Digamma-funksjon - Digamma function

I matematikk er digammafunksjonen definert som det logaritmiske derivatet av gammafunksjonen :

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {d} {dx}} \ ln {\ big (} \ Gamma (x) {\ big)} = {\ frac {\ Gamma '(x)} {\ Gamma (x)}} \ sim \ ln {x} - {\ frac {1} {2x}}.}$

Det er den første av polygamma-funksjonene .

Digamma-funksjonen blir ofte betegnet som eller Ϝ (den store bokstaven til den arkaiske greske konsonanten digamma som betyr dobbelt-gamma ). ${\ displaystyle \ psi _ {0} (x), \ psi ^ {(0)} (x)}$

Forhold til harmoniske tall

Gamma-funksjonen overholder ligningen

${\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z). \,}$

Å ta derivatet med hensyn til z gir:

${\ displaystyle \ Gamma '(z + 1) = z \ Gamma' (z) + \ Gamma (z) \,}$

Deling av Γ ( z + 1) eller tilsvarende z Γ ( z ) gir:

${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma '(z + 1)} {\ Gamma (z + 1)}} = {\ frac {\ Gamma' (z)} {\ Gamma (z)}} + {\ frac {1} {z}}}$

eller:

${\ displaystyle \ psi (z + 1) = \ psi (z) + {\ frac {1} {z}}}$

Siden harmoniske tall er definert for positive heltall n som

${\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}},}$

digamma-funksjonen er relatert til dem av

${\ displaystyle \ psi (n) = H_ {n-1} - \ gamma,}$

hvor H ₀ = 0, og γ er Euler – Mascheroni-konstanten . For argumenter med halvtall tar digamma-funksjonen verdiene

${\ displaystyle \ psi \ left (n + {\ tfrac {1} {2}} \ right) = - \ gamma -2 \ ln 2+ \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2} {2k-1}}.}$

Integrerte representasjoner

Hvis den virkelige delen av z er positiv, har digamma-funksjonen følgende integrerte representasjon på grunn av Gauss:

${\ displaystyle \ psi (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {e ^ {- t}} {t}} - {\ frac {e ^ {- zt}} {1-e ^ {- t}}} \ høyre) \, dt.}$

Å kombinere dette uttrykket med en integrert identitet for Euler – Mascheroni-konstanten gir: ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ psi (z + 1) = - \ gamma + \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1-t ^ {z}} {1-t}} \ right) \ , dt.}$

Integralet er Eulers harmoniske nummer , så den forrige formelen kan også skrives ${\ displaystyle H_ {z}}$

${\ displaystyle \ psi (z + 1) = \ psi (1) + H_ {z}.}$

En konsekvens er følgende generalisering av gjentakelsesforholdet:

${\ displaystyle \ psi (w + 1) - \ psi (z + 1) = H_ {w} -H_ {z}.}$

En integrert representasjon på grunn av Dirichlet er:

${\ displaystyle \ psi (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- t} - {\ frac {1} {(1 + t) ^ {z}}} \ right ) \, {\ frac {dt} {t}}.}$

Gauss integrerte representasjon kan manipuleres for å gi starten på den asymptotiske utvidelsen av . ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (z) = \ log z - {\ frac {1} {2z}} - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {2}} - { \ frac {1} {t}} + {\ frac {1} {e ^ {t} -1}} \ høyre) e ^ {- tz} \, dt.}$

Denne formelen er også en konsekvens av Binets første integral for gammafunksjonen. Integralet kan gjenkjennes som en Laplace-transformasjon .

Binets andre integral for gammafunksjonen gir en annen formel som også gir de første få vilkårene for den asymptotiske utvidelsen: ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (z) = \ log z - {\ frac {1} {2z}} - 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t \, dt} {(t ^ { 2} + z ^ {2}) (e ^ {2 \ pi t} -1)}}.}$

Fra definisjonen av og den integrerte representasjonen av Gamma-funksjonen, oppnår man ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} \ ln (t) e ^ {- t} \, dt,}$

med . ${\ displaystyle \ Re z> 0}$

Uendelig produktrepresentasjon

Funksjonen er en hel funksjon, og den kan representeres av det uendelige produktet ${\ displaystyle \ psi (z) / \ Gamma (z)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ psi (z)} {\ Gamma (z)}} = - e ^ {2 \ gamma z} \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (1- { \ frac {z} {x_ {k}}} \ høyre) e ^ {\ frac {z} {x_ {k}}}.}$

