Kvadratické celé číslo - Quadratic integer

V teorii čísel , kvadratické celá čísla jsou zobecněním obvyklých čísel až kvadratických těles . Kvadratická celá čísla jsou algebraická celá čísla stupně dva, tj. Řešení rovnic tvaru

x ² + bx + c = 0

s b a c (obvykle) celých čísel. Když se vezmou v úvahu algebraická celá čísla, obvyklá celá čísla se často nazývají racionální celá čísla .

Běžnými příklady kvadratických celých čísel jsou druhé odmocniny racionálních celých čísel, například √ 2 , a komplexní číslo i = √ –1 , které generuje Gaussovské celá čísla . Dalším běžným příkladem je nerealistický kubický kořen jednoty −1 + √ –3/2, který generuje celá čísla Eisenstein .

Kvadratická celá čísla se vyskytují v řešeních mnoha diofantických rovnic , jako jsou Pellovy rovnice a další otázky týkající se integrálních kvadratických forem . Studium prstenů kvadratických celých čísel je základem mnoha otázek teorie algebraických čísel .

Dějiny

Středověcí indičtí matematici již objevili násobení kvadratických celých čísel stejného D , což jim umožnilo vyřešit některé případy Pellovy rovnice .

Charakterizace uvedená v § Výslovné znázornění kvadratických celých čísel byla poprvé uvedena Richardem Dedekindem v roce 1871.

Definice

Kvadratický celé číslo je algebraické číslo stupně dva. Přesněji se jedná o komplexní číslo , které řeší rovnice ve tvaru x ² + bx + c = 0 , s b a c celá čísla . Každé kvadratické celé číslo, které není celé číslo, není racionální - jmenovitě je to skutečné iracionální číslo, pokud b ² - 4 c > 0 a nereálné, pokud b ² - 4 c <0 - a leží v jednoznačně určeném kvadratickém poli , rozšíření generované druhou odmocninou jedinečného celého čísla D bez odmocniny, které splňuje b ² - 4 c = De ² pro nějaké celé číslo e . Pokud je D kladné, je kvadratické celé číslo skutečné. Pokud D <0, je imaginární (to je složité a nereálné). ${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4c}}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Kvadratická celá čísla (včetně běžných celých čísel), která patří do kvadratického pole , tvoří integrální doménu zvanou kruh celých čísel${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}).}$

Ačkoli kvadratická celá čísla patřící k danému kvadratickému poli tvoří kruh , množina všech kvadratických celých čísel není prsten, protože není uzavřen při sčítání nebo násobení . Například a jsou kvadratická celá čísla, ale a nejsou, protože jejich minimální polynomy mají stupeň čtyři. ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) \ cdot {\ sqrt {3}}}$

Výslovné vyjádření

Tady a v následujícím, kvadratická celá čísla, která jsou považována za, patří do kvadratického pole, kde D je celé číslo bez čtverců . To neomezuje obecnost, protože rovnost √ a ² D = a √ D (pro jakékoli kladné celé číslo a ) znamená${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}),}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a ^ {2} D}}).}$

Prvek x of je kvadratické celé číslo právě tehdy, když existují dvě celá čísla a a b taková, že buď ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

${\ displaystyle x = a + b {\ sqrt {D}},}$

nebo, pokud D - 1 je násobkem 4

${\ displaystyle x = {\ frac {a} {2}} + {\ frac {b} {2}} {\ sqrt {D}},}$s a a b oba liché

Jinými slovy, každé kvadratické celé číslo může být zapsáno a + ωb  , kde a a  b jsou celá čísla a kde ω je definováno:

${\ displaystyle \ omega = {\ begin {cases} {\ sqrt {D}} & {\ mbox {if}} D \ equiv 2,3 {\ pmod {4}} \\ {{1 + {\ sqrt { D}}} \ přes 2} & {\ mbox {if}} D \ equiv 1 {\ pmod {4}} \ end {cases}}}$

(jako D bylo předpokládané čtverečních uvolnit případ je nemožné, protože to by znamenalo, že D by být dělitelná na náměstí 4). ${\ displaystyle D \ equiv 0 {\ pmod {4}}}$

Norma a konjugace

Může být zapsáno celé kvadratické číslo${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

a + b √ D ,

kde a a  b jsou buď celá celá čísla, nebo, pouze pokud D ≡ 1 (mod 4) , obě poloviny lichých celých čísel . Normou takového kvadratické celé číslo je

N ( a + b √ D ) = a ² - Db ² .

