown, Ronald (2006). Topologi og gruppoider . Charleston, S. Carolina: Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8. Se kapittel 10.
• Chernavskii, AV (2001) [1994], "Covering" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Farkas, Hershel M .; Kra, Irwin (1980). Riemann Surfaces (2. utg.). New York: Springer. ISBN 0-387-90465-4. Se kapittel 1 for en enkel gjennomgang.
• Hatcher, Allen (2002). Algebraisk topologi . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79540-0.
• Higgins, Philip J. (1971). Merknader om kategorier og groupoids . Matematiske studier. 32 . London-New York-Melbourne: Van Nostrand Reinhold. MR  0327946 .
• Jost, Jürgen (2002). Kompakte Riemann-overflater . New York: Springer. ISBN 3-540-43299-X. Se avsnitt 1.3
• Massey, William (1991). Et grunnleggende kurs i algebraisk topologi . New York: Springer. ISBN 0-387-97430-X. Se kapittel 5.
• Munkres, James R. (2000). Topologi (2. utg.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0131816292.
• Brazas, Jeremy (2012). "Semicoverings: en generalisering av dekning av romteori". Homologi, homotopi og applikasjoner . 14 (1): 33–63. arXiv : 1108.3021 . doi : 10.4310 / HHA.2012.v14.n1.a3 . MR  2954666 . S2CID  55921193 .
• Ellis, Graham. "Homologisk algebra programmering" .
• Ellis, Graham (2004). "Computing group resolutions" . Journal of Symbolic Computation . 38 (3): 1077–1118. doi : 10.1016 / j.jsc.2004.03.003 .
• Spanier, Edwin (1994) [1966]. Algebraisk topologi . Springer. ISBN 0-387-94426-5.