Kvadratisk heltall - Quadratic integer

I tallteori er kvadratiske heltall en generalisering av de vanlige heltallene til kvadratiske felt . Kvadratiske heltall er algebraiske heltall av grad to, det vil si løsninger av formligninger

x ² + bx + c = 0

med b og c (vanlige) heltall. Når man vurderer algebraiske heltall, blir de vanlige heltallene ofte kalt rasjonelle heltall .

Vanlige eksempler på kvadratiske heltall er kvadratrøttene til rasjonelle heltall, slik som √ 2 , og det komplekse tallet i = √ –1 , som genererer de gaussiske heltallene . Et annet vanlig eksempel er den ikke-reelle kubiske roten til enhet −1 + √ –3/2, som genererer Eisenstein-heltallene .

Kvadratiske heltall forekommer i løsningene til mange diofantiske ligninger , for eksempel Pells ligninger , og andre spørsmål knyttet til integrerte kvadratiske former . Studiet av ringer av kvadratiske heltall er grunnleggende for mange spørsmål om algebraisk tallteori .

Historie

Middelalderindiske matematikere hadde allerede oppdaget en multiplikasjon av kvadratiske heltall av samme D , som tillot dem å løse noen tilfeller av Pells ligning .

Karakteriseringen gitt i § Eksplisitt representasjon av kvadratiske heltall ble først gitt av Richard Dedekind i 1871.

Definisjon

Et kvadratisk heltall er et algebraisk heltall av grad to. Mer eksplisitt er det et komplekst tall som løser en ligning av formen x ² + bx + c = 0 , med b- og c- heltall . Hvert kvadratiske heltall som ikke er et helt tall, er ikke rasjonelt - det er et reelt irrasjonelt tall hvis b ² - 4 c > 0 og ikke-reelt hvis b ² - 4 c <0 - og ligger i et unikt bestemt kvadratfelt , utvidelse av generert av kvadratroten til det unike kvadratfrie heltallet D som tilfredsstiller b ² - 4 c = De ² for noe heltall e . Hvis D er positiv, er det kvadratiske heltallet reelt. Hvis D <0, er det imaginært (det er komplekst og ikke-reelt). ${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4c}}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Kvadratiske heltall (inkludert vanlige heltall), som tilhører et kvadratisk felt , danner et integrert domene som kalles ringen av heltall av${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}).}$

Selv om kvadratiske heltall som tilhører et gitt kvadratisk felt, danner en ring , er ikke settet med alle kvadratiske heltall en ring fordi det ikke er lukket under tillegg eller multiplikasjon . For eksempel, og er kvadratiske heltall, men og er ikke, som sine minimale polynomer har grad fire. ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) \ cdot {\ sqrt {3}}}$

Eksplisitt representasjon

Her og i det følgende tilhører kvadratiske heltall som anses å tilhøre et kvadratisk felt der D er et kvadratfritt heltall . Dette begrenser ikke generaliteten, da likheten √ a ² D = a √ D (for ethvert positivt heltall a ) tilsier${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}),}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a ^ {2} D}}).}$

Et element x av er et kvadratisk heltall hvis og bare hvis det er to heltall a og b slik at enten ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

${\ displaystyle x = a + b {\ sqrt {D}},}$

eller, hvis D - 1 er et multiplum av 4

${\ displaystyle x = {\ frac {a} {2}} + {\ frac {b} {2}} {\ sqrt {D}},}$med a og b begge rare

Med andre ord kan hvert kvadratiske heltall skrives a + ωb  , der a og  b er heltall, og der ω er definert av:

${\ displaystyle \ omega = {\ begin {cases} {\ sqrt {D}} og {\ mbox {if}} D \ equiv 2,3 {\ pmod {4}} \\ {{1 + {\ sqrt { D}}} \ over 2} og {\ mbox {if}} D \ equiv 1 {\ pmod {4}} \ end {cases}}}$

(ettersom D har blitt antatt kvadratfri, er saken umulig, siden det ville antyde at D ville være delelig med kvadrat 4). ${\ displaystyle D \ equiv 0 {\ pmod {4}}}$

Norm og bøyning

Et kvadratisk heltall i kan skrives ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

a + b √ D ,

hvor a og  b enten er begge heltall, eller bare hvis D ≡ 1 (mod 4) , begge halvdelene av odde heltall . Den norm av en slik kvadratisk heltall er

N ( a + b √ D ) = a ² - Db ² .

Normen til et kvadratisk heltall er alltid et helt tall. Hvis D <0 , er normen til et kvadratisk heltall kvadratet av den absolutte verdien som et komplekst tall (dette er usant hvis D > 0 ). Normen er en fullstendig multiplikasjonsfunksjon , noe som betyr at normen for et produkt av kvadratiske heltall alltid er et produkt av deres normer.

