Diagonal matrise - Diagonal matrix

I lineær algebra er en diagonal matrise en matrise der oppføringene utenfor hoveddiagonalen alle er null; begrepet refererer vanligvis til firkantmatriser . Elementer i hoveddiagonalen kan enten være null eller null. Et eksempel på en 2 × 2 diagonal matrise er , mens et eksempel på en 3 × 3 diagonal matrise er . En identitetsmatrise av hvilken som helst størrelse, eller et hvilket som helst multiplum av den (en skalarmatrise ), er en diagonal matrise. ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right]}$

En diagonal matrise kalles noen ganger en skaleringsmatrise , siden matrisemultiplikasjon med den resulterer i endring av skala (størrelse). Dets determinant er produktet av dets diagonale verdier.

Definisjon

Som nevnt ovenfor er en diagonal matrise en matrise der alle off-diagonal oppføringer er null. Det vil si at matrisen D = ( d _{i , j} ) med n kolonner og n rader er diagonal hvis

${\ displaystyle \ forall i, j \ in \ {1,2, \ ldots, n \}, i \ neq j \ innebærer d_ {i, j} = 0.}$

Imidlertid er de viktigste diagonale oppføringene ubegrensede.

Begrepet diagonal matrise kan noen ganger referere til a rektangulær diagonal matrise , som er enm-by-nmatrise med alle oppføringene som ikke er av formend _{i , i} er null. For eksempel:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\\ ende {bmatrix}}}$ eller ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

Oftere refererer imidlertid diagonal matrise til firkantmatriser , som eksplisitt kan spesifiseres som enfirkantet diagonal matrise . En firkantet diagonal matrise er ensymmetrisk matrise, så dette kan også kalles asymmetrisk diagonal matrise .

Følgende matrise er firkantet diagonal matrise:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \ end {bmatrix}}}$

Hvis oppføringene er reelle tall eller komplekse tall , er det også en normal matrise .

I resten av denne artikkelen vil vi bare betrakte firkantede diagonale matriser, og bare referere til dem som "diagonale matriser".

Skalarmatrise

En diagonal matrise med like diagonale oppføringer er en skalarmatrise ; det vil si, en skalar multiplum λ av identitetsmatrisen I . Dens effekt på en vektor er skalarmultiplikasjon med λ . For eksempel har en 3 × 3 skalarmatrise formen:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda \ end {bmatrix}} \ equiv \ lambda {\ boldsymbol {I}} _ {3}}$

Skalarmatrisene er sentrum for algebraen til matriser: det vil si at det er nettopp matrisene som pendler med alle andre firkantmatriser av samme størrelse. I kontrast, over et felt (som de reelle tallene), pendler en diagonal matrise med alle diagonalelementer tydelig bare med diagonale matriser ( sentralisatoren er settet med diagonale matriser). Det er fordi hvis en diagonal matrise har deretter gitt en matrise med den betegnelsen av produktene er: og og (siden man kan dele på ), slik at de ikke pendle mindre på diagonalen vilkårene er null. Diagonale matriser der de diagonale oppføringene ikke alle er like eller alle har forskjellige sentralisatorer mellom hele rommet og bare diagonale matriser. ${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$${\ displaystyle a_ {i} \ neq a_ {j},}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m_ {ij} \ neq 0,}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle (DM) _ {ij} = a_ {i} m_ {ij}}$${\ displaystyle (MD) _ {ij} = m_ {ij} a_ {j},}$${\ displaystyle a_ {j} m_ {ij} \ neq m_ {ij} a_ {i}}$${\ displaystyle m_ {ij}}$

For et abstrakt vektorrom V (i stedet for det konkrete vektorrommet ), er analogen av skalarmatriser skalare transformasjoner . Dette er mer sant for en modul M over en ring R , med endomorfisme algebra End ( M ) (algebra for lineære operatører på M ) erstatter algebraen til matriser. Formelt er skalarmultiplikasjon et lineært kart som induserer et kart (fra en skalar λ til den tilsvarende skalartransformasjonen, multiplikasjon med λ ) som viser End ( M ) som en R - algebra . For vektorrom er skalar -transformasjonene nøyaktig sentrum av endomorfisme -algebraen, og på samme måte er inverterbare transformasjoner sentrum av den generelle lineære gruppen GL ( V ). Førstnevnte er mer generelt sanne gratis moduler , for hvilke endomorfisme -algebraen er isomorf i forhold til en matrise -algebra. ${\ displaystyle K^{n}}$ ${\ displaystyle R \ to \ operatorname {End} (M),}$ ${\ displaystyle M \ cong R^{n}}$

Vector operasjoner

Multiplisering av en vektor med en diagonal matrise multipliserer hver av begrepene med den tilsvarende diagonale oppføringen. Gitt en diagonal matrise og en vektor , er produktet: ${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} & \ dotsm & x_ {n} \ end {bmatrix}}^{\ textf {T}}}$

${\ displaystyle D \ mathbf {v} = \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ ende {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ & \ ddots \\ && a_ {n} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} x_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} x_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Dette kan uttrykkes mer kompakt ved å bruke en vektor i stedet for en diagonal matrise , og ta Hadamard -produktet av vektorene (entrywise product), betegnet : ${\ displaystyle \ mathbf {d} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & \ dotsm & a_ {n} \ end {bmatrix}}^{\ textf {T}}}$${\ displaystyle \ mathbf {d} \ circ \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle D \ mathbf {v} = \ mathbf {d} \ circ \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} \ end {bmatrix}} \ circ {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} x_ {1} \\\ vdots \\ a_ { n} x_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Dette er matematisk ekvivalent, men unngår å lagre alle nullbegrepene i denne sparsomme matrisen . Dette produktet brukes dermed i maskinlæring , for eksempel å beregne produkter av derivater i backpropagering eller multiplisere IDF-vekter i TF-IDF , siden noen BLAS- rammer, som multipliserer matriser effektivt, ikke inkluderer Hadamard-produktkapasitet direkte.

