Intero quadratico - Quadratic integer

Nella teoria dei numeri , gli interi quadratici sono una generalizzazione dei soliti interi ai campi quadratici . Gli interi quadratici sono interi algebrici di secondo grado, cioè soluzioni di equazioni della forma

x ² + bx + c = 0

con b e c (normali) interi. Quando si considerano gli interi algebrici, i soliti interi sono spesso chiamati interi razionali .

Esempi comuni di interi quadratici sono le radici quadrate di interi razionali, come √ 2 , e il numero complesso i = √ –1 , che genera gli interi gaussiani . Un altro esempio comune è la radice cubica non reale dell'unità −1 + √ –3/2, che genera gli interi di Eisenstein .

Interi quadratici si verificano nelle soluzioni di molte equazioni diofantee , come le equazioni di Pell e altre questioni relative alle forme quadratiche integrali . Lo studio degli anelli di interi quadratici è fondamentale per molte questioni di teoria algebrica dei numeri .

Storia

I matematici indiani medievali avevano già scoperto una moltiplicazione di interi quadratici dello stesso D , che consentiva loro di risolvere alcuni casi dell'equazione di Pell .

La caratterizzazione data in § Rappresentazione esplicita degli interi quadratici fu data per la prima volta da Richard Dedekind nel 1871.

Definizione

Un intero quadratico è un intero algebrico di secondo grado. Più esplicitamente, è un numero complesso , che risolve un'equazione della forma x ² + bx + c = 0 , con b e c interi . Ogni intero quadratico che non è un intero non è razionale , ovvero è un numero irrazionale reale se b ² – 4 c > 0 e non reale se b ² – 4 c < 0 e giace in un campo quadratico determinato in modo univoco , il estensione di generata dalla radice quadrata dell'unico intero senza quadrati D che soddisfa b ² – 4 c = De ² per qualche intero e . Se D è positivo, l'intero quadratico è reale. Se D < 0, è immaginario (cioè complesso e non reale). ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Gli interi quadratici (compresi gli interi ordinari), che appartengono a un campo quadratico , formano un dominio integrale chiamato anello degli interi di${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}).}$

Sebbene gli interi quadratici appartenenti a un dato campo quadratico formino un anello , l'insieme di tutti gli interi quadratici non è un anello perché non è chiuso per addizione o moltiplicazione . Ad esempio, e sono interi quadratici, ma e non lo sono, poiché i loro polinomi minimi hanno grado quattro. ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$

Rappresentazione esplicita

Qui e nel seguito, gli interi quadratici considerati appartengono a un campo quadratico in cui D è un intero senza quadrati . Ciò non limita la generalità, poiché l'uguaglianza √ a ² D = a √ D (per qualsiasi intero positivo a ) implica${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}).}$

Un elemento x di un intero quadratico se e solo se esistono due interi a e b tali che sia ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

${\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}$

oppure, se D – 1 è multiplo di 4

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},}$con un e b sia dispari

In altre parole, ogni intero quadratica può essere scritto un + ωb  , dove un e  b sono numeri interi, e dove ω è definita da:

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt { D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{casi}}}$

(poiché D è stato supposto privo di quadrati, il caso è impossibile, poiché implicherebbe che D sarebbe divisibile per il quadrato 4). ${\displaystyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$

Norma e coniugazione

Un intero quadratico in può essere scritto ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

a + b √ D ,

dove un e  b sono o entrambi interi, o, solo se D ≡ 1 (mod 4) , entrambe le metà di interi dispari . La norma di un tale intero quadratico è

N ( a + b √ D ) = a ² – Db ² .

La norma di un intero quadratico è sempre un intero. Se D < 0 , la norma di un intero quadratico è il quadrato del suo valore assoluto come numero complesso (questo è falso se D > 0 ). La norma è una funzione completamente moltiplicativa , il che significa che la norma di un prodotto di interi quadratici è sempre il prodotto delle loro norme.

