Avkodingsmetoder - Decoding methods

I kodingsteorien er dekoding prosessen med å oversette mottatte meldinger til kodeord av en gitt kode . Det har vært mange vanlige metoder for å kartlegge meldinger til kodeord. Disse brukes ofte til å gjenopprette meldinger sendt over en støyende kanal , for eksempel en binær symmetrisk kanal .

Notasjon

${\ displaystyle C \ subset \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ regnes som en binær kode med lengden ; skal være elementer av ; og er avstanden mellom disse elementene. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle d (x, y)}$

Ideell observatør avkoding

Man kan få beskjeden , så genererer ideell observatørkoding av kodeordet . Prosessen resulterer i denne løsningen: ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle y \ i C}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (y {\ mbox {sent}} \ mid x {\ mbox {mottatt}})}$

For eksempel kan en person velge kodeordet som mest sannsynlig vil bli mottatt som melding etter overføring. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Dekoding av konvensjoner

Hvert kodeord har ikke en forventet mulighet: det kan være mer enn ett kodeord med like stor sannsynlighet for å mutere inn i den mottatte meldingen. I et slikt tilfelle må avsender og mottaker (e) på forhånd avtale en dekodingskonvensjon. Populære stevner inkluderer:

1. Be om at kodeordet sendes på nytt - automatisk gjenta-forespørsel .
2. Velg et vilkårlig kodeord fra settet med mest sannsynlige kodeord som er nærmere det.
3. Hvis en annen kode følger , merker du de tvetydige bitene i kodeordet som slettinger og håper at den ytre koden tvetydiggjør dem

Maksimal sannsynlighet for dekoding

Gitt en mottatt vektor, velger maksimal sannsynlighet for dekoding et kodeord som maksimerer seg${\ displaystyle x \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y \ i C}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (x {\ mbox {mottatt}} \ mid y {\ mbox {sent}})}$ ,

det vil si kodeordet som maksimerer sannsynligheten som ble mottatt, gitt det som ble sendt. Hvis det er sannsynlig at alle kodeord blir sendt, tilsvarer denne ordningen ideell dekoder for observatører. Faktisk av Bayes Theorem , ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} (x {\ mbox {mottatt}} \ mid y {\ mbox {sent}}) & {} = {\ frac {\ mathbb {P} (x { \ mbox {mottatt}}, y {\ mbox {sendt}})} {\ mathbb {P} (y {\ mbox {sent}})}} \\ & {} = \ mathbb {P} (y {\ mbox {sent}} \ mid x {\ mbox {mottatt}}) \ cdot {\ frac {\ mathbb {P} (x {\ mbox {mottatt}})} {\ mathbb {P} (y {\ mbox { sendt}})}}. \ end {justert}}}$

Etter fiksering , er det omstrukturert og er konstant ettersom alle kodeord er sannsynlig å bli sendt. Derfor maksimeres som en funksjon av variabelen nøyaktig når den er maksimert, og kravet følger. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (x {\ mbox {mottatt}})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (y {\ mbox {sent}})}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (x {\ mbox {mottatt}} \ mid y {\ mbox {sent}})}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (y {\ mbox {sent}} \ mid x {\ mbox {mottatt}})}$

Som med ideell avkoding av observatører, må det avtales en konvensjon for ikke-unik dekoding.

Det maksimale sannsynligheten for dekoding av problemer kan også modelleres som et heltallsprogrammeringsproblem .

Den maksimale sannsynligheten for avkodingsalgoritme er en forekomst av "marginaliser en produktfunksjon" -problemet som løses ved å anvende den generelle distribusjonsloven .

Minimum avkoding av avstand

Gitt et mottatt kodeord , velger minimum avstandsavkoding et kodeord for å minimere Hamming-avstanden : ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle y \ i C}$

${\ displaystyle d (x, y) = \ # \ {i: x_ {i} \ not = y_ {i} \}}$

dvs. velg kodeordet som er så nær som mulig . ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Vær oppmerksom på at hvis sannsynligheten for feil på en diskret minneløs kanal er strengt mindre enn halvparten, så er minste avstandsavkoding ekvivalent med maksimal sannsynlighetsavkoding , siden hvis ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle d (x, y) = d, \,}$

deretter:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} (y {\ mbox {mottatt}} \ mid x {\ mbox {sent}}) & {} = (1-p) ^ {nd} \ cdot p ^ {d} \\ & {} = (1-p) ^ {n} \ cdot \ left ({\ frac {p} {1-p}} \ right) ^ {d} \\\ end {aligned} }}$

som (siden p er mindre enn halvparten) maksimeres ved å minimere d .

Minste avstandsavkoding er også kjent som nærmeste naboavkoding . Det kan assisteres eller automatiseres ved å bruke en standard matrise . Minimum avkoding av avstand er en rimelig dekodingsmetode når følgende betingelser er oppfylt:

1. Sannsynligheten for at det oppstår en feil er uavhengig av symbolets posisjon. ${\ displaystyle p}$
2. Feil er uavhengige hendelser - en feil i en posisjon i meldingen påvirker ikke andre posisjoner.