Her er k null av (se nedenfor), og er Euler – Mascheroni-konstanten . ${\ displaystyle x_ {k}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ gamma}$

Merk: Dette er også lik På grunn av definisjonen av digamma funksjon: . ${\ displaystyle - {\ frac {d} {dz}} {\ frac {1} {\ Gamma (z)}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} = \ psi (z)}$

Serieformel

Eulers produktformel for gamma-funksjonen, kombinert med den funksjonelle ligningen og en identitet for Euler-Mascheroni-konstanten, gir følgende uttrykk for digamma-funksjonen, gyldig i det komplekse planet utenfor de negative heltallene (Abramowitz og Stegun 6.3.16):

${\ displaystyle {\ begin {align} \ psi (z + 1) & = - \ gamma + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - { \ frac {1} {n + z}} \ høyre), \ qquad z \ neq -1, -2, -3, \ ldots, \\ & = - \ gamma + \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} \ left ({\ frac {z} {n (n + z)}} \ right), \ qquad z \ neq -1, -2, -3, \ ldots. \ end {aligned}}}$

Tilsvarende

${\ displaystyle {\ begin {align} \ psi (z) & = - \ gamma + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n + 1}} - { \ frac {1} {n + z}} \ høyre), \ qquad z \ neq 0, -1, -2, \ ldots, \\ & = - \ gamma + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z-1} {(n + 1) (n + z)}}, \ qquad z \ neq 0, -1, -2, \ ldots, \\\ end {align}}}$

Evaluering av summer av rasjonelle funksjoner

Ovennevnte identitet kan brukes til å evaluere summene av skjemaet

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {p (n)} {q (n)}} ,}$

hvor p ( n ) og q ( n ) er polynomer av n .

Utfører delvis brøkdel på u _n i det komplekse feltet, i tilfelle når alle røttene til q ( n ) er enkle røtter,

${\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {p (n)} {q (n)}} = \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {a_ {k}} {n + b_ {k}}}.}$

For at serien skal konvergere,

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} nu_ {n} = 0,}$

ellers vil serien være større enn den harmoniske serien og dermed avvike. Derfor

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} = 0,}$

og

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {a_ {k}} {n + b_ {k}}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} \ left ({\ frac {1} {n + b_ {k}}} - {\ frac {1} {n + 1}} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ left (a_ {k} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n + b_ {k}}} - {\ frac {1} { n + 1}} \ høyre) \ høyre) \\ & = - \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} {\ big (} \ psi (b_ {k}) + \ gamma {\ stor)} \\ & = - \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} \ psi (b_ {k}). \ end {aligned}}}$

Med serieutvidelsen av høyere rang polygamma-funksjon kan en generell formel gis som

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac { a_ {k}} {(n + b_ {k}) ^ {r_ {k}}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {r_ {k} }} {(r_ {k} -1)!}} a_ {k} \ psi ^ {(r_ {k} -1)} (b_ {k}),}$

forutsatt at serien til venstre konvergerer.

Taylor-serien

Digamma har en rasjonell zeta-serie , gitt av Taylor-serien ved z = 1 . Dette er

${\ displaystyle \ psi (z + 1) = - \ gamma - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ zeta (k + 1) (- z) ^ {k},}$

som konvergerer for | z | <1 . Her, ζ ( n ) er den Riemann zeta-funksjonen . Denne serien er lett hentet fra den tilsvarende Taylor-serien for Hurwitz zeta-funksjonen .

Newton-serien

The Newton-serien for digamma, noen ganger referert til som Stern-serien , leser

${\ displaystyle \ psi (s + 1) = - \ gamma - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} {\ binom {s } {k}}}$

hvor (^s
_k) er denbinomiale koeffisienten. Det kan også generaliseres til

${\ displaystyle \ psi (s + 1) = - \ gamma - {\ frac {1} {m}} \ sum _ {k = 1} ^ {m-1} {\ frac {mk} {s + k} } - {\ frac {1} {m}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \ left \ {{\ binom { s + m} {k + 1}} - {\ binom {s} {k + 1}} \ høyre \}, \ qquad \ Re (s)> - 1,}$

hvor m = 2,3,4, ...