Matrise operasjoner

Operasjonene med matrisetillegg og matrisemultiplikasjon er spesielt enkle for diagonale matriser. Skriv diag ( a ₁ , ..., a _n ) for en diagonal matrise hvis diagonale oppføringer som starter i øvre venstre hjørne er en ₁ , ..., en _n . Så, for tillegg, har vi

diag ( a ₁ , ..., a _n ) + diag ( b ₁ , ..., b _n ) = diag ( a ₁ + b ₁ , ..., a _n + b _n )

og for matrisemultiplikasjon ,

diag ( a ₁ , ..., a _n ) diag ( b ₁ , ..., b _n ) = diag ( a ₁ b ₁ , ..., a _n b _n ) .

Diagonalmatrisen diag ( a ₁ , ..., a _n ) er inverterbar hvis og bare hvis oppføringene a ₁ , ..., a _n alle er null. I dette tilfellet har vi

diag ( a ₁ , ..., a _n ) ⁻¹ = diag ( a ₁ ⁻¹ , ..., a _n ⁻¹ ) .

Spesielt danner de diagonale matrisene en oppfatning av ringen til alle n -by -n matriser.

Ved å multiplisere en n -by- n matrise A fra venstre med diag ( en ₁ , ..., en _n ) utgjør for å multiplisere I te raden av A med en _i for alle i ; multiplisere matrisen A fra høyre med diag ( en ₁ , ..., en _n ) utgjør for å multiplisere I te kolonne av A med en _i for alle i .

Operatørmatrise i egenbase

Som forklart ved bestemmelse av koeffisienter for operatørmatrisen , er det et spesielt grunnlag, e ₁ ,…, e _n , som matrisen har diagonal form. Derfor er alle koeffisientene med i ≠ j i definisjonsligningen null, og etterlater bare ett begrep per sum. De overlevende diagonale elementene,, er kjent som egenverdier og er angitt med i ligningen, noe som reduserer til . Den resulterende ligningen er kjent som egenverdi -ligning og brukes til å utlede det karakteristiske polynomet og videre egenverdier og egenvektorer . ${\ displaystyle A}$${\ textstyle A \ mathbf {e} _ {j} = \ sum a_ {i, j} \ mathbf {e} _ {i}}$${\ displaystyle a_ {i, j}}$${\ displaystyle a_ {i, i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle A \ mathbf {e} _ {i} = \ lambda _ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$

Med andre ord, de egenverdiene av diag ( X, ₁ , ..., λ _n ) er λ ₁ , ..., λ _n med tilhørende egenvektorene av e ₁ , ..., e _n .

Egenskaper

• Den determinant av diag ( en ₁ , ..., en _n ) er produktet et ₁ ⋯ en _n .
• Den adjugate av en diagonal matrise er igjen diagonal.
• Der alle matriser er firkantede,
  • En matrise er diagonal hvis og bare hvis den er trekantet og normal .
  • En matrise er diagonal hvis og bare hvis den er både øvre og nedre trekantet .
  • En diagonal matrise er symmetrisk .
• Den identitetsmatrise I _n og null matrise er diagonal.
• En 1 × 1 matrise er alltid diagonal.

applikasjoner

Diagonale matriser forekommer i mange områder av lineær algebra. På grunn av den enkle beskrivelsen av matrisedriften og egenverdier/egenvektorer gitt ovenfor, er det vanligvis ønskelig å representere en gitt matrise eller lineært kart med en diagonal matrise.

Faktisk en gitt n -by- n matrise A er lik til en diagonalmatrise (som betyr at der er en matrise X slik at X ^-1 AX er diagonal) hvis og bare hvis den har n lineært uavhengige egenvektorer. Slike matriser sies å være diagonaliserbare .

Over feltet med reelle eller komplekse tall er mer sant. Den spektralteoremet sier at enhver normal matrise er i ett stykke lik til en diagonal matrise (hvis AA ^* = A ^* A så eksisterer det et enhetlig matriks U slik at UAU ^* er diagonalt). Videre innebærer dekomponeringen av entallverdien at for enhver matrise A eksisterer det enhetsmatriser U og V slik at UAV ^∗ er diagonal med positive oppføringer.

Operatørteori

I operatørteori , spesielt studiet av PDE -er , er operatører spesielt lett å forstå og PDE -er enkle å løse hvis operatøren er diagonal i forhold til grunnlaget en jobber med; dette tilsvarer en delbar differensialligning som kan skilles . Derfor er en nøkkelteknikk for å forstå operatører en endring av koordinater - på operatørs språk, en integrert transform - som endrer grunnlaget til en egenbase av egenfunksjoner : som gjør ligningen adskillelig. Et viktig eksempel på dette er Fourier -transformasjonen , som diagonaliserer differensieringsoperatorer for konstant koeffisient (eller mer generelt translation invariante operatører), for eksempel den laplaciske operatøren, i varmeligningen .

Spesielt lett er multiplikasjonsoperatorer , som er definert som multiplikasjon med (verdiene til) en fast funksjon - verdiene til funksjonen på hvert punkt tilsvarer de diagonale oppføringene i en matrise.

Se også

Merknader

Referanser

Kilder

• Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6