Disse antagelsene kan være rimelige for overføringer over en binær symmetrisk kanal . De kan være urimelige for andre medier, for eksempel en DVD, der en enkelt ripe på disken kan forårsake feil i mange nærliggende symboler eller kodeord.

Som med andre dekodingsmetoder, må det avtales en konvensjon for ikke-unik dekoding.

Syndrome dekoding

Syndrome-dekoding er en svært effektiv metode for å dekode en lineær kode over en støyende kanal , dvs. en som det gjøres feil på. I hovedsak er syndromavkoding minimum avstandsdekoding ved hjelp av en redusert oppslagstabell. Dette er tillatt av kodens linearitet.

Anta at det er en lineær kode for lengde og minimumsavstand med paritetskontrollmatrise . Da er det klart å korrigere opp til ${\ displaystyle C \ subset \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle t = \ left \ lfloor {\ frac {d-1} {2}} \ right \ rfloor}$

feil gjort av kanalen (siden hvis det ikke gjøres mer enn feil, vil dekoding av minimum avstand fremdeles korrekt dekode det feiloverførte kodeordet). ${\ displaystyle t}$

Anta nå at et kodeord sendes over kanalen og feilmønsteret oppstår. Da blir mottatt. Vanlig minimumsavstandsavkoding vil slå opp vektoren i en tabell med størrelse for nærmeste kamp - dvs. et element (ikke nødvendigvis unikt) med ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle e \ in \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle z = x + e}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle | C |}$${\ displaystyle c \ in C}$

${\ displaystyle d (c, z) \ leq d (y, z)}$

for alle . Syndrome-dekoding utnytter egenskapen til paritetsmatrisen som: ${\ displaystyle y \ i C}$

${\ displaystyle Hx = 0}$

for alle . Den syndrom av de mottatte er definert til å være: ${\ displaystyle x \ i C}$${\ displaystyle z = x + e}$

${\ displaystyle Hz = H (x + e) ​​= Hx + He = 0 + He = He}$

For å utføre ML-dekoding i en binær symmetrisk kanal , må man slå opp en forhåndsberegnet tabell med størrelse , kartlegge til . ${\ displaystyle 2 ^ {nk}}$${\ displaystyle He}$${\ displaystyle e}$

Merk at dette allerede har betydelig mindre kompleksitet enn for en standard array-dekoding .

Under forutsetningen om at det ikke ble gjort mer enn feil under overføring, kan mottakeren slå opp verdien i en ytterligere redusert størrelsestabell. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle He}$

${\ displaystyle {\ begin {matrise} \ sum _ {i = 0} ^ {t} {\ binom {n} {i}} \\\ slutt {matrise}}}$

Listekoding

Dekoding av informasjonssett

Dette er en familie av Las Vegas -probabilistiske metoder alt basert på observasjonen at det er lettere å gjette nok feilfrie posisjoner, enn det er å gjette alle feilposisjonene.

Den enkleste formen skyldes Prange: La være generatormatrisen som brukes til koding. Velg kolonner av tilfeldig, og betegnet med tilsvarende undermatrise av . Med rimelig sannsynlighet vil ha full rang, noe som betyr at hvis vi lar være under vektor for tilsvarende stillinger i alle kodeord av etter en melding , kan vi gjenopprette som . Derfor, hvis vi var heldige at disse posisjonene i det mottatte ordet ikke inneholdt feil, og dermed tilsvarte posisjonene til det sendte kodeordet, kan vi dekode. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k \ times n}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle c '}$${\ displaystyle c = mG}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m = c'G '^ {- 1}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle y}$

Hvis det oppstod feil, er sannsynligheten for et slikt heldig utvalg av kolonner gitt av . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {nt} {k}} / {\ binom {n} {k}}}$

Denne metoden er forbedret på forskjellige måter, for eksempel av Stern og Canteaut og Sendrier.

Delvis respons maksimal sannsynlighet

Partiell respons maksimal sannsynlighet ( PRML ) er en metode for å konvertere det svake analoge signalet fra hodet til en magnetisk disk eller båndstasjon til et digitalt signal.

Viterbi-dekoder

En Viterbi-dekoder bruker Viterbi-algoritmen til å dekode en bitstrøm som er kodet ved hjelp av fremoverfeilkorreksjon basert på en konvolusjonskode. Den hammingavstand brukes som en metrisk for harde beslutnings Viterbi-dekodere. Den kvadratiske euklidiske avstanden brukes som en beregning for myke avkodere.

Se også

• Ikke bry deg alarm
• Feilsøking og korrigering
• Forbudt innspill

Referanser

Videre lesning

• Hill, Raymond (1986). Et første kurs i kodingsteori . Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press . ISBN   978-0-19-853803-5 .
• Pless, Vera (1982). Innføring i teorien om feilrettingskoder . Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics. John Wiley & Sons . ISBN   978-0-471-08684-0 .
• van Lint, Jacobus H. (1992). Introduksjon til kodingsteori . Graduate Texts in Mathematics (GTM). 86 (2 utg.). Springer-Verlag . ISBN   978-3-540-54894-2 .