Serier med Gregorys koeffisienter, Cauchy-tall og Bernoulli-polynomer av andre slag

Det finnes forskjellige serier for digamma som inneholder rasjonelle koeffisienter bare for de rasjonelle argumentene. Spesielt serien med Gregorys koeffisienter G _n er

${\ displaystyle \ psi (v) = \ ln v- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ big |} G_ {n} {\ big |} (n-1)! } {(v) _ {n}}}, \ qquad \ Re (v)> 0,}$

${\ displaystyle \ psi (v) = 2 \ ln \ Gamma (v) -2v \ ln v + 2v + 2 \ ln v- \ ln 2 \ pi -2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ big |} G_ {n} (2) {\ big |}} {(v) _ {n}}} \, (n-1)!, \ qquad \ Re (v)> 0 ,}$

${\ displaystyle \ psi (v) = 3 \ ln \ Gamma (v) -6 \ zeta '(-1, v) + 3v ^ {2} \ ln {v} - {\ frac {3} {2}} v ^ {2} -6v \ ln (v) + 3v + 3 \ ln {v} - {\ frac {3} {2}} \ ln 2 \ pi + {\ frac {1} {2}} - 3 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ big |} G_ {n} (3) {\ big |}} {(v) _ {n}}} \, (n- 1)!, \ Qquad \ Re (v)> 0,}$

hvor ( v ) _n er den stigende faktoren ( v ) _n = v ( v +1) ( v +2) ... ( v + n -1) , G _n ( k ) er Gregory-koeffisientene av høyere orden med G _n (1) = G _n , Γ er gammafunksjonen og ζ er Hurwitz zeta-funksjonen . Lignende serier med Cauchy-nummer av den andre typen C _n leser

${\ displaystyle \ psi (v) = \ ln (v-1) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {n} (n-1)!} {(v) _ {n}}}, \ qquad \ Re (v)> 1,}$

En serie med Bernoulli-polynomene av den andre typen har følgende form

${\ displaystyle \ psi (v) = \ ln (v + a) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n} (a ) \, (n-1)!} {(v) _ {n}}}, \ qquad \ Re (v)> - a,}$

hvor ψ _n ( a ) er Bernoulli-polynomene av den andre typen definert av den genererende ligningen

${\ displaystyle {\ frac {z (1 + z) ^ {a}} {\ ln (1 + z)}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n} \ psi _ {n} (a) \ ,, \ qquad | z | <1 \ ,,}$

Det kan generaliseres til

${\ displaystyle \ psi (v) = {\ frac {1} {r}} \ sum _ {l = 0} ^ {r-1} \ ln (v + a + l) + {\ frac {1} { r}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} N_ {n, r} (a) (n-1)!} {(v) _ { n}}}, \ qquad \ Re (v)> - a, \ quad r = 1,2,3, \ ldots}$

der polynomene N _{n, r} ( a ) er gitt av følgende generasjonsligning

${\ displaystyle {\ frac {(1 + z) ^ {a + m} - (1 + z) ^ {a}} {\ ln (1 + z)}} = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} N_ {n, m} (a) z ^ {n}, \ qquad | z | <1,}$

slik at N _{n, 1} ( a ) = ψ _n ( a ) . Lignende uttrykk med logaritmen til gammafunksjonen involverer disse formlene

${\ displaystyle \ psi (v) = {\ frac {1} {v + a - {\ tfrac {1} {2}}}} \ left \ {\ ln \ Gamma (v + a) + v - {\ frac {1} {2}} \ ln 2 \ pi - {\ frac {1} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n + 1} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! \ right \}, \ qquad \ Re (v)> - a,}$

og

${\ displaystyle \ psi (v) = {\ frac {1} {{\ tfrac {1} {2}} r + v + a-1}} \ left \ {\ ln \ Gamma (v + a) + v - {\ frac {1} {2}} \ ln 2 \ pi - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {r}} \ sum _ {n = 0} ^ {r- 2} (rn-1) \ ln (v + a + n) + {\ frac {1} {r}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { n} N_ {n + 1, r} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! \ right \},}$

hvor og . ${\ displaystyle \ Re (v)> - a}$${\ displaystyle r = 2,3,4, \ ldots}$

Refleksjonsformel

Digammafunksjonen tilfredsstiller en refleksjonsformel som ligner på gammafunksjonen :