Norma kvadratického celého čísla je vždy celé číslo. Pokud D <0 , normou kvadratického celého čísla je čtverec jeho absolutní hodnoty jako komplexní číslo (toto je nepravdivé, pokud D > 0 ). Norma je zcela multiplikativní funkce , což znamená, že norma produktu kvadratických celých čísel je vždy produktem jejich norem.

Každé kvadratické celé číslo a + b √ D má konjugát

${\ displaystyle {\ overline {a + b {\ sqrt {D}}}} = ab {\ sqrt {D}}.}$

Kvadratické celé číslo má stejnou normu jako jeho konjugát a tato norma je produktem kvadratického celého čísla a jeho konjugátu. Konjugát součtu nebo součin kvadratických celých čísel je součet nebo součin konjugátů. To znamená, že konjugace je automorfismem prstence celých čísel — viz § Kvadratické celočíselné kruhy níže. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Kvadratické celočíselné kroužky

Každé celé číslo bez čtverce (odlišné od 0 a 1) D definuje kvadratický celočíselný kruh , což je integrální doména skládající se z algebraických celých čísel obsažených v Je to množina Z [ ω ] = { a + ωb  : a , b ∈ Z }, kde když D = 4 k +1 , a ω = √ D jinak. To je často označován , protože se jedná o kruh celých čísel z Q ( √ D ), který je integrální uzávěr z Z v kruhu Z [ ω ] se skládá ze všech kořenů všech rovnic x ² + Bx + C = 0 , jejichž diskriminační B ² - 4 C je součinem D druhou mocninou celého čísla. Zejména √ D patří k Z [ ω ] , je kořenem rovnice x ² - D = 0 , která má jako diskriminační 4 D.${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}}).}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {D}}} {2}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}}).}$

Druhá odmocnina jakéhokoli celého čísla je kvadratické celé číslo, protože každé celé číslo lze zapsat n = m ² D , kde D je celé číslo bez odmocniny a jeho druhá odmocnina je odmocninou z x ² - m ² D = 0 .

Základní věta aritmetiky není pravda, v mnoha kroužků kvadratických čísel. Pro ideály však existuje jedinečná faktorizace , kterou vyjadřuje skutečnost, že každý kruh algebraických celých čísel je doménou Dedekinda . Kvadratická celá čísla jsou nejjednoduššími příklady algebraických celých čísel a jsou běžně výchozími příklady většiny studií teorie algebraických čísel .

Kvadratická celočíselné kruhy rozdělit do dvou tříd v závislosti na znaménku D . Pokud D > 0 , všechny prvky jsou skutečné a kruh je skutečný kvadratický celočíselný kruh . Pokud D <0 , jedinými skutečnými prvky jsou obyčejná celá čísla a kruh je komplexní kvadratický celočíselný kruh . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

Pro skutečné kvadratické celočíselné kroužky je číslo třídy , které měří selhání jedinečné faktorizace, uvedeno v OEIS A003649 ; pro imaginární případ jsou uvedeny v OEIS A000924 .

Jednotky

Kvadratické celé číslo je jednotka v kruhu celých čísel právě tehdy, je-li jeho norma 1 nebo –1 . V prvním případě je jeho multiplikativní inverzní konjugát. Jedná se o negaci jeho konjugátu ve druhém případě. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Pokud D <0 , kruh celých čísel má nejvýše šest jednotek. V případě Gaussových celých čísel ( D = –1 ) jsou čtyři jednotky 1, –1, √ –1 , - √ –1 . V případě Eisensteinových celých čísel ( D = –3 ) je šest jednotek ± 1,${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$± 1 ± √ –3/2. Pro všechny ostatní záporné D existují pouze dvě jednotky, které jsou 1 a –1 .