Hvert kvadratiske heltall a + b √ D har et konjugat

${\ displaystyle {\ overline {a + b {\ sqrt {D}}}} = ab {\ sqrt {D}}.}$

Et kvadratisk heltall har samme norm som konjugatet, og denne normen er produktet av det kvadratiske heltallet og dets konjugat. Konjugatet av en sum eller et produkt av kvadratiske heltall er summen eller produktet (henholdsvis) av konjugatene. Dette betyr at konjugasjonen er en automorfisme av ringen av heltallene til - se § Kvadratiske heltallringer , nedenfor. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Kvadratiske heltallringer

Hvert kvadratfrie heltall (forskjellig fra 0 og 1) D definerer en kvadratisk heltallring , som er det integrerte domenet som består av de algebraiske heltallene i. Det er settet Z [ ω ] = { a + ωb  : a , b ∈ Z }, der hvis D = 4 k +1 , og ω = √ D ellers. Det blir ofte betegnet , fordi det er ringen av heltall av Q ( √ D ), som er den integrerte lukkingen av Z i Ringen Z [ ω ] består av alle røtter av alle ligninger x ² + Bx + C = 0 hvis diskriminerende B ² - 4 C er produktet av D ved kvadratet av et helt tall. Spesielt √ D tilhører Z [ ω ] , og er en rot av ligningen x ² - D = 0 , som har 4 D som diskriminerende. ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}}).}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {D}}} {2}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}}).}$

Den kvadratroten av et hvilket som helst heltall er en kvadratisk helt tall, som hver heltall kan skrives n = m ² D , hvor D er en kvadratisk fritt heltall, og dens kvadratrot er en rot av x ² - m ² D = 0 .

Den grunnleggende setningen til aritmetikk stemmer ikke i mange ringer av kvadratiske heltall. Imidlertid er det en unik faktorisering for idealer , noe som kommer til uttrykk ved at hver ring av algebraiske heltall er et Dedekind-domene . Å være de enkleste eksemplene på algebraiske heltall, er kvadratiske heltall ofte starteksemplene på de fleste studier av algebraisk tallteori .

De kvadratiske heltall ringene deles i to klasser, avhengig av fortegnet på D . Hvis D > 0 , er alle elementene reelle, og ringen er en ekte kvadratisk heltallring . Hvis D <0 , er de eneste virkelige elementene i de vanlige heltallene, og ringen er en kompleks kvadratisk heltallring . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

For virkelige kvadratiske heltall ringer, den klassenummer er, som måler svikt av unike faktorisering, gitt i OEIS A003649 ; for den imaginære saken, er de gitt i OEIS A000924 .

Enheter

Et kvadratisk heltall er en enhet i ringen av heltallene hvis og bare hvis normen er 1 eller –1 . I det første tilfellet er dens multiplikative inverse konjugat. Det er negasjonen av konjugatet i det andre tilfellet. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Hvis D <0 , har ringen til heltallene på maksimalt seks enheter. Når det gjelder Gaussiske heltall ( D = –1 ), er de fire enhetene 1, –1, √ –1 , - √ –1 . Når det gjelder Eisenstein-heltallene ( D = -3 ), er de seks enhetene ± 1,${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$± 1 ± √ –3/2. For alle andre negative D er det bare to enheter, som er 1 og –1 .

Hvis D > 0 , har ringen av heltallene uendelig mange enheter som er lik ± u ⁱ , der i er et vilkårlig heltall, og u er en bestemt enhet som kalles en grunnleggende enhet . Gitt en grunnleggende enhet u , er det tre andre grunnleggende enheter, dens konjugerte og også og Vanligvis kaller man den grunnleggende enheten, den unike som har en absolutt verdi større enn 1 (som et reelt tall). Det er den unike grunnleggende enheten som kan skrives som a + b √ D , med a og b positive (heltall eller halvdeler av heltall). ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle {\ overline {u}},}$${\ displaystyle -u}$${\ displaystyle - {\ overline {u}}.}$

De grunnleggende enhetene for de 10 minste positive kvadratfrie D er 1 + √ 2 , 2 + √ 3 ,1 + √ 5/2(det gyldne forholdet ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 ,3 + √ 13/2, 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . For større D kan koeffisientene til den grunnleggende enheten være veldig store. For eksempel, for D = 19, 31, 43 , er de grunnleggende enhetene henholdsvis 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 og 3482 + 531 √ 43 .

Eksempler på komplekse kvadratiske heltallringer

For D  <0 er ω et komplekst ( imaginært eller ellers ikke-reelt) tall. Derfor er det naturlig å behandle en kvadratisk heltallring som et sett med algebraiske komplekse tall .

• Et klassisk eksempel er , de Gaussiske heltallene , som ble introdusert av Carl Gauss rundt 1800 for å uttale sin bikadratiske gjensidighetslov.${\ displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-1}}]}$
• Elementene i kalles Eisenstein-heltall .${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-3}})} = \ mathbf {Z} \ left [{{1 + {\ sqrt {-3}}} \ over 2} \ høyre]}$

Begge ringene nevnt ovenfor er ringer av heltall av cyklotomiske felt Q (ζ ₄ ) og Q (ζ ₃ ) tilsvarende. Derimot er Z [ √ −3 ] ikke engang et Dedekind-domene .