${\ displaystyle \ psi (1-x) - \ psi (x) = \ pi \ cot \ pi x}$

Gjentakelsesformel og karakterisering

Digamma-funksjonen tilfredsstiller gjentakelsesforholdet

${\ displaystyle \ psi (x + 1) = \ psi (x) + {\ frac {1} {x}}.}$

Dermed kan det sies å "teleskop" 1 / x , for man har

${\ displaystyle \ Delta [\ psi] (x) = {\ frac {1} {x}}}$

hvor Δ er den fremre differensoperatøren . Dette tilfredsstiller gjentakelsesforholdet til en delvis sum av den harmoniske serien , og antyder dermed formelen

${\ displaystyle \ psi (n) = H_ {n-1} - \ gamma}$

der γ er Euler – Mascheroni-konstanten .

Mer generelt har man

${\ displaystyle \ psi (1 + z) = - \ gamma + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} - {\ frac {1} {z + k}} \ høyre).}$

for . En annen serieutvidelse er: ${\ displaystyle Re (z)> 0}$

${\ displaystyle \ psi (1 + z) = \ ln (z) + {\ frac {1} {2z}} - \ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2j }} {2jz ^ {2j}}}}$,

hvor er Bernoulli-tallene. Denne serien divergerer for alle z og er kjent som Stirling-serien . ${\ displaystyle B_ {2j}}$

Egentlig er ψ den eneste løsningen på den funksjonelle ligningen

${\ displaystyle F (x + 1) = F (x) + {\ frac {1} {x}}}$

som er monoton på R ⁺ og tilfredsstiller F (1) = - γ . Dette faktum følger umiddelbart fra det unike ved Γ funksjon gitt gjentagelse ligning og konveksitet begrensning. Dette innebærer den nyttige forskjellsligningen:

${\ displaystyle \ psi (x + N) - \ psi (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} {\ frac {1} {x + k}}}$

Noen begrensede summer som involverer digamma-funksjonen

Det er mange endelige summeringsformler for digamma-funksjonen. Grunnleggende summeringsformler, for eksempel

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m} \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) = - m (\ gamma + \ ln m),}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m} \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \ cdot \ exp {\ dfrac {2 \ pi rki} {m}} = m \ ln \ left (1- \ exp {\ frac {2 \ pi ki} {m}} \ right), \ qquad k \ in \ mathbb {Z}, \ quad m \ in \ mathbb {N}, \ k \ neq m.}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \ cdot \ cos {\ dfrac {2 \ pi rk} {m }} = m \ ln \ left (2 \ sin {\ frac {k \ pi} {m}} \ right) + \ gamma, \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \ cdot \ sin {\ frac {2 \ pi rk} {m }} = {\ frac {\ pi} {2}} (2k-m), \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1}$

skyldes Gauss. Mer kompliserte formler, som f.eks

${\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {m-1} \ psi \ left ({\ frac {2r + 1} {2m}} \ right) \ cdot \ cos {\ frac {(2r + 1) k \ pi} {m}} = m \ ln \ left (\ tan {\ frac {\ pi k} {2m}} \ right), \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {m-1} \ psi \ left ({\ frac {2r + 1} {2m}} \ right) \ cdot \ sin {\ dfrac {(2r + 1) k \ pi} {m}} = - {\ frac {\ pi m} {2}}, \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \ cdot \ cot {\ frac {\ pi r} {m} } = - {\ frac {\ pi (m-1) (m-2)} {6}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \ cdot {\ frac {r} {m}} = - { \ frac {\ gamma} {2}} (m-1) - {\ frac {m} {2}} \ ln m - {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} {\ frac {r} {m}} \ cdot \ cot {\ frac {\ pi r} {m}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \ cdot \ cos {\ dfrac {(2 \ ell +1) \ pi r} {m}} = - {\ frac {\ pi} {m}} \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} {\ frac {r \ cdot \ sin {\ dfrac {2 \ pi r} {m}}} {\ cos {\ dfrac {2 \ pi r} {m}} - \ cos {\ dfrac {(2 \ ell +1) \ pi} {m}}}}, \ qquad \ ell \ in \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \ cdot \ sin {\ dfrac {(2 \ ell +1) \ pi r} {m}} = - (\ gamma + \ ln 2m) \ barneseng {\ frac {(2 \ ell +1) \ pi} {2m}} + \ sin {\ dfrac {(2 \ ell + 1) \ pi} {m}} \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} {\ frac {\ ln \ sin {\ dfrac {\ pi r} {m}}} {\ cos {\ dfrac {2 \ pi r} {m}} - \ cos {\ dfrac {(2 \ ell +1) \ pi} {m}}}}, \ qquad \ ell \ in \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi ^ {2} \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) = (m-1) \ gamma ^ {2 } + m (2 \ gamma + \ ln 4m) \ ln {m} -m (m-1) \ ln ^ {2} 2 + {\ frac {\ pi ^ {2} (m ^ {2} -3m +2)} {12}} + m \ sum _ {\ ell = 1} ^ {m-1} \ ln ^ {2} \ sin {\ frac {\ pi \ ell} {m}}}$