Pokud D > 0 , kruh celých čísel má nekonečně mnoho jednotek, které se rovnají ± u ⁱ , kde i je libovolné celé číslo a u je konkrétní jednotka, která se nazývá základní jednotka . Vzhledem k tomu, základní jednotkou u , jsou tři další základní jednotky, její konjugované a také i Obvykle jeden volá na základní jednotku, unikátní ten, který má absolutní hodnotu větší než 1 (jako reálné číslo). Jedná se o jedinečnou základní jednotku, kterou lze zapsat jako a + b √ D , s kladnými a a b (celá čísla nebo poloviny celých čísel). ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle {\ overline {u}},}$${\ displaystyle -u}$${\ displaystyle - {\ overline {u}}.}$

Základní jednotky pro 10 nejmenších kladných D bez čtverců jsou 1 + √ 2 , 2 + √ 3 ,1 + √ 5/2( zlatý řez ), 5 + 2 √ 6 , 8 + 3 √ 7 , 3 + √ 10 , 10 + 3 √ 11 ,3 + √ 13/2, 15 + 4 √ 14 , 4 + √ 15 . Pro větší D mohou být koeficienty základní jednotky velmi velké. Například pro D = 19, 31, 43 jsou základní jednotky 170 + 39 √ 19 , 1520 + 273 √ 31 a 3482 + 531 √ 43 .

Příklady komplexních kvadratických celočíselných kruhů

Pro D  <0 je ω komplexní ( imaginární nebo jinak nerealistické) číslo. Proto je přirozené zacházet s kvadratickým celým číslem jako s množinou algebraických komplexních čísel .

• Klasickým příkladem je , že Gaussian celá čísla , která byla zavedená Carl Gauss asi 1800 uvést své biquadratic reciprocity zákon.${\ displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-1}}]}$
• Prvky v se nazývají celá čísla Eisenstein .${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-3}})} = \ mathbf {Z} \ left [{{1 + {\ sqrt {-3}}} \ nad 2} \ vpravo]}$

Oba výše uvedené kruhy jsou kruhy celých čísel cyklotomických polí Q (Q ₄ ) a Q (ζ ₃ ) odpovídajícím způsobem. Naproti tomu Z [ √ −3 ] není ani doména Dedekind .

Oba výše uvedené příklady jsou hlavními ideálními kruhy a také euklidovskými doménami pro normu. To není případ

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})} = \ mathbf {Z} \ doleva [{\ sqrt {-5}} \ doprava],}$

což není ani jedinečná faktorizační doména . To lze ukázat následovně.

V máme ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {-5}})}}}$

${\ displaystyle 9 = 3 \ cdot 3 = (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}).}$

Faktory 3 a jsou neredukovatelné , protože všechny mají normu 9, a pokud by nebyly neredukovatelné, měly by faktor 3, což je nemožné, přičemž norma prvku odlišného od ± 1 je nejméně 4 Faktorizace 9 na neredukovatelné faktory tedy není jedinečná. ${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {-5}}}$${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {-5}}}$

Tyto ideály a nejsou hlavní , jako jednoduchý výpočtů vyplývá, že jejich produkt je ideální generované 3, a, v případě, že jsou hlavní, znamenalo by to, že 3 nebude nesnížitelné. ${\ displaystyle \ langle 3,1 + {\ sqrt {-5}} \ rangle}$${\ displaystyle \ langle 3,1 - {\ sqrt {-5}} \ rangle}$

