Område for en funksjon - Range of a function

{\ displaystyle f}

er en funksjon fra domene X til verdiområde Y . Den gule ovale inne i Y er bildet av . Noen ganger refererer "område" til bildet og noen ganger til kodomenet.

{\ displaystyle f}

I matematikk kan rekkevidden til en funksjon referere til et av to nært beslektede begreper:

Den verdiområde av den funksjon
Den bilde av funksjonen

Gitt to sett $X$ og $Y$ , er en binær relasjon $f$ mellom $X$ og $Y$ en (total) funksjon (fra $X$ til $Y$ ) hvis det for hver $x$ i $X$ er nøyaktig en $y$ i $Y$ slik at $f$ relaterer $x$ til $y$ . Settene $X$ og $Y$ kalles henholdsvis domene og kodomen for $f$ . Bildet av $f$ er da delsettet av $Y$ som bare består av elementene $y$ av $Y$ slik at det er minst ett $x$ i $X$ med $f (x) = y$ .

Terminologi

Siden begrepet "område" kan ha forskjellige betydninger, anses det som en god praksis å definere det første gang det brukes i en lærebok eller artikkel. Eldre bøker, når de bruker ordet "range", pleier å bruke det til å bety det som nå kalles codomain . Mer moderne bøker, hvis de i det hele tatt bruker ordet "rekkevidde", bruker det generelt for å bety det som nå kalles bildet . For å unngå forvirring bruker ikke en rekke moderne bøker ordet "rekkevidde" i det hele tatt.

Utdyping og eksempel

Gitt en funksjon

{\ displaystyle f \ kolon X \ til Y}

med domene , kan området , noen ganger betegnet eller , referere til kodedomenet eller målsettet (dvs. settet som all utdata fra er begrenset til å falle i), eller til bildet av domenet under (dvs. delsettet består av alle faktiske utdata fra ). Bildet av en funksjon er alltid et delsett av kodedomenet til funksjonen. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ran} (f)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Range} (f)}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (X)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f}$

Som et eksempel på de to forskjellige bruksområdene, kan du vurdere funksjonen slik den brukes i reell analyse (det vil si som en funksjon som legger inn et reelt tall og sender ut kvadratet). I dette tilfellet er kodomenet settet med reelle tall , men bildet er settet med ikke-negative reelle tall , siden det aldri er negativt hvis det er reelt. For denne funksjonen, hvis vi bruker "område" til å bety kodomen , refererer det til ; hvis vi bruker "område" for å bety bilde , refererer det til . ${\ displaystyle f (x) = x^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{+}}$ ${\ displaystyle x^{2}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ mathbb {\ displaystyle \ mathbb {R} ^{}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{+}}$

I mange tilfeller kan bildet og kodomenet falle sammen. Vurder for eksempel funksjonen , som legger inn et reelt tall og sender ut det dobbelte. For denne funksjonen er kodedomenet og bildet det samme (begge er settet med reelle tall), så ordområdet er entydig. ${\ displaystyle f (x) = 2x}$

Se også

Notater og referanser

Bibliografi

Childs (2009). En konkret introduksjon til høyere algebra . Undergraduate Texts in Mathematics (3. utg.). Springer. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC 173498962 .
Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3. utg.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC 52559229 .
Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra . Utdannet tekst i matematikk . 73 . Springer. ISBN 0-387-90518-9. OCLC 703268 .
Rudin, Walter (1991). Funksjonell analyse (2. utg.). McGraw Hill. ISBN 0-07-054236-8.

Languages

In other projects