Domenefarging - Domain coloring

Domene fargelegging av funksjonen f ( x ) = ( x ² - 1) ( x - 2 - i ) ²/x ² + 2 + 2 i, ved hjelp av den strukturerte fargefunksjonen beskrevet nedenfor.

I kompleks analyse er domenefarging eller en fargehjulgrafikk en teknikk for å visualisere komplekse funksjoner ved å tildele en farge til hvert punkt i det komplekse planet . Ved å tildele punkter på det komplekse planet til forskjellige farger og lysstyrke, tillater domenefarging at en fire -dimensjonal kompleks funksjon lett kan representeres og forstås. Dette gir innsikt i flytende komplekse funksjoner og viser naturlige geometriske utvidelser av virkelige funksjoner .

Det er mange forskjellige fargefunksjoner som brukes. En vanlig praksis er å representere det komplekse argumentet (også kjent som "fase" eller "vinkel") med en fargetone som følger fargehjulet , og størrelsen på andre måter, for eksempel lysstyrke eller metning .

Motivasjon

En graf over en reell funksjon kan tegnes i to dimensjoner fordi det er to representerte variabler, og . Imidlertid er komplekse tall representert med to variabler og derfor to dimensjoner; dette betyr at det å representere en kompleks funksjon (mer presist, en kompleks-verdsatt funksjon av en kompleks variabel ) krever visualisering av fire dimensjoner. En måte å oppnå det på er med en Riemann -overflate , men en annen metode er ved domenefarging. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$

Metode

HL -plott av z , i henhold til det enkle fargefunksjonseksemplet beskrevet i teksten (til venstre), og grafen for den komplekse funksjonen z ³  - 1 (høyre) ved hjelp av samme fargefunksjon, som viser de tre nullene samt den negative virkelige tall som cyanstråler som begynner på nullpunktene.

Å representere en firdimensjonal kompleks kartlegging med bare to variabler er uønsket, siden metoder som projeksjoner kan resultere i tap av informasjon. Det er imidlertid mulig å legge til variabler som beholder den fire dimensjonale prosessen uten å kreve en visualisering av fire dimensjoner. I dette tilfellet er de to tilføyde variablene visuelle innganger som farge og lysstyrke fordi de naturligvis er to variabler som enkelt kan behandles og skilles av det menneskelige øyet. Denne oppgaven kalles en "fargefunksjon". Det er mange forskjellige fargefunksjoner som brukes. En vanlig praksis er å representere det komplekse argumentet (også kjent som "fase" eller "vinkel") med en fargetone som følger fargehjulet , og størrelsen på andre måter, for eksempel lysstyrke eller metning .

Enkel fargefunksjon

Følgende eksempel farger opprinnelsen i svart, 1 i rødt , −1 i cyan og et punkt på uendelig i hvitt:

${\ displaystyle {\ begin {cases} H & = \ arg z, \\ L & = \ ell (| z |) \\ S & = 100 \%. \ end {cases}}}$

Det er en rekke valg for funksjonen . En ønskelig egenskap er slik at inversen av en funksjon er nøyaktig like lys som den opprinnelige funksjonen er mørk (og omvendt). Mulige valg inkluderer ${\ displaystyle \ ell: [0, \ infty) \ til [0,1)}$${\ displaystyle \ ell (1/r) = 1- \ ell (r)}$

• ${\ displaystyle \ ell _ {1} (r) = {\ frac {2} {\ pi}} \ arctan (r)}$ og
• ${\ displaystyle \ ell _ {2} (r) = {\ frac {r^{a}} {r^{a} +1}}}$(med en eller annen parameter ). Med , dette tilsvarer den stereografiske projeksjonen på Riemann -sfæren .${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle a = 2}$

Et utbredt valg som ikke har denne egenskapen, er funksjonen (med en eller annen parameter ) som er for og er veldig nær . ${\ displaystyle \ ell _ {3} (r) = 1-a^{| r |}}$${\ displaystyle 0 <a <1}$${\ displaystyle a = 1/2}$${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq 1}$${\ displaystyle \ ell _ {1}}$

Denne tilnærmingen bruker fargemodellen HSL (fargetone, metning, lyshet). Metning er alltid satt til maksimum 100%. Levende farger på regnbuen roterer kontinuerlig på den komplekse enhetssirkelen, så enhetens sjette røtter (starter med 1) er: rød, gul, grønn, cyan, blå og magenta. Størrelse er kodet etter intensitet via en strengt monoton kontinuerlig funksjon.