Příklady skutečných kvadratických celočíselných kruhů

Pro D > 0 je ω kladné iracionální reálné číslo a odpovídající kvadratický celočíselný kruh je množina algebraických reálných čísel . Řešení Pellovy rovnice X ² - D  Y ² = 1 , diofantická rovnice , která byla široce studována, jsou jednotkami těchto kruhů pro D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• Pro D = 5 , ω =1+ √ 5/2je zlatý řez . Tento prsten studoval Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Jeho jednotky mají tvar ± ω ⁿ , kde n je libovolné celé číslo. Tento prsten také vychází ze studia pětinásobné rotační symetrie na euklidovské rovině, například Penrosových tilings .
• Indický matematik Brahmagupta zpracoval Pellovu rovnici X ² - 61  Y ² = 1 , což odpovídá prstenci Z [ √ 61 ] . Některé výsledky představil evropskému společenství Pierre Fermat v roce 1657.

Hlavní kroužky kvadratických celých čísel

U prstenů kvadratických celých čísel není vždy ověřena jedinečná faktorizační vlastnost, jak je vidět výše pro případ Z [ √ −5 ] . Stejně jako v každé doméně Dedekind je však kruh kvadratických celých čísel jedinečnou faktorizační doménou právě tehdy, je-li hlavní ideální doménou . K tomu dochází tehdy a jen tehdy, pokud je číslo třídy odpovídajícího kvadratického pole jedna.

Imaginární kruhy kvadratických celých čísel, které jsou hlavními ideálními kruhy, byly zcela určeny. Ty jsou pro ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

Tento výsledek nejprve předpokládal Gauss a dokázal jej Kurt Heegner , ačkoli Heegnerově důkazu se nevěřilo , dokud Harold Stark neposkytl pozdější důkaz v roce 1967. (Viz teorém Stark – Heegner .) Toto je speciální případ slavného problému s číslem třídy .

Existuje mnoho známých kladných celých čísel D > 0 , pro které je kruh kvadratických celých čísel hlavním ideálním kruhem. Úplný seznam však není znám; není ani známo, zda je počet těchto hlavních ideálních prstenů konečný nebo ne.

Euklidovské kruhy kvadratických celých čísel

Když je kruh kvadratických celých čísel hlavní ideální doménou , je zajímavé vědět, zda se jedná o euklidovskou doménu . Tento problém byl zcela vyřešen následovně.

Je vybavena normou jako euklidovská funkce a je euklidovskou doménou pro zápor D, když ${\ displaystyle N (a + b {\ sqrt {D}}) = a ^ {2} -Db ^ {2}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {Q} ({\ sqrt {D}})}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11 ,

a pro pozitivní D , když

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (sekvence A048981 v OEIS ).

Neexistuje žádný další kruh kvadratických celých čísel, který by byl euklidovský s normou jako euklidovská funkce.

Pro záporné D je kruh kvadratických celých čísel euklidovský, právě když je normou pro něj euklidovská funkce . Z toho vyplývá, že pro

D = −19, −43, −67, −163 ,

čtyři odpovídající kruhy kvadratických celých čísel patří mezi vzácné známé příklady hlavních ideálních domén, které nejsou euklidovskými doménami.

Na druhé straně zobecněná Riemannova hypotéza naznačuje, že prsten skutečných kvadratických celých čísel, který je hlavní ideální doménou, je také euklidovskou doménou pro nějakou euklidovskou funkci, která se může skutečně lišit od obvyklé normy. Hodnoty D = 14, 69 byly první, u nichž se ukázalo, že kruh kvadratických celých čísel je euklidovský, ale nikoli normálně-euklidovský.

Poznámky

Reference

• Bourbaki, Nicolas (1994). Základy dějin matematiky . Přeložil Meldrum, John. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. MR  1290116 .
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2. vyd.), Vieweg. Citováno 5. srpna 2009
• Dummit, DS a Foote, RM, 2004. Abstract Algebra , 3. vyd.
• Artin, M, Algebra , 2. vydání, Ch 13.

Další čtení

• JS Milne. Algebraická teorie čísel , verze 3.01, 28. září 2008. online přednášky