Ogni intero quadratico a + b √ D ha un coniugato

${\displaystyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=ab{\sqrt {D}}.}$

Un intero quadratico ha la stessa norma del suo coniugato e questa norma è il prodotto dell'intero quadratico e del suo coniugato. Il coniugato di una somma o di un prodotto di interi quadratici è la somma o il prodotto (rispettivamente) dei coniugati. Ciò significa che la coniugazione è un automorfismo dell'anello degli interi di —vedi § Anelli interi quadratici , più avanti. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

Anelli interi quadratici

Ogni intero quadrato libero (diverso da 0 e 1) D definisce un anello intero quadratico , che è il dominio integrale costituito dagli interi algebrici contenuti in It è l'insieme Z [ ω ] = { a + ωb  : a , b ∈ Z }, dove se D = 4 k +1 , e ω = √ D altrimenti. È spesso indicato , perché è l' anello degli interi di Q ( √ D ), che è la chiusura integrale di Z in L'anello Z [ ω ] è costituito da tutte le radici di tutte le equazioni x ² + Bx + C = 0 il cui discriminante B ² − 4 C è il prodotto di D per il quadrato di un numero intero. In particolare √ D appartiene a Z [ ω ] , essendo una radice dell'equazione x ² − D = 0 , che ha 4 D come discriminante. ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}).}$ ${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {D}}).}$

La radice quadrata di qualsiasi intero è un intero quadratico, poiché ogni intero può essere scritto n = m ² D , dove D è un intero senza quadrati e la sua radice quadrata è una radice di x ² − m ² D = 0 .

Il teorema fondamentale dell'aritmetica non è vero in molti anelli di interi quadratici. Tuttavia, esiste una fattorizzazione unica per gli ideali , che è espressa dal fatto che ogni anello di interi algebrici è un dominio di Dedekind . Essendo gli esempi più semplici di interi algebrici, gli interi quadratici sono comunemente gli esempi di partenza della maggior parte degli studi sulla teoria algebrica dei numeri .

Gli anelli quadratici interi si dividono in due classi a seconda del segno di D . Se D > 0 , tutti gli elementi di sono reali e l'anello è un anello intero quadratico reale . Se D < 0 , gli unici elementi reali di sono gli interi ordinari e l'anello è un anello intero quadratico complesso . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$

Per anelli interi quadratici reali, il numero di classe , che misura il fallimento della fattorizzazione univoca, è fornito in OEIS A003649 ; per il caso immaginario, sono riportati in OEIS A000924 .

Unità

Un intero quadratico è un'unità nell'anello degli interi di se e solo se la sua norma è 1 o –1 . Nel primo caso il suo inverso moltiplicativo è il suo coniugato. È la negazione del suo coniugato nel secondo caso. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

Se D < 0 , l'anello degli interi di ha al massimo sei unità. Nel caso degli interi gaussiani ( D = -1 ), le quattro unità sono 1, -1, √ -1 , - √ -1 . Nel caso degli interi di Eisenstein ( D = –3 ), le sei unità sono ±1,${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$±1 ± √ –3/2. Per tutti gli altri D negativi , ci sono solo due unità, che sono 1 e –1 .

Se D > 0 , l'anello degli interi di ha infinite unità uguali a ± u ⁱ , dove i è un intero arbitrario, e u è un'unità particolare detta unità fondamentale . Data un'unità fondamentale u , ci sono altre tre unità fondamentali, il suo coniugato e anche e Comunemente, si chiama l' unità fondamentale, quello unico che ha un maggior valore assoluto di 1 (come numero reale). È l'unità fondamentale unica che può essere scritta come una + b √ D , con un e b positive (interi o mezze interi). ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$${\displaystyle {\overline {u}},}$${\displaystyle -u}$${\displaystyle -{\overline {u}}.}$

Le unità fondamentali per i 10 più piccoli D positivi senza quadrati sono 1 + √ 2 , 2 + √ 3 ,1 + √ 5/2(il rapporto aureo ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 ,3 + √ 13/2, 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . Per D maggiore , i coefficienti dell'unità fondamentale possono essere molto grandi. Ad esempio, per D = 19, 31, 43 , le unità fondamentali sono rispettivamente 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 e 3482 + 531 √ 43 .

Esempi di anelli interi quadratici complessi

Per D  < 0, ω è un numero complesso ( immaginario o altrimenti non reale). Pertanto, è naturale trattare un anello intero quadratico come un insieme di numeri complessi algebrici .

• Un esempio classico sono gli interi gaussiani , introdotti da Carl Gauss intorno al 1800 per enunciare la sua legge di reciprocità biquadratica.${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$
• Gli elementi in sono chiamati interi di Eisenstein .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}})}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]}$

Entrambi gli anelli sopra menzionati sono anelli di numeri interi di campi ciclotomici Q (ζ ₄ ) e Q (ζ ₃ ) corrispondentemente. Al contrario, Z [ √ −3 ] non è nemmeno un dominio di Dedekind .