Siden HSL -fargerommet ikke er perceptuelt ensartet, kan man se striper av opplevd lysstyrke ved gult, cyan og magenta (selv om deres absolutte verdier er de samme som rødt, grønt og blått) og en glorie rundt L =1/2. Bruk av labfargerommet korrigerer dette, noe som gjør bildene mer nøyaktige, men gjør dem også mer trist/pastell.

Uavbrutt fargeendring

Mange fargediagrammer har diskontinuiteter, der det i stedet for jevnt endring i lysstyrke og farge endres plutselig, selv når selve funksjonen fremdeles er jevn. Dette gjøres av forskjellige årsaker, for eksempel å vise flere detaljer eller markere visse aspekter ved en funksjon.

Størrelsesvekst

En diskontinuerlig fargefunksjon. I grafen oppstår hver diskontinuitet når for heltall n .${\ displaystyle | z | = 2^{n}}$

I motsetning til argumentets begrensede område kan størrelsen på et komplekst tall variere fra 0 til ∞ . Derfor, i funksjoner som har store størrelsesområder, kan endringer i størrelse noen ganger være vanskelig å skille når en veldig stor endring også er avbildet i grafen. Dette kan utbedres med en diskontinuerlig fargefunksjon som viser et gjentatt lysstyrkmønster for størrelsen basert på en gitt ligning. Dette gjør at mindre endringer lett kan sees, så vel som større endringer som "diskontinuerlig hopper" til et større omfang. I grafen til høyre oppstår disse diskontinuitetene i sirkler rundt midten, og viser en nedtoning av grafen som deretter kan begynne å bli lysere igjen. En lignende fargefunksjon har blitt brukt for grafen på toppen av artikkelen.

Likninger som bestemmer diskontinuitetene kan være lineære, for eksempel for hver heltallsstørrelse , eksponensielle ligninger som hver størrelse n hvor det er et heltall, eller en hvilken som helst annen ligning. ${\ displaystyle 2^{n}}$

Fremhever egenskaper

Diskontinuiteter kan plasseres der utganger har en bestemt egenskap for å markere hvilke deler av grafen som har den egenskapen. For eksempel kan en graf i stedet for å vise fargen cyan hoppe fra grønt til blått. Dette forårsaker en diskontinuitet som er lett å få øye på, og kan markere linjer som for eksempel hvor argumentet er null. Diskontinuiteter kan også påvirke store deler av en graf, for eksempel en graf der fargehjulet deler grafen i kvadranter. På denne måten er det enkelt å vise hvor hver kvadrant ender opp med relasjoner til andre.

Historie

Begrepet "domenefarging" ble laget av Frank Farris, muligens rundt 1998. Det var mange tidligere bruk av farger for å visualisere komplekse funksjoner, vanligvis kartlegge argument ( fase ) for fargetone. Larry Crone brukte metoden på slutten av 1980 -tallet. Teknikken for å bruke kontinuerlig farge for å kartlegge punkter fra domene til kodomen eller bildeplan ble brukt i 1999 av George Abdo og Paul Godfrey og fargede rutenett ble brukt i grafikk av Doug Arnold som han daterer til 1997.

Begrensninger

Personer som opplever fargeblindhet kan ha problemer med å tolke slike grafer når de er laget med standard fargekart . Dette problemet kan muligens forbedres ved å lage alternative versjoner ved hjelp av fargekart som passer innenfor fargerommet som kan sees av de med fargeblindhet. For eksempel, for bruk av de med total deuteranopi , kan et fargekart basert på blått/grått/gult være mer lesbart enn det vanlige kartet basert på blått/grønt/rødt.

Referanser

Eksterne linker

• Samuel Lis funksjonsplotter
• Fargediagrammer over komplekse funksjoner
• Visualisering av komplekse verdifulle funksjoner i flyet.
• Galleri med komplekse funksjoner
• Complex Mapper av Alessandro Rosa
• John Davis-programvare - S-Lang- skript for domenefarging
• Programvare med åpen kildekode C og Python -domenet
• Forbedret fargelegging av 3D -domener
• Domenefargemetode på GPU
• Java domenefarging programvare (under utvikling)
• MATLAB -rutiner [1]
• Python -skript for GIMP av Michael J. Gruber
• Matplotlib og MayaVi implementering av domenefarging av E. Petrisor [2]
• MATLAB -rutiner med brukergrensesnitt og forskjellige fargevalg
• MATLAB- rutiner for 3D-visualisering av komplekse funksjoner
• Fargehjulsmetode
• Zoom-matemotor i sanntid
• Fractal Zoomer: Programvare som bruker domenefarging