Begge eksemplene ovenfor er viktige ideelle ringer og også euklidiske domener for normen. Dette er ikke tilfelle for

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})} = \ mathbf {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right],}$

som ikke engang er et unikt faktoriseringsdomene . Dette kan vises som følger.

I har vi ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})},}$

${\ displaystyle 9 = 3 \ cdot 3 = (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}).}$

Faktorene 3, og er irredusible , da de alle har en norm på 9, og hvis de ikke var irreducible, ville de ha en faktor av norm 3, som er umulig, normen for et annet element av ± 1 er minst 4 Dermed er faktoriseringen av 9 til irredusible faktorer ikke unik. ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {-5}}}$${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {-5}}}$

De idealer og ikke rektor , som en enkel beregning viser at deres produkt er det ideelle generert av tre, og hvis de var rektor, ville dette innebære at tre ikke ville være irreducible. ${\ displaystyle \ langle 3,1 + {\ sqrt {-5}} \ rangle}$${\ displaystyle \ langle 3,1 - {\ sqrt {-5}} \ rangle}$

Eksempler på ekte kvadratiske heltallringer

For D > 0 er ω et positivt irrasjonelt reelt tall, og den tilsvarende kvadratiske heltallringen er et sett med algebraiske reelle tall . Løsningene til Pells ligning X ² - D  Y ² = 1 , en diofantinligning som har blitt studert mye, er enhetene til disse ringene, for D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• For D = 5 , ω =1+ √ 5/2er det gyldne forholdet . Denne ringen ble studert av Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Enhetene har formen ± ω ⁿ , der n er et vilkårlig heltall. Denne ringen oppstår også fra å studere 5 ganger rotasjonssymmetri på euklidisk plan, for eksempel Penrose-fliser .
• Den indiske matematikeren Brahmagupta behandlet Pells ligning X ² - 61  Y ² = 1 , tilsvarende ringen er Z [ √ 61 ] . Noen resultater ble presentert for det europeiske samfunnet av Pierre Fermat i 1657.

Hovedringer av kvadratiske heltall

Unik faktoriseringsegenskap er ikke alltid bekreftet for ringer av kvadratiske heltall, som vist ovenfor for tilfellet Z [ √ −5 ] . Imidlertid, som for hvert Dedekind-domene , er en ring av kvadratiske heltall et unikt faktoriseringsdomene hvis og bare hvis det er et hovedideal . Dette skjer hvis og bare hvis klassenummeret til det tilsvarende kvadratiske feltet er ett.

De imaginære ringene til kvadratiske heltall som er de viktigste ideelle ringene, er helt bestemt. Disse er for ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

Dette resultatet ble først antatt av Gauss og påvist av Kurt Heegner , selv om Heegner bevis ikke ble trodd før Harold Stark ga et senere bevis i 1967. (Se Stark-Heegner teorem .) Dette er et spesialtilfelle av den berømte klasse nummer problem .

Det er mange kjente positive heltall D > 0 , for hvilke ringen av kvadratiske heltall er en viktigste idealring. Den komplette listen er imidlertid ikke kjent; det er ikke engang kjent om antallet av disse viktigste ideelle ringene er endelig eller ikke.

Euklidiske ringer av kvadratiske heltall

Når en ring av kvadratiske heltall er et hovedideal domene , er det interessant å vite om det er et euklidisk domene . Dette problemet er fullstendig løst som følger.

Utstyrt med normen som en euklidisk funksjon , er et euklidisk domene for negativ D når ${\ displaystyle N (a + b {\ sqrt {D}}) = a ^ {2} -Db ^ {2}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11 ,

og, for positiv D , når

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (sekvens A048981 i OEIS ).

Det er ingen annen ring av kvadratiske heltall som er euklidisk med normen som en euklidisk funksjon.

For negativ D er en ring av kvadratiske heltall euklidisk hvis og bare hvis normen er en euklidisk funksjon for den. Det følger at for

D = −19, −43, −67, −163 ,

de fire korresponderende ringene av kvadratiske heltall er blant de sjeldne kjente eksemplene på viktigste ideelle domener som ikke er euklidiske domener.

På den annen side antyder den generaliserte Riemann-hypotesen at en ring av ekte kvadratiske heltall som er et hovedidealdomene, også er et euklidisk domene for noen euklidiske funksjoner, noe som faktisk kan avvike fra den vanlige normen. Verdiene D = 14, 69 var de første som ringen av kvadratiske heltall viste seg å være euklidisk, men ikke norm-euklidisk.

Merknader

Referanser

• Bourbaki, Nicolas (1994). Elementer i matematikkens historie . Oversatt av Meldrum, John. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR  1290116 .
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg. Hentet 5. august 2009
• Dummit, DS, og Foote, RM, 2004. Abstrakt algebra , 3. utg.
• Artin, M, Algebra , 2. utgave, Ch 13.

Videre lesning

• JS Milne. Algebraic Number Theory , versjon 3.01, 28. september 2008. online forelesningsnotater