skyldes verk fra visse moderne forfattere (se f.eks. vedlegg B i Blagouchine (2014)).

Gauss digamma-setning

For positive heltall r og m ( r < m ) kan digamma-funksjonen uttrykkes i form av Eulers konstant og et endelig antall elementære funksjoner

${\ displaystyle \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) = - \ gamma - \ ln (2m) - {\ frac {\ pi} {2}} \ cot \ left ({\ frac {r \ pi} {m}} \ høyre) +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ venstre \ lfloor {\ frac {m-1} {2}} \ høyre \ rfloor} \ cos \ venstre ({\ frac {2 \ pi nr} {m}} \ høyre) \ ln \ sin \ left ({\ frac {\ pi n} {m}} \ høyre)}$

som holder, på grunn av gjentakelsesligningen, for alle rasjonelle argumenter.

Asymptotisk utvidelse

Digamma-funksjonen har den asymptotiske utvidelsen

${\ displaystyle \ psi (z) \ sim \ ln z - {\ frac {1} {2z}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (1-2n)} {z ^ {2n}}} = \ ln z - {\ frac {1} {2z}} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2n}} {2nz ^ { 2n}}},}$

hvor B _k er den k- te Bernoulli nummer og ζ er det Riemann zeta-funksjonen . De første vilkårene for denne utvidelsen er:

${\ displaystyle \ psi (z) \ approx \ ln z - {\ frac {1} {2z}} - {\ frac {1} {12z ^ {2}}} + {\ frac {1} {120z ^ { 4}}} - {\ frac {1} {252z ^ {6}}} + {\ frac {1} {240z ^ {8}}} - {\ frac {1} {132z ^ {10}}} + {\ frac {691} {32760z ^ {12}}} - {\ frac {1} {12z ^ {14}}} + \ cdots.}$

Selv om den uendelige summen ikke konvergerer for noen z , blir en endelig delsum stadig mer nøyaktig når z øker.

Utvidelsen finner du ved å bruke Euler – Maclaurin-formelen på summen

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {z + n}} \ right)}$

Ekspansjonen kan også stamme fra den integrerte representasjonen som kommer fra Binets andre integralformel for gammafunksjonen. Å utvide seg som en geometrisk serie og erstatte en integrert representasjon av Bernoulli-tallene fører til den samme asymptotiske serien som ovenfor. Videre utvider bare endelig mange vilkår i serien en formel med et eksplisitt feiluttrykk: ${\ displaystyle t / (t ^ {2} + z ^ {2})}$

${\ displaystyle \ psi (z) = \ ln z - {\ frac {1} {2z}} - \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {B_ {2n}} {2nz ^ {2n }}} + (- 1) ^ {N + 1} {\ frac {2} {z ^ {2N}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {2N + 1} \, dt} {(t ^ {2} + z ^ {2}) (e ^ {2 \ pi t} -1)}}.}$