Entrambi gli esempi precedenti sono anelli ideali principali e anche domini euclidei per la norma. Questo non è il caso per

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],}$

che non è nemmeno un dominio di fattorizzazione univoco . Questo può essere mostrato come segue.

In abbiamo ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})},}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

I fattori 3, e sono irriducibili , in quanto hanno tutti una norma di 9, e se non fossero irriducibili avrebbero un fattore di norma 3, il che è impossibile, essendo la norma di un elemento diverso di ±1 almeno 4 Quindi la fattorizzazione di 9 in fattori irriducibili non è unica. ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$

Gli ideali e non sono principali , in quanto un semplice calcolo mostra che il loro prodotto è l'ideale generato da 3, e, se fossero principali, ciò implicherebbe che 3 non sarebbe irriducibile. ${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\rangle}$${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\rangle}$

Esempi di anelli interi quadratici reali

Per D > 0 , ω è un numero reale irrazionale positivo e il corrispondente anello intero quadratico è un insieme di numeri reali algebrici . Le soluzioni dell'equazione di Pell X ² − D  Y ² = 1 , un'equazione diofantea ampiamente studiata, sono le unità di questi anelli, per D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• Per D = 5 , =1+ √ 5/2è il rapporto aureo . Questo anello è stato studiato da Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Le sue unità hanno la forma ±ω ⁿ , dove n è un intero arbitrario. Questo anello deriva anche dallo studio della simmetria rotazionale di 5 volte sul piano euclideo, ad esempio, le tassellature di Penrose .
• Il matematico indiano Brahmagupta ha trattato l'equazione di Pell X ² − 61  Y ² = 1 , corrispondente all'anello è Z [ √ 61 ] . Alcuni risultati furono presentati alla comunità europea da Pierre Fermat nel 1657.

Principali anelli di interi quadratici

La proprietà di fattorizzazione unica non è sempre verificata per anelli di interi quadratici, come visto sopra per il caso di Z [ √ −5 ] . Tuttavia, come per ogni dominio di Dedekind , un anello di interi quadratici è un dominio di fattorizzazione unico se e solo se è un dominio ideale principale . Ciò si verifica se e solo se il numero di classe del campo quadratico corrispondente è uno.

Gli anelli immaginari degli interi quadratici che sono i principali anelli ideali sono stati completamente determinati. Questi sono per ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

Questo risultato fu congetturato per la prima volta da Gauss e dimostrato da Kurt Heegner , sebbene la dimostrazione di Heegner non fu creduta fino a quando Harold Stark non diede una dimostrazione successiva nel 1967. (Vedi il teorema di Stark-Heegner .) Questo è un caso speciale del famoso problema del numero di classe .

Sono noti molti interi positivi D > 0 , per i quali l'anello degli interi quadratici è un anello ideale principale. Tuttavia, l'elenco completo non è noto; non si sa nemmeno se il numero di questi anelli ideali principali sia finito o meno.

Anelli euclidei di interi quadratici

Quando un anello di interi quadratici è un dominio ideale principale , è interessante sapere se è un dominio euclideo . Questo problema è stato completamente risolto come segue.

Dotato della norma come funzione euclidea , è un dominio euclideo per D negativo quando ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11 ,

e, per D positivo , quando

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (sequenza A048981 in OEIS ).

Non esiste un altro anello di interi quadratici euclideo con la norma come funzione euclidea.

Per D negativo , un anello di interi quadratici è euclideo se e solo se la norma è una funzione euclidea per esso. Ne segue che, per

D = −19, −43, −67, −163 ,

i quattro corrispondenti anelli di interi quadratici sono tra i rari esempi noti di domini ideali principali che non sono domini euclidei.

D'altra parte, l' ipotesi di Riemann generalizzata implica che un anello di interi quadratici reali che è un dominio ideale principale è anche un dominio euclideo per qualche funzione euclidea, che può infatti differire dalla norma abituale. I valori D = 14, 69 sono stati i primi per i quali l'anello degli interi quadratici è stato dimostrato essere euclideo, ma non norma-euclideo.

Appunti

Riferimenti

• Bourbaki, Nicolas (1994). Elementi di storia della matematica . Tradotto da Meldrum, John. Berlino: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR  1290116 .
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg. Estratto il 5 agosto 2009
• Dummit, DS e Foote, RM, 2004. Algebra astratta , 3a ed.
• Artin, M, Algebra , 2a ed., Cap 13.

Ulteriori letture

• JS Milne. Teoria algebrica dei numeri , versione 3.01, 28 settembre 2008. appunti delle lezioni online