Ulikheter

Når x > 0 , funksjonen

${\ displaystyle \ log x - {\ frac {1} {2x}} - \ psi (x)}$

er helt ensformig og spesielt positiv. Dette er en konsekvens av Bernsteins teorem om monotone funksjoner som brukes på den integrerte representasjonen som kommer fra Binets første integral for gammafunksjonen. I tillegg, av konveksitetsulikheten , er integranden i denne representasjonen begrenset ovenfor av . Følgelig ${\ displaystyle 1 + t \ leq e ^ {t}}$${\ displaystyle e ^ {- tz} / 2}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} - \ log x + \ psi (x)}$

er også helt monotont. Det følger at for alle x > 0 ,

${\ displaystyle \ log x - {\ frac {1} {x}} \ leq \ psi (x) \ leq \ log x - {\ frac {1} {2x}}.}$

Dette gjenoppretter en teorem om Horst Alzer. Alzer beviste også at for s ∈ (0, 1) ,

${\ displaystyle {\ frac {1-s} {x + s}} <\ psi (x + 1) - \ psi (x + s),}$

Beslektede grenser ble oppnådd av Elezovic, Giordano og Pecaric, som beviste at for x > 0 ,

${\ displaystyle \ log (x + {\ tfrac {1} {2}}) - {\ frac {1} {x}} <\ psi (x) <\ log (x + e ^ {- \ gamma}) - {\ frac {1} {x}},}$

hvor er Euler – Mascheroni konstant . Konstantene som vises i disse grensene er best mulig. ${\ displaystyle \ gamma}$

Den midlere verdi teoremet innebærer blant annet følgende analog av Gautschi ulikhet : Dersom x > c , hvor c ≈ 1.461 er det unike positivt reelt roten av digamma funksjon, og hvis s > 0 , deretter

${\ displaystyle \ exp \ left ((1-s) {\ frac {\ psi '(x + 1)} {\ psi (x + 1)}} \ right) \ leq {\ frac {\ psi (x + 1)} {\ psi (x + s)}} \ leq \ exp \ left ((1-s) {\ frac {\ psi '(x + s)} {\ psi (x + s)}} \ høyre ).}$

Videre gjelder likeverd hvis og bare hvis s = 1 .

Inspirert av den harmoniske gjennomsnittsverdiforskjellen for den klassiske gammafunksjonen, viste Horzt Alzer og Graham Jameson blant annet en harmonisk middelverdiulikhet for digammafunksjonen:

${\ displaystyle - \ gamma \ leq {\ frac {2 \ psi (x) \ psi ({\ frac {1} {x}})} {\ psi (x) + \ psi ({\ frac {1} { x}})}}}$ til ${\ displaystyle x> 0}$

Likestilling holder hvis og bare hvis . ${\ displaystyle x = 1}$

Beregning og tilnærming

Den asymptotiske utvidelsen gir en enkel måte å beregne ψ ( x ) når den virkelige delen av x er stor. For å beregne ψ ( x ) for liten x , gjentakelsesrelasjonen

${\ displaystyle \ psi (x + 1) = {\ frac {1} {x}} + \ psi (x)}$

kan brukes til å skifte verdien til x til en høyere verdi. Beal foreslår at du bruker ovennevnte gjentakelse for å skifte x til en verdi større enn 6 og deretter bruke ovennevnte utvidelse med termer over x ¹⁴ avskåret, noe som gir "mer enn nok presisjon" (minst 12 sifre unntatt nær nullene).

Når x går til uendelig, kommer ψ ( x ) vilkårlig nær både ln ( x - 1/2) og ln x . Når du går ned fra x + 1 til x , reduseres ψ med 1 / x , ln ( x - 1/2) reduseres med ln ( x + 1/2) / ( x - 1/2) , som er mer enn 1 / x , og ln x reduseres med ln (1 + 1 / x) , som er mindre enn 1 / x . Fra dette ser vi at for alle positive x større enn 1/2 ,

${\ displaystyle \ psi (x) \ in \ left (\ ln \ left (x - {\ tfrac {1} {2}} \ right), \ ln x \ right)}$

eller, for enhver positiv x ,

${\ displaystyle \ exp \ psi (x) \ in \ left (x - {\ tfrac {1} {2}}, x \ right).}$

Den eksponensielle eksp ψ ( x ) er omtrent x - 1/2 for stor x , men kommer nærmere x ved liten x , nærmer seg 0 ved x = 0 .

For x <1 kan vi beregne grenser basert på det faktum at mellom 1 og 2, ψ ( x ) ∈ [- γ , 1 - γ ] , så

${\ displaystyle \ psi (x) \ in \ left (- {\ frac {1} {x}} - \ gamma, 1 - {\ frac {1} {x}} - \ gamma \ right), \ quad x \ in (0,1)}$

eller

${\ displaystyle \ exp \ psi (x) \ in \ left (\ exp \ left (- {\ frac {1} {x}} - \ gamma \ right), e \ exp \ left (- {\ frac {1 } {x}} - \ gamma \ right) \ right).}$

Fra ovennevnte asymptotiske serie for ψ kan man utlede en asymptotisk serie for exp (- ψ ( x )) . Serien samsvarer med den generelle oppførselen godt, det vil si at den oppfører seg asymptotisk som den skal for store argumenter, og har også null ubegrenset mangfold ved opprinnelsen.

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ exp \ psi (x)}} \ sim {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {2 \ cdot x ^ {2}}} + {\ frac {5} {4 \ cdot 3! \ cdot x ^ {3}}} + {\ frac {3} {2 \ cdot 4! \ cdot x ^ {4}}} + {\ frac {47} {48 \ cdot 5! \ Cdot x ^ {5}}} - {\ frac {5} {16 \ cdot 6! \ Cdot x ^ {6}}} + \ cdots}$

Dette ligner på en Taylor-utvidelse av exp (- ψ (1 / y )) ved y = 0 , men den konvergerer ikke. (Funksjonen er ikke analytisk ved uendelig.) En lignende serie eksisterer for exp ( ψ ( x )) som starter med${\ displaystyle \ exp \ psi (x) \ sim x - {\ frac {1} {2}}.}$

Hvis man beregner den asymptotiske serien for ψ ( x +1/2) , viser det seg at det ikke er noen merkelige krefter på x (det er ikke noe x ⁻¹ begrep). Dette fører til følgende asymptotiske utvidelse, som sparer databehandling av jevn rekkefølge.

${\ displaystyle \ exp \ psi \ left (x + {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ sim x + {\ frac {1} {4! \ cdot x}} - {\ frac {37} {8 \ cdot 6! \ cdot x ^ {3}}} + {\ frac {10313} {72 \ cdot 8! \ cdot x ^ {5}}} - {\ frac {5509121} {384 \ cdot 10! \ cdot x ^ {7}}} + \ cdots}$

Spesielle verdier

Digamma-funksjonen har verdier i lukket form for rasjonelle tall, som et resultat av Gauss's digammasetning . Noen er oppført nedenfor:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ psi (1) & = - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right) & = - 2 \ ln {2} - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {3}} \ right) & = - {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} - {\ frac {3 \ ln {3}} {2}} - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ right) & = - {\ frac {\ pi} {2}} - 3 \ ln { 2} - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {6}} \ right) & = - {\ frac {\ pi {\ sqrt {3}}} {2}} - 2 \ ln {2} - {\ frac {3 \ ln {3}} {2}} - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {8}} \ right) & = - {\ frac {\ pi} {2}} - 4 \ ln {2} - {\ frac {\ pi + \ ln \ left ({\ sqrt {2}} + 1 \ right) - \ ln \ left ({\ sqrt {2} } -1 \ høyre)} {\ sqrt {2}}} - \ gamma. \ Slutt {justert}}}$

Ved å ta det logaritmiske derivatet av eller hvor det er virkelig verdsatt, kan det dessuten lett trekkes ut at ${\ displaystyle | \ Gamma (bi) | ^ {2}}$${\ displaystyle | \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} + bi) | ^ {2}}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ psi (bi) = {\ frac {1} {2b}} + {\ frac {\ pi} {2}} \ coth (\ pi b),}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ psi ({\ tfrac {1} {2}} + bi) = {\ frac {\ pi} {2}} \ tanh (\ pi b).}$

Bortsett fra Gauss's digammasetning, er ingen slik lukket formel kjent for den virkelige delen generelt. Vi har for eksempel ved den tenkte enheten den numeriske tilnærmingen

${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ psi (i) = - \ gamma - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {n-1} {n ^ {3} + n ^ {2 } + n + 1}} \ ca. 0,09465.}$

Røtter av digamma-funksjonen

Røttene til digamma-funksjonen er sadelpunktene til den kompleksverdige gammafunksjonen. Dermed ligger de alle på den virkelige aksen . Den eneste på den positive reelle aksen er det unike minimumet av den virkelige gamma-funksjonen på R ⁺ ved x ₀ =1,461 632 144 968 362 341 26 ... . Alle andre forekommer enkelt mellom polene på den negative aksen:

x ₁ =-0,504 083 008 264 455 409 25 ...

x ₂ =-1,573 498 473 162 390 458 77 ...

x ₃ =−2.610 720 868 444 144 650 00 ...

x ₄ =-3,635 293 366 436 901 097 83 ...

${\ displaystyle \ vdots}$

Allerede i 1881 observerte Charles Hermite det

${\ displaystyle x_ {n} = - n + {\ frac {1} {\ ln n}} + O \ left ({\ frac {1} {(\ ln n) ^ {2}}} \ right)}$

holder asymptotisk. En bedre tilnærming til plasseringen av røttene er gitt av

${\ displaystyle x_ {n} \ approx -n + {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan \ left ({\ frac {\ pi} {\ ln n}} \ right) \ qquad n \ geq 2}$

og ved å bruke et videre begrep blir det fortsatt bedre

${\ displaystyle x_ {n} \ approx -n + {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan \ left ({\ frac {\ pi} {\ ln n + {\ frac {1} {8n}}}} \ høyre) \ qquad n \ geq 1}$

som begge springer av refleksjonsformelen via

${\ displaystyle 0 = \ psi (1-x_ {n}) = \ psi (x_ {n}) + {\ frac {\ pi} {\ tan \ pi x_ {n}}}}$

og erstatte ψ ( x _n ) med den ikke konvergerende asymptotiske ekspansjonen. Den riktige andre termen for denne utvidelsen er 1/2 n , hvor den gitte fungerer bra for å tilnærme røtter med liten n .

En annen forbedring av Hermites formel kan gis:

${\ displaystyle x_ {n} = - n + {\ frac {1} {\ log n}} - {\ frac {1} {2n (\ log n) ^ {2}}} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {2} (\ log n) ^ {2}}} \ høyre).}$

Når det gjelder nuller, ble følgende uendelige sumidentiteter nylig bevist av István Mező og Michael Hoffman

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2}}} & = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {2}}, \\\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {3}}} & = - 4 \ zeta (3) - \ gamma ^ {3} - {\ frac {\ gamma \ pi ^ {2}} {2}}, \\\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac { 1} {x_ {n} ^ {4}}} & = \ gamma ^ {4} + {\ frac {\ pi ^ {4}} {9}} + {\ frac {2} {3}} \ gamma ^ {2} \ pi ^ {2} +4 \ gamma \ zeta (3). \ Slutt {justert}}}$

Generelt, funksjonen

${\ displaystyle Z (k) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {k}}}}$

kan bestemmes og det studeres i detalj av de siterte forfatterne.

Følgende resultater

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2} + x_ {n}}} & = - 2, \ \\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2} -x_ {n}}} & = \ gamma + {\ frac {\ pi ^ {2 }} {6 \ gamma}} \ end {justert}}}$

holder også sant.

Her γ er Euler-Mascheroni konstant .

Regularisering

Digamma-funksjonen vises i reguleringen av divergerende integraler

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x + a}},}$

denne integralen kan tilnærmes av en divergerende generell harmonisk serie, men følgende verdi kan knyttes til serien

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + a}} = - \ psi (a).}$

Se også

• Polygamma-funksjon
• Trigamma-funksjon
• Chebyshev utvider seg av digamma-funksjonen i Wimp, Jet (1961). "Polynomiske tilnærminger til integrerte transformasjoner" . Matte. Komp . 15 (74): 174–178. doi : 10.1090 / S0025-5718-61-99221-3 .

Referanser

Eksterne linker

• OEIS- sekvens A020759 (Desimal utvidelse av (-1) * Gamma '(1/2) / Gamma (1/2) der Gamma (x) betegner Gamma-funksjonen) —psi (1/2)

OEIS :  A047787 psi (1/3), OEIS :  A200064 psi (2/3), OEIS :  A020777 psi (1/4), OEIS :  A200134 psi (3/4), OEIS :  A200135 til OEIS :  A200138 psi (1 / 5) til psi (4/5).